2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость ряда
Сообщение19.05.2009, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Как исследовать сходимость ряда
$$ \sum_{k=1}^\infty {1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2k-1)\over 2^k k!} {1\over2k+1} ? $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение19.05.2009, 22:10 
Аватара пользователя


16/02/06
222
Украина
Признак Даламбера или Раабе пробовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение19.05.2009, 22:29 


02/07/08
322
Например, с помощью формулы Стирлинга можно показать, что $\frac {1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2k-1)}{ 2^k k!} \sim \frac 1 {\sqrt{\pi k}}$, дальше сравнение с гармоническим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение19.05.2009, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Пробовал признак Даламбера. Получается
$$ {a_{n+1}\over a_n}={2k+1\over 2k+2}\cdot {2k+1\over 2k+3}\to 1\quad (k\to\infty). $$
Я что-то делаю не так?

-- 22:33 19.05.2009 --

Cave в сообщении #215402 писал(а):
Например, с помощью формулы Стирлинга можно показать, что $\frac {1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2k-1)}{ 2^k k!} \sim \frac 1 {\sqrt{\pi k}}$, дальше сравнение с гармоническим.
В этом курсе считается, что формулу Стирлинга мы еще не знаем. Хотелось бы обойтись более стандартными приемами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение19.05.2009, 23:37 
Аватара пользователя


16/02/06
222
Украина
Бодигрим в сообщении #215403 писал(а):
Я что-то делаю не так?


Все так, просто признак Даламбера не дает ответа :? . Пробуйте признак Раабе

$\lim\limits_{n\to+\infty}(\frac {a_n}{a_{n+1}}-1)>1$ - значит сходится, и наоборот.

У меня вышло что ряд расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение19.05.2009, 23:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
citadeldimon в сообщении #215416 писал(а):
$\lim\limits_{n\to+\infty}(\frac {a_n}{a_{n+1}}-1)>1$ - значит сходится, и наоборот.

М-м, может быть $\lim\limits_{n\to+\infty}n(\frac {a_n}{a_{n+1}}-1)>1$? Тогда у меня получается что-то в духе $3>1$ и ряд расходится. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение19.05.2009, 23:50 
Аватара пользователя


16/02/06
222
Украина
Бодигрим в сообщении #215417 писал(а):
М-м, может быть ?

Действительно, описка :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение20.05.2009, 00:44 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
А Wolfram Alpha говорит, что сумма равна $\pi/2$.

-- Вт май 19, 2009 17:48:33 --

При суммировании с нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение20.05.2009, 01:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
venco в сообщении #215428 писал(а):
А Wolfram Alpha говорит, что сумма равна $\pi/2$.

Видимо, суммирует по Абелю:
$$\lim_{z\to1-0}\sum_0^\infty\frac{(2n-1)!!}{2^nn!}\frac{z^n}{2n+1}=\lim_{z\to1-0}\frac{\arcsin\sqrt z}{\sqrt z}=\frac\pi2.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group