2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Максимум модуля от многочлена от нескольких переменных.
Сообщение22.04.2009, 17:15 
Аватара пользователя


25/03/08
241
Пусть $P(z_1, ..., z_n)$ - многочлен от $n$ комплексных переменных. Верно ли, что
$$
\max_{|z_1|\le 1, ..., |z_n|\le 1}|P(z_1, ..., z_n)|=\max_{|z_1|=1, ..., |z_n|=1}|P(z_1, ..., z_n)|
$$
? Я рассуждаю так. Во-первых очевидно, что максимум существует, так как мы ищем наибольшее значение на компакте. Во-вторых, предположим, что максимум достигается не на границе, т.е. при неких $z_1^{*}$, ..., $z_n^{*}$, причём существует такое $j$, что $|z_j^{*}|<1$ . Тогда рассмотрим $f(z)=P(z_1^{*},..., z_{j-1}^{*}, z, z_{j+1}^{*},...)$ Это будет аналитическая функция от $z$. Будем искать $\max_{|z|\le 1}|f(z)|$. Очевидно, что
$$
$\max_{|z|\le 1}|f(z)|$=|P(z_1^{*},..., z_{j-1}^{*}, z_j^{*}, z_{j+1}^{*},...)|
$$
и достигается при $z=z_j^{*},|z_j^{*}|<1$. Но это противоречит принципу максимума(если функция постоянна - то тогда максимум достигается в том числе и на границе, так что это не противоречит нашему доказываемому утверждению.) Получаем противоречие, и значит $|z_j|=1\forall j$. Правильно ли такое рассуждение?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.04.2009, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Интересно, а как Вы научились сравнивать комплексные числа? :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.04.2009, 17:24 
Аватара пользователя


25/03/08
241
Исправил.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.04.2009, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Известен и более общий факт: границей Шилова поликруга является его остов.
Так что все верно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group