2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение31.07.2009, 13:47 


22/01/08
21
Используется следующий факт для полиномов $n$ переменных.

Если множество нулей полинома имеет ненулевую меру в $\mathbb R^n$, то полином тождественно равен нулю.
Полином от действительных переменных.

Подскажите, пожалуйста, где это явно сформулировано? Не могу найти ссылку. Может в задачнике каком-нибудь есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение01.08.2009, 14:21 


20/04/09
1067
почему полинома? вообще если множество нулей аналитической функции имеет ненулевую меру то она равна нулю тождественно.
теоремы о множествах единственности имеются в Шабат введение в компл. ан. том 2. извлекайте этот факт оттуда

 Профиль  
                  
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение01.08.2009, 14:56 


10/06/09
111
Конкретно для полинома:
Так как любой ненулевой многочлен степени n имеет не более n корней, то множество корней такого многочлена конечно(либо пусто), и, следовательно, имеет нулевую меру.
Таким образом, многочлен может иметь множество корней ненулевой меры тогда и только тогда, когда он тождественно равен нулю.
Цитата:
вообще если множество нулей аналитической функции имеет ненулевую меру то она равна нулю тождественно

Это свойство, по-моему, верно только в случае счётно-аддитивной меры. (У нас просто было определение меры как конечно-аддитивной функции множеств, удовлетворяющей определённым условиям...) Но если имеется ввиду мера Лебега, то всё верно..

 Профиль  
                  
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение01.08.2009, 15:42 


20/04/09
1067
пришли студенты...
malin в сообщении #232384 писал(а):
Так как любой ненулевой многочлен степени n имеет не более n корней

с чего это? основную теорему алгебры применяем к многочленам от нескольких переменных :wink: ?
malin в сообщении #232384 писал(а):
Это свойство, по-моему, верно только в случае счётно-аддитивной меры

даже в случае счетно-адитивной неверно. только в случае меры Лебега, а другая в этом круге вопросов и не подразумевается

 Профиль  
                  
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение01.08.2009, 15:54 


10/06/09
111
:D Ну ладно. тогда так как любой ненулевой многочлен имеет не более чем счётное число корней(это уж точно :) ), а мера всё-таки Лебеговская, (а, значит, счётно-аддитивеная) то см. выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение01.08.2009, 15:56 


20/04/09
1067
malin в сообщении #232393 писал(а):
:D Ну ладно. тогда так как любой ненулевой многочлен имеет не более чем счётное число корней(это уж точно :) ), то см. выше.

ага $f(x,y)=x+y$
"счетное число корней": $\{(x,y):x+y=0\}$ :lol1:

 Профиль  
                  
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение01.08.2009, 15:59 


10/06/09
111
:oops: Тогда да.......

-- Сб авг 01, 2009 17:04:21 --

блиин... как же стыдно! первый раз не заметил, что многочлен от n переменных, а про не более чем счётное множество нулей даже не знаю, как отмазаться :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение02.08.2009, 07:10 


18/10/08
622
Сибирь
don Bass в сообщении #232216 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, где это явно сформулировано? Не могу найти ссылку. Может в задачнике каком-нибудь есть?
Может проще самому доказать. Задача то не очень сложная, коль скоро даже такие слова знаете как мера. Подсказываю: выделите одну переменную полинома и разложите его на множители, каждый из которых зависит от выделенной переменной и от оставшихся.

 Профиль  
                  
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение02.08.2009, 08:30 


20/04/09
1067
Инт в сообщении #232462 писал(а):
Может проще самому доказать. Задача то не очень сложная, коль скоро даже такие слова знаете как мера. Подсказываю: выделите одну переменную полинома и разложите его на множители, каждый из которых зависит от выделенной переменной и от оставшихся.

приведите это доказательство полностью

 Профиль  
                  
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение02.08.2009, 09:26 


22/01/08
21
Пишется статья, которую не хочется перегружать доказательствами. Имеется ссылка на работу, в которой подобный результат доказана для аналитических функций нескольких вещественных переменных.
Но самой работы нет! Кроме того, эта работа была написана, как я понимаю, нематематиком и опубликована в неметематическом журнале --- я опасаюсь, что там просто могут быть ошибки в доказательстве.

Я буду использовать результат для полиномов. Мне кажется должно быть какое-то короткое "полиномовское" доказательство. ... или длинное, но которое наверняка , уже где-то опубликовано.

Кроме того аналитические функции многих вещественных переменых это вроде как экзотика, а полиномы нет.

Доказательство с фиксированием переменной наверняка будет повторять доказательство для аналитической функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение02.08.2009, 12:28 


20/04/09
1067
don Bass в сообщении #232470 писал(а):
Пишется статья, которую не хочется перегружать доказательствами. Имеется ссылка на работу, в которой подобный результат доказана для аналитических функций нескольких вещественных переменных.
Но самой работы нет! Кроме того, эта работа была написана, как я понимаю, нематематиком и опубликована в неметематическом журнале --- я опасаюсь, что там просто могут быть ошибки в доказательстве.

правильно опасаетесь, факт о котором Вы пишите вполне банальный, адекватные люди не будут его публиковать, да и невозможно это сделать в нормальном журнале
don Bass в сообщении #232470 писал(а):
Я буду использовать результат для полиномов. Мне кажется должно быть какое-то короткое "полиномовское" доказательство. ... или длинное, но которое наверняка , уже где-то опубликовано.

не думаю, что полиномы упростят дело
don Bass в сообщении #232470 писал(а):
Кроме того аналитические функции многих вещественных переменых это вроде как экзотика

это не экзотика, если функция аналитична (раскладывается в ряд Тейлора) как функция вещественных переменных, то она очевидным образом аналитически продолжается в $\mathbb{C}^m$
don Bass в сообщении #232470 писал(а):
Доказательство с фиксированием переменной

из этого скорей всего ничего не выйдет.

факт совершенно тривиальный, пусть $f(x),\quad x\in \mathbb{R}^m$ -- многочлен (любая голоморфная функция). в окрестности любой точки где $\nabla f\ne 0$ уравнение $f=0$ задает либо пустое множество, либо гладкую $m-1$ мерную поверхность (имеется ввиду, что $ x\in\mathbb{R}^m\Rightarrow f(x)\in\mathbb{R}$, если этого не предполагать то появятся незначительные нюансы), ее мера равна нулю. множество где $\nabla f\ne 0[math]$ всюду плотно в $\mathbb{R}^m$, если, конечно $f$ не тождественная константа.

 Профиль  
                  
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение04.08.2009, 16:26 


22/01/08
21
Спасибо. Я правильно понимаю, что
1. потом надо использовать компактность шара в \mathbb R^m?
2. это же доказательство проходит для C^2 функций, которые не являются локально константами?

 Профиль  
                  
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение04.08.2009, 23:17 


20/04/09
1067
topic24366.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group