Интеграл Стилтьеса

[sladkaya2311]

$f(x)=cos(x)$,$g(x)=sin(x)+x+[x]$,$x принадлежит [0,pi]$
найти $\int(fdg)$
вообще не представляю как решается задача.помогите пожалуйста,буду очень благодарна.

[demonafi]

Воспользуйтесь соотношением

$\int\limits_{0}^{a} f(x) dg(x) = \lim\limits_{h \to 0} \int\limits_{0}^{a} g(x+h)f(x) dx$

при условии что $f'(x)$ интегрируема в смысли Римана на отрезка от 0 до a

[AD]

Не верю в это соотношение. Где-то ошибка. Правая часть больше похожа на $\int\limits_{0}^{a} f(x)g(x) dx$

[demonafi]

http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?j ... n_lang=rus

скачайте и посмотрите там это соотношение с доказательством!

[AD]

Формула (1') которая? Я же говорю, что с ошибкой. $\dfrac{d}{dh}$ пропустили.

[demonafi]

Эх точно пропустил, извените невнимательно переписал)

[AD]

А статья мне понравилась очень, почитаю, спасибо!

-- Ср июн 10, 2009 22:17:48 --

Так, ну надо чему-то автора научить. Это, конечно, будет круто, если при решении учебной задачки пользоваться результатами 2005 года, но не слишком ли?

sladkaya2311, ну давайте вот как. Во-первых, интеграл Стилтьеса линеен по обоим функциям - и по $f$, и по $g$. То есть надо сначала научиться интегрировать $f$ по $x$, по $\sin x$ и по $[x]$, а потом сложить результаты.

Часть 1: интеграл Стилтьеса по $x$ - это все равно что обычный интеграл Римана.

Часть 2: синус - это функция очень гладкая, поэтому можно воспользоваться формулой $\int f\,dg=\int fg'\,dx$.

Часть 3: а вот тут начните с более простого упражнения. Разберите случай "функции хевисайда":

$$g(x)=\begin{cases}1&,x\geqslant0\\ 0&,x<0\end{cases}$$

- проинтегрируйте какую-нибудь (по сути, любую непрерывную) функцию $f$ по ней, и поймите, что происходит. При этом никакими формулами не пользуйтесь - просто прямо по определению: берёте разбиения, и смотрите, к чему стремится.