2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 преобразование Фурье
Сообщение30.07.2009, 09:25 


20/04/09
1067
It is known that the Fourier transform takes $L^p(\mathbb{R}^m)$ to $L^{p'}(\mathbb{R}^m)$, $p\in [1,2]$.
Please, is for the case $p\in (1,2)$ the Fourier transform a homeomorphism ?

 Профиль  
                  
 
 Re: преобразование Фурье
Сообщение30.07.2009, 18:56 


22/12/07
229
похоже что да, т.к. преобразование фурье будет линейным ограниченным (и след-но непрерывным) оператором, см. неравенство Хаусдорфа-Юнга (там правда рассматривается немного другой случай, но по-моему аналогичные выкладки можно и в Вашей задаче сделать) (если я правильно понял, $1/p + 1/p' = 1$)

 Профиль  
                  
 
 Re: преобразование Фурье
Сообщение30.07.2009, 19:08 


20/04/09
1067
nckg в сообщении #232114 писал(а):
похоже что да, т.к. преобразование фурье будет линейным ограниченным (и след-но непрерывным) оператором, см. неравенство Хаусдорфа-Юнга (там правда рассматривается немного другой случай, но по-моему аналогичные выкладки можно и в Вашей задаче сделать) (если я правильно понял, $1/p + 1/p' = 1$)

вопрос то не в этом. вопрос является ли преобразование Фурье отображением "на" -- нет не является, как мне тут объяснили:


No.

Hmm, there are probably cleaner ways to see this:

First, you can use the Rudin-Shapiro polynomials to
construct a continuous function on the circle such that
its Fourier coefficients do not lie in l^p for any p < 2.
(See for example the end of Chapter 23 in "Complex
Made Simple", heh-heh.)

I'm pretty sure it actually _follows_ that there exists
a function f on the line, continuous with compact
support, such that the Fourier transform f^ does
not lie in L^p for any p < 2. If we can't figure out
how the follows from the above, it certainly follows
by a similar argument to the one that proves the above.

Now f is in L^p' but there is no g in L^p with f = g^.
The reason being that, for example, there _is_
a tempered distribution g with f = g^ (g is the
reflection of f^), and g is not in L^p; uniqueness
for the Fourier transform for tempered
distributions shows that there is no such
g.

David C. Ullrich

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group