Физический смысл определителя

[Ulrih]

А какой физический смысл имеет определитель. Скажем, в квантовой механике для какой-то системы есть гамильтониан $\hat{H}$, имеется базис для этой системы $\psi_i$.
Составим матрицу (вообще говоря, бесконечную):
$ \left( \begin{array}{ccc} H_{11} & H_{12} & ... \\ ...&...&...\\ H_{i1} & H_{i2} & ... \\ ...&...&...\\ \end{array} \right)$
где $H_{ik} \equiv \int_{\infty}{\bar{\psi}_i \hat{H} \psi_k d \tau}$, интегрирование ведется по всему конфигурационному пространству.

Матрица $H$ --- эрмитова, значит, в случае действительных значений симметрична, в общем случае определитель отличен от нуля.

В математических справочниках пишут, что определитель (детерминант) является характеристикой матрицы. Какую же характеристику несет детерминант для матрицы $H$ в квантовой механике?

[Munin]

Никакую. Не обязательно всё то, что вы вздумаете посчитать, несёт смысл.

Определитель не зависит от базиса, так что возьмите базис собственных состояний $\hat{H}$, и посчитайте определитель в этом представлении. Сразу увидите.

[Ulrih]

Определитель бесконечной матрицы...

[ewert]

Ulrih в сообщении #228194 писал(а):

Определитель бесконечной матрицы...

... вообще говоря, смысла не имеет -- лишь в каких-то очень частных случаях.

[Munin]

Ulrih в сообщении #228194 писал(а):

Определитель бесконечной матрицы...

Ну вот и считайте :-) Можете взять систему с конечным числом уровней. Поймёте, чему равен определитель, тогда поймёте, и во что он превращается в бесконечном случае.

[Ulrih]

Цитата:

Определитель не зависит от базиса, так что возьмите базис собственных состояний , и посчитайте определитель в этом представлении.

Для одномерного квантового гармонического осцилятора все просто:

$$det H = \hbar \omega \prod_{n=0}^{N_{max}}{\frac{2 n + 1}{2}} $$

$$ \lim_{N{max} \to \infty} {det H} \to \infty $$

а в физике бесконечностей нет. То есть методом "отпротивного" доказано, что физического смысла нет

[Munin]

Munin в сообщении #228229 писал(а):

Можете взять систему с конечным числом уровней.

Ulrih в сообщении #228272 писал(а):

$$det H = \hbar \omega \prod_{n=0}^{N_{max}}{\frac{2 n + 1}{2}} $$

лучше
$ \mathop{\mathrm{det}} H = \prod\limits_{n}{E_n}$

[ewert]

Ulrih в сообщении #228272 писал(а):

Для одномерного квантового гармонического осцилятора все просто:

$$det H = \hbar \omega \prod_{n=0}^{N_{max}}{\frac{2 n + 1}{2}} $$

Для одномерного осциллятора $N_{max}$ не существует. И вообще, определитель бесконечной матрицы осмыслен лишь тогда, когда исходный оператор в некотором смысле близок к единичному. Нельзя сказать, что такого в физике совсем уж не встречается (что-то подобное возникает, скажем, для операторов рассеяния). Просто определители тут математически достаточно бесполезны.

[Nik_Svan]

ewert писал(а):

исходный оператор в некотором смысле близок к единичному.

Это очень эффективно используется в прикладной квантовой химии.

-- Пн июл 13, 2009 13:15:21 --

Ulrih в сообщении #228157 писал(а):

А какой физический смысл ...

Попробуйте использовать метод супероператоров.

[Munin]

Nik_Svan
Литературу назовёте?

[iig]

Не представляю, какой может быть физический смысл в математических объектах.
Математический смысл для метрического тензора - объем (матрица Грамма),
Для матрицы преобразований - один из инвариантов, в частности, если определен метрический тензор, то изменение объема.
P.S. Не помню, может тут корень есть, лень посмотреть..

[Munin]

iig в сообщении #228726 писал(а):

P.S. Не помню, может тут корень есть, лень посмотреть..

Есть, конечно. Берёте диагональный вид, и сразу видите.

[iig]

Спасибо, только я не понял "диагональный вид", чтобы мне не разбираться, лучше популярно, чтобы клиент понял, уточните, пожалуйста.
Может, вы имеете в виду приведение к диагональной форме в соответствующей системе координат?
ЗЫ Клиент не я, а кто тему начал

[Munin]

Если вы что-то не поняли, это не значит, что автор темы что-то не понял.

[Ulrih]

Цитата:

Если вы что-то не поняли, это не значит, что автор темы что-то не понял.

Не беспокойтесь. Я понял что

Цитата:

Не представляю, какой может быть физический смысл в математических объектах.

ну конечно в некоторых он есть. на не здесь