доказать

[Апис]

TOTAL в сообщении #228606 писал(а):

$\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right)$ - зависит от $j$? Стоит под знаком суммы? Может быть вынесено из-под этого знака?

$\[ \sum\limits_{j = i}^k {(p_j^2 )} \left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right) - \sum\limits_{j = i}^k {(p_{j - 1}^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_{i - 1} - 1} \right)}}{{p_{i - 1} }}} } \right)} + \left( {x - p_k^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right) \] $
Вот сейчас можно выносить

[TOTAL]

Апис в сообщении #228629 писал(а):

Я бы скорее сказал , что (j)зависит от произведения, поэтому выносить его из под знака суммы нельзя
TOTAL я хочу спросить если с обозначениями всё в порядке я мог бы двигатся дальше, хочу ещё открыть одну тему, что бы вопрос количества простых чисел не мешался в данной теме

1) С обозначениями не все в порядке. И уже не надеюсь, что когда-нибудь будет в порядке.
2) Поэтому торжественно обещаю больше не писать в этой теме. (Найдутся другие храбрецы? )

[Дима Тишков]

У меня появилась идиотская мысль: может там $\prod\limits_{j=1}^i$, т. е. верхний предел (и число множителей) равен номеру слагаемого?

[Апис]

Я убедился, что с переменными и в произведении и в сумме изначально невозможно было строго, безусловно правильно описать мою работу.
Использовав обозначение суммы ряда $\[ S_n \] $
только в таком виде получил полное соответствие работы и её описания в данных обозначениях
В таком виде нужно доказать или опровергнуть данное утверждение$\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{S_{n + 1} + [x - (p_{n + 1} )^2 ]\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} }}{x} = 0 \] $
$\[ S_{n + 1} = \left( {(p_2 )^2 \prod\limits_{i = 1}^2 {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }} - (p_1 )^2 \prod\limits_{i = 1}^1 {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} } } \right) + \left( {(p_3 )^2 \prod\limits_{i = 1}^3 {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }} - (p_2 )^2 \prod\limits_{i = 1}^2 {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} } } \right) + \cdot \cdot \cdot + \left( {(p_{n + 1} )^2 \prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }} - (p_n )^2 \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} } } \right) \] $
$\[ (p_{n + 1} )^2 \le x > (p_{n + 2} )^2 \] $
n - номер простого числа
p - ростое число
Зато никакого искажения работы
Надо признать, всегда чувствовал, что с обозначениями не всё ладно и только благодаря форуму разобрался.
И зря некоторые ёрничали, я не играл с вариантами обозначений, я искал выход.

Дима Тишков вы молодец ухватили суть проблемы, светлая голова.

[ИСН]

По обыкновению, до конца не читал, но в $S_{n+1}$ можно раскрыть большие скобки, и почти всё сократится.
(Если, конечно, имеется в виду то, что написано)

[Апис]

ИСН в сообщении #228986 писал(а):

По обыкновению, до конца не читал, но в $S_{n+1}$ можно раскрыть большие скобки, и почти всё сократится.
(Если, конечно, имеется в виду то, что написано)

Сократите, иначе это просто слова

[ИСН]

Вы издеваетесь? (2-1)+(3-2)+(4-3)... Впрочем, screw it. Слова, конечно, всё просто слова...

[age]

ИСН в сообщении #229047 писал(а):

Вы издеваетесь? (2-1)+(3-2)+(4-3)... Впрочем, screw it. Слова, конечно, всё просто слова...

$(2-1)+(3-2)+(4-3)...(n-(n-1))=n-1$

[Апис]

$\[ \pi (x) \approx S_m + \frac{{\prod _n \times (x - p_n^2 )}}{{p_n \# }} \] $
$\[ p_n \] $- простое число, где (n) – номер простого числа
$\[ \prod _n \] $- произведение$\[ (p_1 - 1) \times (p_2 - 1) \times ..... \times (p_n - 1) \] $ где (n) – номер простого числа и соответственно количество сомножителей
$\[ S_m = \left( {\frac{{\prod _2 \cdot p_2^2 }}{{p_2 \# }} - \frac{{\prod _1 \cdot p_1^2 }}{{(p_1 )}}} \right) + \left( {\frac{{\prod _3 \cdot p_3^2 }}{{p_3 \# }} - \frac{{\prod _2 \cdot p_2^2 }}{{p_2 \# }}} \right) + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \left( {\frac{{\prod _{n + 1} \cdot p_{n + 1}^2 }}{{p_{n + 1} \# }} - \frac{{\prod _n \cdot p_n^2 }}{{p_n \# }}} \right) \] $
$\[ (p_{n + 1} )^2 \le x > (p_{n + 2} )^2 \] $
$\[ S_m \] $- сумма (m) членов ряда

$\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{S_m + \frac{{\prod _n \times (x - p_n^2 )}}{{p_n \# }}}}{x} = 0 \] $ Доказать или опровергнуть