2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сложный интеграл
Сообщение12.06.2006, 21:31 


21/12/05
34
Привет, мои дорогие :D Судьба злодейка свела меня с ним, с неуклюжим инегралом, до этого таких не видала, наверно не берётся. Что можете сказать?
Вот его фоторобот:
$$\int_{0}^{\pi} |sin(x)| cos(nx) dx$$

Очень не нравится x и nx..

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.06.2006, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Берется. Вас на испуг взяли :). Рассмотрите отдельно интервалы, где $\sin x$ положителен и где он отрицателен. :wink: И еще -- когда $|n|= 1$ и когда не равен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.06.2006, 22:24 


21/12/05
34
А можно дурацкий вопрос? :D
\int cos(nx) dx= n \int cos(nx) dnx

верное преобразование или надо умножать на 1/n ? :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.06.2006, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Не-а.
$\int cos(nx) dx= (1/n) \int cos(nx) {\rm d} n x$. :twisted:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.06.2006, 22:35 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Во первых sin(x) в этом интервале положителен. Поэтому представьте подинтегральное выражение в виде $\frac{\sin(n+1)x-\sin(n-1)x}{2}$ и получите результат.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.06.2006, 22:35 


21/12/05
34
ах вот оно что! :lol: попалась, моя дорогая, тётушка Ошиба :lol:

P.S. так и запишем... 1/n...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.06.2006, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
На отрезке интегрирования функция sin (x) неотрицательна, откинули модуль, преобразовали произведение в сумму и посмотрели в таблицу интегралов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.06.2006, 13:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Раcсмотрим разложение функции $ |sin x|$ в ряд Фурье. Функция чётная, значит коэффициенты $b_n$ обнулятся.
Коэффициенты $a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^{\pi} |sinx| \cdot cos  (n \cdot x) dx = \frac 2 \pi \int\limits_0^{\pi} sin x \cdot cos( n \cdot x )dx$. И вот здесь нужно знать вот такое разложение:
$ \frac 2 \pi \int\limits_0^{\pi} sin x \cdot cos (n \cdot x) dx = \frac 2 \pi \frac 1 2 \int\limits_0^{\pi} (sin(n+1)x - sin(n-1)x) dx$
По моему, в одной из тем, такое разложение упоминал Someone, а здесь рекомендует Руст. Здесь будет несколько муторно, т.к. коэффициенты здесь тоже различны, и для нечётных $n$ они обнулятся. (используем переодичность). А вторую часть можно просто проинтегрировать синус. Напишу ответ:
$ \left\{ \begin{array}{l}
0, \phantom{0}\text{n нечётное},\\ 
\frac 2 \pi (\frac 1 {n+1} - \frac 1 {n - 1}) = \frac 4 \pi \frac 1 {1 - n^2}, \phantom{0} \text{n чётное}, 
\end{array} \right. 
$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.06.2006, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Во-первых, никто не сказал, что $n$ -- целое. Во-вторых, зачем усложнять простые вещи? Для того, чтобы вычислить коэффициетны ряда Фурье, нам фактически нужно вычислить этот интеграл.... А в-третьих, ответ -- это не коэффициенты фурье, а интеграл. Так что ответ неверный.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.06.2006, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
незванный гость


Что значит "ответ неверный"? Я допускаю, что $n$ ещё действительно может быть не целым числом, но об этом лучше спросить Java. Но скорее всего имелось ввиду именно целое.
Насчёт ряда Фурье - я не понимаю вообще, где я что усложняю? То, что предложила представить функцию, как ряд Фурье? Ну и что?
а в третих: коэффициенты ряда Фурье представляют из себя интегралы, причём я его получила, преобразовав границы и вынеся константу. У меня получился точно такой-же интеграл, который дан по задаче. Более того, именно эти коэффициенты не обнуляются при разложении в ряд Фурье именно этой функции, по этому, полагаю, его и надо было вычислить.
Мне кажется, в моём посте, всё изложено достаточно ясно :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.06.2006, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
1) Чтобы подсчитать коэффициенты р.Ф., нужно уметь считать этот интеграл. А тогда р.Ф. не нужен.

2) У Вас при вычислении коэффициентов добавился множитель $\frac2\pi$, которого нет. Итого ответ -- $\frac{1-\cos{\pi n}}{1-n^2}$ при $n \neq \pm 1,$ иначе -- $0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group