2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эвклидово векторное пространство
Сообщение11.06.2006, 21:00 


08/01/06
52
Вечер добрый!
Будьте любезны помогите с такой вот задачей:

Пусть $V$ конечномерное эвклидово векторное пространство и пусть $U_{1}, ..., U_{n} $ - его подпространства.
Д-ть:
dim($U_{1}$$\cap$ $U^{\perp}_{2}$) $\ge$ dim($U_{1}$) - dim($U_{2}$)

Под $U^{\perp}_{2}$ подразумевается ортогональное дополнение к $U_{2}$, т.е. $U^{\perp}_{2} = $\{$ $ v \in V $ $\mid$ $\forall$ $u$ $\in$ $U_{2}$: $\langle v,u \rangle$ =0$ $\}$.

Не понимаю с чего начать? Вообще очень смущает неравенство... :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.06.2006, 22:01 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Зря оно вас смущает. Постарайтесь представить это в трехмерном случае, и сразу все станет понятно.

А для доказательства разложите подпространство $U_1$ в прямую сумму двух подпространств, одно из которых будет целиком лежать в $U_2$, а другое - в $U_2^\perp$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.06.2006, 22:52 


08/01/06
52
Спасибо за идею... А разве такое предположение не ограничивает общность??? :?
Пусть:
$U_{1}$ = $U$ $_{a}$ $\oplus$ $U$ $_{b}$ и
$U$ $_{a}$ $\subseteq$ $U_{2}$, $U$ $_{b}$ $\subseteq$ $U^{\perp}_{2}$
Тогда следует, что dim($U$ $_{1}$) = dim($U$ $_{a}$) + dim($U$ $_{b}$) и
dim($U$ $_{a}$) $\le$  dim($U_{2}$) и
dim($U$ $_{b}$) $\le$ dim($U^{\perp}_{2}$).
Следовательно:
dim($U$ $_{1}$) $\le$ dim($U_{2}$) + dim($U^{\perp}_{2}$)
и:
dim($U^{\perp}_{2}$) $\ge$ dim($U_{1}$) - dim($U_{2}$)
и очевидно
dim($U_{1}$$\cap$ $U^{\perp}_{2}$) $<$ dim($U^{\perp}_{2}$)
А дальше снова стопор...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.06.2006, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Сумма размерностей подпространства и его ортогонального дополнения всегда равна размерности исходного пространства. Более того,исходное пространство раскладывается в прямую сумму любого своего подпространства и его ортогонального дополнения. Поэтому, сумма размерностей пересечения $U_1$ с $U_{2}$ и с $U^{\perp}_{2}$ равна размерности $U_1$, кроме того, dim($U_{1}$$\cap$ $U_{2}$) не превосходит dim($U_{2}$) .Вот и все.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.06.2006, 00:19 


08/01/06
52
Brukvalub писал(а):
кроме того, dim($U_{1}$$\cap$ $U_{2}$) не превосходит dim($U_{2}$).


Откуда это следует...??? Не понимаю...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.06.2006, 01:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Пересечение пространств является подпространством в каждом из них, а размерность подпространства не превосходит размерности объемлющего пространства.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.06.2006, 10:54 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Phoenix писал(а):
Откуда это следует...??? Не понимаю...

Представьте себе, что у вас есть две (двумерные) плоскости в трехмерном пространстве. Их пересечение может быть прямой или плоскостью, но размерность пересечения не больше двух. При пересечении прямой и плоскости размерность пересечения не превышает единицы. То есть, размерность пересечения не больше минимума из размерностей пересекающихся подпространств.

 Профиль  
                  
 
 Урррра!!!
Сообщение12.06.2006, 15:21 


08/01/06
52
Brukvalub писал(а):
Пересечение пространств является подпространством в каждом из них, а размерность подпространства не превосходит размерности объемлющего пространства.

Ну да... Сегодня я это понимаю, другими словами нельзя впихнуть невпихуемое... :mrgreen:
И до меня наконец-то дошло... лучше позже, чем никогда :D

Всем огромнейщее человеческое спасибо...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group