Задача про фонтан.

[Neckromant]

Струя воды в фонтане поднимается на высоту H над уровнем выходной трубы насоса. К этой выходной трубе подсоединяют вертикальную трубу такого же диаметра и имеющую высоту h<H. Во сколько раз следует изменить после подсоединения дополнительной трубы мощность насоса, чтобы суммарная высота подсоединенной трубы и вылетающей из нее струи воды стала равной H. Потерями энергии на трение пренебречь.
Даже не знаю как приступить.Где теряется энергия.Очевидно силой поверхностного натяжения явно пренебрегаем. Разбрызгиванием капель тоже. Капиллярными явлениями тоже. Что еще может быть.

[meduza]

Neckromant в сообщении #226035 писал(а):

Потерями энергии на трение пренебречь. [...] Очевидно силой поверхностного натяжения явно пренебрегаем. Разбрызгиванием капель тоже. Капиллярными явлениями тоже.

Если всем пренебрегаем, то высота вообще должна измениться?

P. S. Можно учесть то, то при выходе воды из трубки на воздух, струя немного расшириться, скорость упадет и следовательно уменьшится высота. Но как это учесть в формулках я не знаю.

[photon]

смените заголовок на информативный, отражающий содержание задачи

[Neckromant]

Цитата:

Если всем пренебрегаем, то высота вообще должна измениться?

P. S. Можно учесть то, то при выходе воды из трубки на воздух, струя немного расшириться, скорость упадет и следовательно уменьшится высота. Но как это учесть в формулках я не знаю.

Это были мои предположения, но я жду ваших. Так как сам не пойму, почему изменится высота.

[ewert]

За время $dt$ в трубу закачивается масса $dm$, и ровно такая же сбрасывается с конца струи. Требуемая для этого энергия -- это ровно та энергия, которая необходима для подъёма массы $dm$ на уровень $H$ конца струи, т.е. $dm\cdot g\,H$. В свою очередь, $dm=C\cdot v\,dt$ (где, конечно, $C=\rho S$, но это константа, и следить за ней нет смысла). Наконец, скорость определяется высотой подъёма струи над срезом трубы: $v^2=2g(H-l)$, где $l$ -- это высота самой трубы. Т.е. мощность $P={\mathrm{const}}\cdot\sqrt{H-l}$. С вытекающими отсюда последствиями: после наращивания трубы требуемая мощность уменьшится с коэффициентом $\displaystyle{P_2\over P_1}=\sqrt{1-{h\over H}}.$

Здесь сделаны два необходимых допущения.

1). После вылета из трубы участки жидкости между собой не взаимодействуют. Для достаточно высокой струи это можно считать выполненным.

2). В начальном состоянии насос располагался на уровне среза трубы. Это уже несколько сомнительно, но тут уж ничего не поделаешь -- иначе задача некорректна.

[Neckromant]

Получается, что скорость при выходе из трубы будет такой же как и при выходе из насоса?

[ewert]

Neckromant в сообщении #226438 писал(а):

Получается, что скорость при выходе из трубы будет такой же как и при выходе из насоса?

Смотря в каком смысле. При одной и той же конфигурации -- естественно (куда ей деться-то?). После наращивания -- должна уменьшиться, чтобы высота подъема не изменилась.

[Neckromant]

Не пойму, почему скорость в трубе остается постоянной?

[ewert]

Не надо писать уравнения Бернулли: скорость внутри трубы постоянна просто потому, что сечение постоянно, а деваться-то воде некуда.

[Neckromant]

Ну если так считать, то некоторые трубки тока в обычной струе фонтана можно считать стационарными, т.е. некоторые слои внутри струи будут теч стационарно до поры до времени. А мы сразу считаем, что они будут лететь как тела брошенные вверх. ПО-моему это сильное упрощение.

[ewert]

Neckromant в сообщении #226454 писал(а):

до поры до времени. А мы сразу считаем, что они будут лететь как тела брошенные вверх. ПО-моему это сильное упрощение.

Именно до поры до времени. Но очень быстро струя разбивается на невзаимодействующие капли. Так или иначе, допущение это необходимо. Фактическая высота струи будет, конечно, несколько выше, чем в предположении отсутствия взаимодействия, но насколько конкретно выше -- проконтролировать невозможно.

[Alex165]

ewert в сообщении #226428 писал(а):

Т.е. мощность $P={\mathrm{const}}\cdot\sqrt{H-l}$. С вытекающими отсюда последствиями...

Если даже пренебречь перепадом высот, то мощность, развиваемая насосом, пропорциональна третьей степени скорости потока, а у Вас - первой.

ewert в сообщении #226428 писал(а):

2). В начальном состоянии насос располагался на уровне среза трубы. Это уже несколько сомнительно, но тут уж ничего не поделаешь -- иначе задача некорректна.

[/quote]

Почему некорректна? Насосу надо просто развивать дополнительную мощность на преодоление перепада высот между его положением и срезом трубы. Вы выбрасываете один замечательный частный случай, когда насос располагался на высоте наивысшей точки струи, тогда его мощность вообще менять не надо, она как была равна 0, так и останется.

[Антипка]

Решение ewert'а абсолютно правильное, но для заданных условий (равенство высот высшей точки струи) даже оно лишнее, потому что тогда эта задача - устная. Ход рассуждения таков: в обоих случаях вода закачивается на высоту H, и на этой высоте у частиц воды нулевая скорость, поэтому кинетическую энергию воды можно не рассматривать. Т.е. мощность насоса есть gH, умноженное на расход воды, (единица измерения - кг/с). Т.е. в данной конкретной задаче мощность насоса пропорциональна расходу воды, которая, в свою очередь, пропорциональна скорости воды в трубе, которая опять в свою очередь, пропорциональна корню квадратному из высоты "свободной части фонтана", - в первом случае это H, во втором - H-h. Отсюда получается абсолютно правильный результат ewerta'а.

Добавлено.
Вот что значит читал по диагонали. Сначала показалось, что ewert рассматривает и кинетическую энергию воды на выходе из трубы. А так получается, что я сказал ровно то же, что и ewert, только без формул.

Alex165 в сообщении #230549 писал(а):

Если даже пренебречь перепадом высот, то мощность, развиваемая насосом, пропорциональна третьей степени скорости потока, а у Вас - первой.

Так фишка в том, что здесь нельзя пренебрегать перепадом высот. А при условии, что при совместном варьировании мощности насоса и длины трубки с наложенным ограничением в виде постоянства высоты, на которую поднимается вода в фонтане оказывается, что мощность пропорциональна первой степени расхода воды, т.е. скорости на выходе (впрочем, и на входе тоже) трубки.

[Alex165]

Антипка в сообщении #236166 писал(а):

Alex165 в сообщении #230549 писал(а):

Если даже пренебречь перепадом высот, то мощность, развиваемая насосом, пропорциональна третьей степени скорости потока, а у Вас - первой.

Так фишка в том, что здесь нельзя пренебрегать перепадом высот. А при условии, что при совместном варьировании мощности насоса и длины трубки с наложенным ограничением в виде постоянства высоты, на которую поднимается вода в фонтане оказывается, что мощность пропорциональна первой степени расхода воды, т.е. скорости на выходе (впрочем, и на входе тоже) трубки.

1. Речь идёт о перепаде высот между положением насоса и срезом трубки, так что не я пренебрегаю этим перепадом, это декларировано в решении, а зависимость мощности насоса от скорости воды не зависит от того, в каком контексте Вы эту зависимость рассматриваете, она пропорциональна именно третьей степени скорости в любом случае (потерями, естественно, пренебрегаем).

-- Чт авг 20, 2009 23:46:02 --

ewert в сообщении #226428 писал(а):

...
Наконец, скорость определяется высотой подъёма струи над срезом трубы: $v^2=2g(H-l)$, где $l$ -- это высота самой трубы. Т.е. мощность $P={\mathrm{const}}\cdot\sqrt{H-l}$.
...

Второе предложение означает, что мощность пропорциональна скорости струи, что совершенно не следует из первого приведённого. "Т.е." там означает "следовательно", а это, очевидно, не так.

[Антипка]

Alex165 в сообщении #236601 писал(а):

1. Речь идёт о перепаде высот между положением насоса и срезом трубки, так что не я пренебрегаю этим перепадом, это декларировано в решении, а зависимость мощности насоса от скорости воды не зависит от того, в каком контексте Вы эту зависимость рассматриваете, она пропорциональна именно третьей степени скорости в любом случае (потерями, естественно, пренебрегаем).

Как понимать ваше "в любом случае"? Давайте рассмотрим такой мысленный эксперимент. К выходу насоса мощностью 1 КВт подсоединен гибгий шланг длиной 1 км. Потерь нет, рассматриваем только установившиеся режимы. Сначала второй конец шланга находится на той же высоте, что и первый (подсоединенный к выходу насоса), а затем мы поднимае его на высоту 1 км. Мощность насоса не меняется. Вы хотите сказать, что скорость воды в шланге будет одна и таже в обоих случаях? Эти два случая - "любой случай" или не любой?

Alex165 в сообщении #236601 писал(а):

Второе предложение означает, что мощность пропорциональна скорости струи, что совершенно не следует из первого приведённого. "Т.е." там означает "следовательно", а это, очевидно, не так.

Из двух приведенных вами утверждений второе действительно не следует из первого. Тем не менее, у ewert'а все верно. Его "т.е." (в вашей интерпретации "следовательно") относится не к одному утверждению перед этим "т.е.", а ко всей цепочке утверждений. Кстати, пропорциональность мощность первой степени скорости он констатирует несколько раньше этого места - конкретно, вот этими словами:

ewert в сообщении #226428 писал(а):

Требуемая для этого энергия -- это ровно та энергия, которая необходима для подъёма массы $dm$ на уровень $H$ конца струи, т.е. $dm\cdot g\,H$. В свою очередь, $dm=C\cdot v\,dt$ (где, конечно, $C=\rho S$, но это константа, и следить за ней нет смысла).

Ладно, коль скоро вы не понимаете решение отличника, дам вам решение хорошиста - то, которое, как мне показалось, дал ewert и про которое я сказал "даже оно лишнее".

Итак, пусть к срезу насоса подсоединена вертикальная трубка высотой h и пусть высота подъема свободной части струи расна L. За промежуток времени dt насос совершает работу dA, которая тратится на:
- приращение кинетической энергии массы воды dm, поступившей за это время из насоса в трубку, вследствие её разгона от нулевой скорости на входе насоса до скорости v на выходе насоса:
$\[dT = \frac{{v^2 }}{2}dm\]$
- приращение потенциальной энергии всего столба воды, который находится в трубке, вследствие его поднятия на некоторую высоту вследствие поступления в трубку новой порции воды. Можно подсчитать эту величину "в лоб", а можно заметить, что это та же самая работа, которая необходима для поднятия вновь поступившей порции воды dm на высоту трубки h:
$\[d\Pi = gh \cdot dm\]$
Отсюда:
$\[dA = dT + d\Pi = (gh + \frac{1}{2}v^2 )dm\]$
Теперь выразим dm через скорость воды в трубке (v), площадь сечения трубки (S) и плотность воды ($\[\rho \]$) - очевидно,
$\[dm = \rho Sv \cdot dt\]$
Отсюда получаем мощность насоса:
$\[W = \frac{{dA}}{{dt}} = (gh + \frac{1}{2}v^2 )\rho Sv\]$
Из этой формулы становится вся ясно, в каких контекстах ваше утверждение про "третью степень" верно, а в каких - нет.
Пойдем дальше: скорость воды в трубке и высота подъема воды от среза трубки до верхней части фонтана связаны очень простым кинематическим соотношением:
$\[\frac{{v^2 }}{2} = gL\]$
$\[v = \sqrt {2gL} \]$
Отсюда получаем окончательную формулу:
$\[W = g(h + L)\rho S\sqrt {2gL} \]$
В первом случае h=0, L=H, отсюда:
$\[W_1 = gH\rho S\sqrt {2gH} \]$
Во втором случае h уже не ноль, L=H-h, отсюда:
$\[W_2 = gH\rho S\sqrt {2g(H - h)} \]$
Ну и наконец получаем нужный нам результат:
$\[k = \frac{{W_2 }}{{W_1 }} = \sqrt {1 - \frac{h}{H}} \]$
Вот это - тупое аккуратное решение задачи "в лоб". Ну а изящное "не тупое" решение вам уже привел ewert, а я его, как оказалось, пересказал в предыдущем посте в "адаптированном варианте", т.е без формул.