Задача о цилиндре и приложенным к нему импульсе

[PapaKarlo]

ABV в сообщении #230664 писал(а):

Пуля с массой m и скоростью Vp с неким импульсом ударяется о цилиндр с массой M, длинной L и радиусом R. После удара пуля полностью останавливается.
В первом случае удар приходится в центр масс цилиндра.
Во втором случае на расстоянии L/4 от центра масс.

Найти линейные скорости движения центра масс цилиндра после удара.
===========================================
Может ещё чтото подкоректировать ?

Конечно, подкорректировать.

1) Лучше всего, чтобы Вы нарисовали рисунок.

2) Что значит "удар приходится в центр масс цилиндра?" Если плотность цилиндра одинакова в любой его точке, то центр масс находится как бы внутри цилиндра. В каком смысле пуля ударяет во внутреннюю точку цилиндра? Каковым предполагается взаимодействие материала цилиндра с пулей на пути последней от момента соприкосновения с поверхностью цилиндра до цента масс?

3) Что значит "на расстоянии L/4 от центра масс"? В каком направлении откладывается это расстояние от центра масс? Цилиндр - тело, несколько отличающееся от шара (сферы), нет? Разумеется, к этому те же вопросы, что и в предыдущем пункте.

4) Как направлена скорость пули по отношению к цилиндру (к его оси, к его поверхности) в момент удара - в обоих случаях?

5) Что значит "пуля останавливается"? По отношению к чему скорость пули после удара становится равной нулю?

Но самое главное: есть закон сохранения импульса. В описанном Вами случае он все равно выполняется. Поэтому решение, предложенное venco, будет почти верным, если масса пули пренебрежимо мала по сравнению с массой цилиндра. Уточнить решение можно лишь после ответа на поставленные выше вопросы.

А еще лучше было бы, если бы Вы не пытались придумать задачу, которая иллюстрировала некую Вашу мысль, а просто изложили бы эту мысль, и все стало бы ясно.

[ABV]

venco писал(а):

Связать довольно легко, использовав законы сохранения импульса и момента импульса.

Свяжите пожалуйста.
Думаю придётся учитывать момент инерции цилиндра.

-- Ср июл 22, 2009 18:37:56 --

PapaKarlo писал(а):

1) Лучше всего, чтобы Вы нарисовали рисунок.

Обязательно. Немного погодя со временем.

PapaKarlo писал(а):

2) Что значит "удар приходится в центр масс цилиндра?" Если плотность цилиндра одинакова в любой его точке, то центр масс находится как бы внутри цилиндра. В каком смысле пуля ударяет во внутреннюю точку цилиндра? Каковым предполагается взаимодействие материала цилиндра с пулей на пути последней от момента соприкосновения с поверхностью цилиндра до цента масс?

Уж сделайте допущение пожалуйста, что точно в центр. Минуя все преграды. Зачем усложнять себе жизнь?

PapaKarlo писал(а):

3) Что значит "на расстоянии L/4 от центра масс"? В каком направлении откладывается это расстояние от центра масс? Цилиндр - тело, несколько отличающееся от шара (сферы), нет? Разумеется, к этому те же вопросы, что и в предыдущем пункте.

Извините за оплошность. Тонкий цилиндр. Откладывается расстояние по длине цилиндра.

PapaKarlo писал(а):

4) Как направлена скорость пули по отношению к цилиндру (к его оси, к его поверхности) в момент удара - в обоих случаях?

Тело (пуля) летит строго перпендикулярно оси вращения цилиндра.

PapaKarlo писал(а):

5) Что значит "пуля останавливается"? По отношению к чему скорость пули после удара становится равной нулю?

Пуля теряет скорость по отношению к наблюдателю, от которого замеряется её скорость. Для этого же наблюдателя цилиндр, до удара, имеет нулевую скорость.

===

PapaKarlo писал(а):

А еще лучше было бы, если бы Вы не пытались придумать задачу, которая иллюстрировала некую Вашу мысль, а просто изложили бы эту мысль, и все стало бы ясно.

Для сложных движений считаться всё должно по другому принципу.
Знаю. Звучит как ахинея. Пытаюсь проясниться в этом вопросе.

Например. это хорошее решение в космологии. Нет темной материи. Просто галактики от сложного движения сами движутся навстречу друг другу. Все законы выполняюстся. Только что то пока не учитывается.

-- Ср июл 22, 2009 18:51:48 --

Еще немного погодя.
Размышления, которые мне помогут решить задачу

Если одно тело сообщает импульс P другому телу, то другое будет сохранять этото импульс. ЗСИ.Причём кинетическая энергия изменяется.
Но сохраняется в теле.

Если удар приходится в ЦМ цилиндра то цилиндр получает импульс и движется с кинетической энергией $E=\frac{Mv^2}{2}$.
При ударе в край цилиндра энергия должна иметь то же значение. Но считается по формуле $E=\frac{Mv^2}{2}+\frac{I\omega^2}{2}$.
Исходя из того, что энергия тела при определённой массе должна быть одинаковая от полученного импульса, то при ударе с которым появляется вращение, ЦМ вращения цилиндра будет терять линейную скорость.


====
Добавлю наглядный пример с квадратами, как наглядное пособие

[venco]

ABV в сообщении #230706 писал(а):

venco писал(а):

Связать довольно легко, использовав законы сохранения импульса и момента импульса.

Свяжите пожалуйста.
Думаю придётся учитывать момент инерции цилиндра.

Естественно.
Если нигде не ошибся, то $\frac{E_k}{E_r}=4$.

ABV в сообщении #230706 писал(а):

PapaKarlo писал(а):

5) Что значит "пуля останавливается"? По отношению к чему скорость пули после удара становится равной нулю?

Пуля теряет скорость по отношению к наблюдателю, от которого замеряется её скорость. Для этого же наблюдателя цилиндр, до удара, имеет нулевую скорость.

Кстати, ABV, вы в курсе, что для выполнения этого условия вам потребуются всяческие пружинки, или специально подобранное отношение масс пули и цилиндра. Проще добиться нулевой скорости относительно цилиндра - так называемое абсолютно неупругое столкновение. Соответственно, кинетическая энергия не сохранится.

[ABV]

venco в сообщении #230707 писал(а):

Естественно.
Если нигде не ошибся, то $\frac{E_k}{E_r}=4$.

То есть если считать полную кинетическую энергию тела как E, to $\frac{1}{5}E это энергия вращения и $\frac{4}{5}E энергия поступательного движения. Соответвенно эта кинетическая энергия поступательного движения будет отличаться от кинетической при ударе в центр вращения на $\frac{1}{5}E. Учитывая квадратичную зависимость скорости в формуле кинетической энергии то линейная скорость в этих двух случаях будет различаться на коэффициент 0.9
$V_1=0.9V_2$

Цитата:

Кстати, ABV, вы в курсе, что для выполнения этого условия вам потребуются всяческие пружинки, или специально подобранное отношение масс пули и цилиндра. Проще добиться нулевой скорости относительно цилиндра - так называемое абсолютно неупругое столкновение. Соответственно, кинетическая энергия не сохранится.

Это абстрактная задача. Если ваше предложенное столновение тел будет сильно отличаться от предыдущего, то можно даже их сравнить. Это только можно приветствовать.

[venco]

ABV в сообщении #230711 писал(а):

venco в сообщении #230707 писал(а):

Естественно.
Если нигде не ошибся, то $\frac{E_k}{E_r}=4$.

То есть если считать полную кинетическую энергию тела как E, to $\frac{1}{5}E это энергия вращения и $\frac{4}{5}E энергия поступательного движения. Соответвенно эта кинетическая энергия поступательного движения будет отличаться от кинетической при ударе в центр вращения на $\frac{1}{5}E. Учитывая квадратичную зависимость скорости в формуле кинетической энергии то линейная скорость в этих двух случаях будет различаться на коэффициент 0.9
$V_1=0.9V_2$

Перечитайте ещё раз то, что я написал ниже. Полная кинетическая энергия при ударе по центру не равна полной кинетической энергии при ударе сбоку. Поэтому все ваши вычисления здесь можете выкинуть.

venco писал(а):

Кстати, ABV, вы в курсе, что для выполнения этого условия вам потребуются всяческие пружинки, или специально подобранное отношение масс пули и цилиндра. Проще добиться нулевой скорости относительно цилиндра - так называемое абсолютно неупругое столкновение. Соответственно, кинетическая энергия не сохранится.

[PapaKarlo]

ABV в сообщении #230706 писал(а):

Обязательно. Немного погодя со временем.

ABV в сообщении #230706 писал(а):

Уж сделайте допущение пожалуйста, что точно в центр. Минуя все преграды.
Тонкий цилиндр. Откладывается расстояние по длине цилиндра.
Тело (пуля) летит строго перпендикулярно оси вращения цилиндра.
Пуля теряет скорость по отношению к наблюдателю, от которого замеряется её скорость. Для этого же наблюдателя цилиндр, до удара, имеет нулевую скорость.

Тонкий цилиндр, т.е. стержень. Радиус цилиндра в такой постановке (как я ее понял без рисунка) не играет роли.

У цилиндра как геометрической фигуры есть ось симметрии (надо думать, рассматривается цилиндр с кругом в основании) - прямая, перпендикулярная основнию и проходящая через центр круга-основания. Впрочем, есть и множество других осей симметрии - любая прямая, пересекающая указанную выше и перпендикулярная ей.

Если физическое тело насадить на ось, вокруг которой оно может вращаться - а в случае с цилиндром эта ось не обязана совпадать с любой осью симметрии - тогда понятно, но надо указать, как проходит эта ось.

Если никаких физических осей нет, а цилиндр не вращается, то и оси вращения нет. Если же тело совершает сложное движение, то, вообще говоря, в качестве оси вращения можно выбрать множество разных прямых; в зависимости от выбора описание движения окажется сложнее или проще.

Если я правильно понял Вашу задачу, то второй случай изображен на рисунке:

Некоторые обозначения изменены, в частности, R обозначает не радиус цилиндра (в такой постановке не играющий роли), а половину длины стержня. Рассматривается вращение вокруг оси, проходящей через центр масс стержня. Тело массой $m$ ударяет в точку стержня, находяющуюся на расстоянии $r\leqslant R$ от центра масс стержня. В момент соударения скорость тела равна $v$. До соударения стержень неподвижен в выбранной ИСО, после соударения в этой же ИСО неподвижно тело массы $m$.

Решение (только результат):

Угловая скорость вращения стержня вокруг выбранной оси после удара

$\omega = \frac{12mvr}{MR^2}$

Линейная скорость движения центра масс стержня после удара (в указанной интерпретации "остановки пули" решение venco, естественно, верно)

$v_2=\frac{m}{M}v$

Кинетическая энергия стержня после соударения

$K=\frac{mv^2}{2}\frac{m}{M}\left(1+\frac{12r^2}{R^2}\right)$

Отсюда видно, что при отсутствии взаимодействия с третьими телами условие "после удара пуля полностью останавливается" реализуемо лишь при выполенении условия

$M \geqslant \left(1+\frac{12r^2}{R^2}\right)m$

причем знак равенства соответствует абсолютно упругому соударению, неравенство означает неупругое соударение (часть кинетической энергии переходит в тепло). Для первого случая ("удар приходится в центр масс цилиндра") достаточно подставить в указанные выражения $r=0$. Для второго $r=R/2$.

[ABV]

Спасибо за решение задачи.

Теперь немножко вопросов по нему.
Что подрузамевается под словом кинетическая энергия? Полная или её часть с линейным движением центра масс?
Кинетическая энергия с увеличением радиуса возрастает. Почему? Если принять радиус удара к бесконечности, кинетическая энергия будет бесконечно велика?

В решении сразу заложено, что скорость центра масс цилиндра равна скорости полученого от импульса в одномерном движении. Но тело начинает совершать 2 движения. Почему не принять, что импульс может разложиться в скалярном виде на два этих движения?
Тогда всё просто. Полная кинетическая будет одной и той же, а линейная скорость центра масс будет равна:

$\[ V = V_0 \sqrt{\frac{E_t}{E_t+E_r}}%

где Vо скорость полученная при одномерном импульсе.

[venco]

ABV в сообщении #230807 писал(а):

В решении сразу заложено, что скорость центра масс цилиндра равна скорости полученого от импульса в одномерном движении. Но тело начинает совершать 2 движения. Почему не принять, что импульс может разложиться в скалярном виде на два этих движения?

Во первых, импульс - вектор, а не скаляр. Во вторых, суммарный импульс всех частей при вращении вокруг центра масс равен нулю. Можете сами это вывести из формулы для определения центра масс. Т.е. импульс всегда можно отнести к телу как точке в центре масс.
Попытка вывести то же самое для кинетической энергии не проходит - остаётся добавка от вращения с коэффициентом, который зависит от формы тела относительно оси вращения. И называется этот коэффициент моментом инерции.

[PapaKarlo]

ABV в сообщении #230807 писал(а):

Что подрузамевается под словом кинетическая энергия? Полная или её часть с линейным движением центра масс?

Для абсолютно твердого тела $K=\frac{mv^2}{2}+\frac{J\omega^2}{2}$, где $m$ - масса тела, $v$ - скорость движения центра масс тела, $J$ - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, $\omega$ - угловая скорость вращения тела вокруг этой оси.

ABV в сообщении #230807 писал(а):

Кинетическая энергия с увеличением радиуса возрастает. Почему?

Не знаю, почему. Может, и не возрастает. А может быть, возрастает с повышением температуры приповерхностных слоев воды в районе Бермуд. Вы опять не формулируете условия, относительно которых делаете заключения/задаете вопросы.

ABV в сообщении #230807 писал(а):

Если принять радиус удара к бесконечности, кинетическая энергия будет бесконечно велика?

Ага, радиус удара, это то, что я обозначил через $r$? Тогда яснее, только радиус к удару обычно не относят; это просто расстояние, обозначенное буквой $r$.

Кинетическая энергия в Вашей задаче не превышает $\frac{mv^2}{2}. От расстояния точки соударения до центра масс стержня (от соотношения$r/R$) зависит, какая часть кинетической энергии превратится во внутреннюю. Столь странная на первый взгляд зависимость обусловлена очень простым фактом: Вы постулировали, что при соударении пули и стержня происходят некие процессы, приводящие к остановке пули после соударения. Не суть важно, какова природа этих процессов - если это так, то $K$ зависит от $r$ так, как я написал (если, конечно, я не ошибся при решении, но похоже, что не ошибся). То же самое касается линейной скорости центра масс стержня: ее независимость от точки соударения объясняется наложенным Вами условием ("пуля останавливается") и законом сохранения импульса.

Если хочется сохранить физический смысл в задаче, то при $r \to \infty$ также $R \to \infty$, причем не "медленнее" чем $r$. Поэтому КЭ не стремится к бесконечности. Более того, если при этом плотность материала стержня не стремится к нулю, то при фиксированной $m$ КЭ стержня после соударения стремится к нулю; почему это так - Вам математическое упражнение.

ABV в сообщении #230807 писал(а):

В решении сразу заложено, что скорость центра масс цилиндра равна скорости полученого от импульса в одномерном движении.

Уже ответил venco. При рассмотрении вращения выбор оси, проходящей через центр масс тела тем и удобен, что импульс тела определяется просто как импульс материальной точки, имеющей массу тела и находящейся в ЦМ тела. А в остальном в решении задачи по вопросу движения центра масс стержня заложены лишь два соображения: Ваше о состоянии стержня и пули до и после соударения, а также закон сохранения импульса.

ABV в сообщении #230807 писал(а):

Но тело начинает совершать 2 движения.

Сколько движений совершает тело - вопрос не вполне корректный; зависит от того, что мы определяем как движение. Если мы говорим, что движение - это изменение положения тела или отдельных его частей в пространстве, то движение - всегда одно. Однако если мы хотим описать движение математически, желательно упростить рассмотрение, но самое главное - получить адекватное описание. Конечно, можно описать движение каждой точки, но если этих точек очень много, возникает проблема со временем. Поэтому говорят, что сложное движение абсолютно твердого тела рассматривается как суперпозиция двух движений: поступательного движения центра масс (корректнее - некоей материальной точки, положение которой в любой момент времени совпадает с положением абстрактной геометрической точки - ЦМ) и вращения тела вокруг оси, проходящей через ЦМ. При этом в теормеханике пользуются теми преимуществами, которые дает упрощение реального тела до абсолютно твердого тела: расстояние любой точки тела до ЦМ (или до любой другой точки тела) остается неизменным при любых процессах.

Резюме: сложное движение - всегда два движения. В некоторых случаях как минимум одно из этих движений происходит с постоянной (например, нулевой) скоростью.

ABV в сообщении #230807 писал(а):

Почему не принять, что импульс может разложиться в скалярном виде на два этих движения?

Потому что импульс и движение - разные понятия. Нельзя разложить, например, помидоры на цвета радуги. Если же Вы имеете в виду разложение вектора импульса на два вектора, один из которых был бы обусловлен поступательным движением центра масс, а второй - вращением тела, то, как уже ответил venco, вращению тела относительно оси, проходящей через центр масс, соответствует нулевой импульс. Поэтому фактически Вы можете разложить импульс тела на некое слагаемое и ноль.

ABV в сообщении #230807 писал(а):

Тогда всё просто. Полная кинетическая будет одной и той же, а линейная скорость центра масс будет равна:
$\[ V = V_0 \sqrt{\frac{E_t}{E_t+E_r}}%
где Vо скорость полученная при одномерном импульсе.

Здесь опять непонятно, что Вы обозначаете буквами $E$ с индексами, что такое "скорость полученная при одномерном импульсе". Вам может показаться, что я буквоедствую, но Ваша терминология несколько своеобразна, поэтому мне непонятна. Единственное, что могу сказать: нет никаких двух линейных скоростей, это я уже написал выше.

Кроме того, есть следующее соображение. Некую задачу можно решать разными способами. Но если решение описывает с той или иной степенью точности реальную ситуацию, то полученный ответ должен быть одинаковым независимо от способа решения. Вы пытаетесь получить иной ответ, чем предложенный Вам? Т.е. у Вас есть сомнения в правильности предложенного ответа (ситуация возможна)? Проверьте его; я не писал всех выкладок, но ответ получен на основании законов сохранения импульса, момента импульса, а ограничение на соотношение масс - на основании закона сохранения энергии. Если же Вы не сомневаетесь в правильности ответа, то что Вы ищете? Ошибку в Ваших рассуждениях? Это другое дело.

[Утундрий]

Интересно, запишет ли кто-то наконец сами уравнения движения или будут и дальше в трех соснах бродить...

[ABV]

venco в сообщении #230810 писал(а):

Во первых, импульс - вектор, а не скаляр. Во вторых, суммарный импульс всех частей при вращении вокруг центра масс равен нулю. Можете сами это вывести из формулы для определения центра масс. Т.е. импульс всегда можно отнести к телу как точке в центре масс.
Попытка вывести то же самое для кинетической энергии не проходит - остаётся добавка от вращения с коэффициентом, который зависит от формы тела относительно оси вращения. И называется этот коэффициент моментом инерции.

Смущает только одно. При ударе дальше от центра массвращения - возрастает энергия. Откуда она берётся? С передачей импульса к телу с другой массой всё железно. Импульс сохраняется, энергия нет.
Здесь то же тело, импульс немножко по другому приходит и энергия сразу возрастает. Как так?

-- Чт июл 23, 2009 14:08:22 --

Утундрий в сообщении #230834 писал(а):

Интересно, запишет ли кто-то наконец сами уравнения движения или будут и дальше в трех соснах бродить...

Есть предложения?

[Утундрий]

Есть, см. выше. Надоело уже повторять: запутались в интегралах движения - вернитесь к первопринципам. Откройте ЛЛ т.1, перепишите оттедова уравненьица, посмотрите на них глазами, похлопайте ушами... и так далее, до просветления.

[ABV]

PapaKarlo в сообщении #230814 писал(а):

Кроме того, есть следующее соображение. Некую задачу можно решать разными способами. Но если решение описывает с той или иной степенью точности реальную ситуацию, то полученный ответ должен быть одинаковым независимо от способа решения. Вы пытаетесь получить иной ответ, чем предложенный Вам? Т.е. у Вас есть сомнения в правильности предложенного ответа (ситуация возможна)? Проверьте его; я не писал всех выкладок, но ответ получен на основании законов сохранения импульса, момента импульса, а ограничение на соотношение масс - на основании закона сохранения энергии. Если же Вы не сомневаетесь в правильности ответа, то что Вы ищете? Ошибку в Ваших рассуждениях? Это другое дело.

Вы решели задачу классически. За что Вам огромное СПАСИБО.

Но.

Исходя из поставленного опыта, я не могу согласится с решением этой задачи. Вы решили правильно исходя из выполнения всех физических законов. Но у меня закрадывается сомнение в правильности установки правил(законов) для сложных взаимодействий. Классические законы записаны для одномерных взаимодействий. Но если точка в пространстве выполняет более сложные движения, а совокупность этих точек представляет одно и то же тело, то законы может быть выполняются по немножко другим правилам. Что собственно я и пытаюсь выяснить.

Я предпологаю, что при ударе о край стержня, цилиндр получает импульсы на вращательное и поступательное движение. Причём сумма этих векторов будет равна полученному вектору. Далее, при возникновении вращения, вектора перпендикулярны друг другу. Импульс сохраняется просто в начальный момент раскладывается на вектора по количеству движений.Тогда исходя из этого линейная скорость центра масс цилиндра будет пропорционально части импульса для поступательного движения. Если вернуться к классичекой интерпритации, то угловой момент появился из ниоткуда, так как цилиндр имеет полный импульс для поступательного движения.

-- Чт июл 23, 2009 14:30:10 --

Утундрий в сообщении #230839 писал(а):

Есть, см. выше. Надоело уже повторять: запутались в интегралах движения - вернитесь к первопринципам.

Верны ли первопринципы?


===



Только сейчас навеяло о безграничной энергии.
Значит тратим сумарную энергию Е1 на удар с вращением, снимаем с вращения цилиндра энегию Е2. Если Е2 > Е1 - Вечный двигатель готов!

[Утундрий]

ABV в сообщении #230844 писал(а):

Верны ли первопринципы?

Да уж на таком-то уровне практически наверняка верны.

[ABV]

Утундрий в сообщении #230845 писал(а):

ABV в сообщении #230844 писал(а):

Верны ли первопринципы?

Да уж на таком-то уровне практически наверняка верны.

Давайте усомнимся.
Будут ли одномерные взаимодействия адекватны многомерным?

----
Давайте будем разбираться.
Классическая физика запрещает перемешивать угловой момент и импульс. И правильно делает.
Сколко не двигай замкнутую систему прямолинейно, находяшийся на оси сбалансированое тело вращаться не станет. Очевидный факт.
Тоже самое и с вращением. Сколько не вращай космический спутник, кроме вращения вокруг собственной оси ничего не получишь.
Этот случай с цилиндром не подходит не под один из них. При ударе не в центр, тело мало того, что начинает двигаться прямолинейно, оно ещё начинает вращаться. Решение задачи в классических законах физики даёт ошиломляющий результат. Мало того что импульс сохраняется, ещё из ниоткуда появляется момент импульса. Соответственно появляется и дополнительная энергия вращения.
Может надо поправки внести для взаимодействия, результатом которого является сложное движение? Ведь вектор скорости можно разложить. Почему бы не разложить импульс?