Схема Бернулли ?

[Charlie]

В урне $n = 70$ шаров, по 10 шаров разного цвета, т.е. количество цветов $k = 7$ , шаров одного цвета $c = 10$
Делаем 5 выборок из урны $m = 5$ без возвращения шаров, по два шара за одну выборку, результат ни одной выборки нам не известен.
Задача: Определить $P_{col}$ вероятность того что хоть в одной выборке из пяти есть два шара одного цвета.

Вопрос: Можно ли для решения задачи использовать схему Бернулли ?

С одной стороны шаров одного какого-то из цветов мало и нельзя сказать что результаты предыдущих выборок не скажутся на последующих, а с другой стороны мы же не знаем результат предыдущих.
А заниматься подщётом всех благоприятных или не благоприятных исходов уж как-то сложновато на мой взгляд.

И как будет отлчаться решение по схеме Бернулли от решения с подщётом всех благоприятных или не благоприятных исходов ?

Вот как я решал по схеме Бернулли:

$P_{col} = 1 - P_{ncol}$ , где $P_{ncol}$ - вероятность того что в выборках нет ни одной пары одинакового цвета.

Вероятнось того что при первой выборке выпадет пара одного цвета:

$P = k*\frac{A_c^2}{A_n^2} = 7*\frac{10*9}{70*69} = \frac{3}{23}$

Вероятнось того что при первой выборке не выпадет ни одной пары одного цвета:

$Q = 1 - P = 1 - \frac{3}{23} = \frac{20}{23} $

Тгда по схеме Бернулли вероятность того что в пяти выборках нет ни одной пары одного цвета (такая комбинация всего одна) :

$P_{ncol} = (\frac{20}{23})^m $

и $P_{col} = 1 - (\frac{20}{23})^5 = 0,497...$

[gris]

У Вас не совсем понятно - каждая выборка без возвращения или же вся серия.
В первом случае, то есть когда мы вынимаем пару шаров, потом возвращаем, потом вынимаем ещё пару и так далее, решили Вы правильно.

Но у Вас , скорее всего, вынимается десять шаров. Насчёт известности или неизвестности результатов лишнее.

Итак, мы вынимаем случайным образом пять пар шаров. Какова вероятность, что одна пара одноцветная. Так? Влияет ли это на решение?

[Charlie]

Вся серия без возвращения - пять пар шаров.
Какова вероятность, что хоть одна пара одноцветная.

В том то и дело что шары не возвращаем !

[PAV]

Подсчитайте количество последовательностей длины 10, в которых на нечетных местах стоят любые цвета, а на четных - любые отличные от предыдущего цвета. В задаче не зря количество шаров каждого цвета равно 10, т.е. на такой короткой выборке ни один цвет не может закончиться. Ну и подумайте, как отсюда перейти к вероятности.

[Charlie]

PAV писал(а):

Подсчитайте количество последовательностей длины 10, в которых на нечетных местах стоят любые цвета, а на четных - любые отличные от предыдущего цвета.

Так я с этого и начинал, но потом мне захотелось как-то упростить решение...

Вот как я размышлял:

$M$ - количество не благоприятных исходов.

На первом (нечётном) месте могут находится любые $70$ шаров, одновременно на втором месте могут находится любые $(70 - 10)$ шаров, на третьем месте любые $(70 - 2)$ шаров..........
т.е. $M = (70)*(60)*(68)*(...........$
Но считая дальше: на четвёртом месте могут находится либо $(68 - 10)$ шаров - если цвет третьего шара не совпадает с двумя предыдущими, либо $(68 - 9)$ если цвет третьего шара совпадает с каким либо из двух предыдущих... и так далее. А далее ещё хуже.
Каким мне взять четвёртый множитель, может быть среднее от всех возможных вариантов ? Или просуммировать все возможные варианты таких прозведений ?

Или может как-то это легче можно всё посчитать ?

[Архипов]

Charlie писал(а):

В урне $n = 70$ шаров, по 10 шаров разного цвета, т.е. количество цветов $k = 7$ , шаров одного цвета $c = 10$
Делаем 5 выборок из урны $m = 5$ без возвращения шаров, по два шара за одну выборку, результат ни одной выборки нам не известен.
Задача: Определить $P_{col}$ вероятность того что хоть в одной выборке из пяти есть два шара одного цвета.

и $P_{col} = 1 - (\frac{20}{23})^5 = 0,497...$

Ответ близок к верному.
Решим другим способом:
из 49 комбинаций цвета 7 одноцветных и 42 двухцветных
Шары по цвету равномерно распределены и по мере выборки распределение мало меняется.
и $P_{col} = 1 - (\frac{42}{49})^5 = 0,46...$
Можно оба ответа усреднить и получим Р=0,48.

[ewert]

Архипов в сообщении #204850 писал(а):

и по мере выборки распределение мало меняется.

Вы ли это?... я Вас просто не узнаю.
Что значит "мало меняется"?... насколько конкретно мало?!!

А задачка -- да, на схему Бернулли из пяти испытаний (на внешнем уровне). В каждом испытании "успехом" считается то, что оба вынутых шаров оказались одноцветными. Чисто комбинаторная и довольно очевидная подзадачка.

[Charlie]

ewert писал(а):

А задачка -- да, на схему Бернулли из пяти испытаний (на внешнем уровне). В каждом испытании "успехом" считается то, что оба вынутых шаров оказались одноцветными. Чисто комбинаторная и довольно очевидная подзадачка.

Если это задача одновременно и комбинаторная и на схему Бернулли, тогда ответы полученные с помощью этих двух методов решения должны совпасть ?

По схеме Бернулли можно считать что она решена ? Или нет ?

[PAV]

Какая же это схема Бернулли, если выборка происходит без возвращения и вероятность успеха меняется после каждого испытания? Разумеется, нет. Если бы шаров было очень много, то можно было бы пользоваться этой схемой, но ее результат тогда будет приближенным решением. Но я затрудняюсь сказать, достаточно ли много здесь шаров, чтобы этим можно было пренебречь. Честно говоря, как просто и точно решить задачу, я пока не соображу.

[ewert]

Charlie писал(а):

В урне $n = 70$ шаров, по 10 шаров разного цвета, т.е. количество цветов $k = 7$ , шаров одного цвета $c = 10$
Делаем 5 выборок из урны $m = 5$ без возвращения шаров, по два шара за одну выборку, результат ни одной выборки нам не известен.

Формулировка неточна, но очевидно: предполагалось, что делается пять независимых попыток извлечь из 70-ти шаров две штуки, а потом поглядеть на результаты.

[PAV]

Charlie писал(а):

Вся серия без возвращения - пять пар шаров.
Какова вероятность, что хоть одна пара одноцветная.

В том то и дело что шары не возвращаем !

Извлечения не являются независимыми.

[gris]

Если задача не поддаётся, то надо её упростить. Взять крайний случай, уменьшить число параметров.
Допустим в урне 20 белых и 20 чёрных шаров.
Делаем выборку из двух шаров. Вероятность, что она одноцветная равна

$$\frac{19}{39}$$

, что разноцветная

$$\frac{20}{39}$$

.
Вероятность того, что $n$ выборок с возвращением шаров в урну после каждой будут разноцветными равна

$$\Left (\frac{20}{39}\Right )^n$$

.

Рассмотрим теперь серию из $n$ выборок без возвращения шаров в урну после каждой. Найдём вероятность того, что все они разноцветные. Воспользуемся методом условной вероятности.
Вероятность того, что первая выборка будет разноцветной, равна

$$\frac{20}{39}$$

. Предположим, что это событие состоялось. Тогда в урне осталось 19 белых и 19 чёрных шаров. Вероятность, что и вторая выборка разноцветная равна теперь

$$\frac{18}{37}$$

. Аналогично, что третья разноцветная

$$\frac{16}{35}$$

.
То есть вероятность того, что, например, 5 выборок будут разноцветными, равна

$$\frac{20}{39}\cdot\frac{18}{37}\cdot\frac{16}{35}\cdot\frac{14}{33}\cdot\frac{12}{31}\approx0,018729$$

что существенно отличается от

$$\Left (\frac{20}{39}\Right )^5}\approx0,035467$$

[ewert]

PAV писал(а):

Charlie писал(а):

Вся серия без возвращения - пять пар шаров.
Какова вероятность, что хоть одна пара одноцветная.

В том то и дело что шары не возвращаем !

Извлечения не являются независимыми.

Я же сказал, что формулировка невнятна. Так, как она приведена в начальном посте -- безусловно, имеется в виду, что делается несколько независимых попыток извлечения из одной и той же конфигурации.

---------------------------------------------
Да, возможна и другая интерпретация -- когда последовательные выборки пар производятся из одного и того же набора. Но она крайне неестественна.

[Charlie]

Кто мне скажет что я только что посчитал ?

Вот:
Если в каждой выборке цвета не совпадают, тогда количество возможных цветовых комбинаций в одной выборке:
$7*6$
на пяти выборках мы имеем:
$(7*6)^5$ цветовых комбинаций
Всего всех возможных цветовых комбинаций на пяти выборках:
$(7*7)^5$

$G = \frac{(7*6)^5}{(7*7)^5} = (\frac{6}{7})^5 = 0.463$

$R = 1 - 0.463 = 0.537$

И как сюда добавить количество шаров ?

[PAV]

ewert в сообщении #204997 писал(а):

Я же сказал, что формулировка невнятна. Так, как она приведена в начальном посте -- безусловно, имеется в виду, что делается несколько независимых попыток извлечения из одной и той же конфигурации.

Внимательнее читать надо. Во-первых, даже в первом посте совершенно ясно дано понять, что шары не возвращаются, так как автор четко указал, что результаты предыдущих выборок влияют на последующие. Во-вторых, автору сразу задали уточняющий вопрос, на который он дал четкий однозначный ответ. А если некоторые дальше первого поста не заглядывают, а сразу делают далеко идущие выводы, которые относятся к другой задаче, то не надо потом валить это на "невнятность формулировки" автора.

Добавлено спустя 2 минуты 14 секунд:

Charlie в сообщении #205021 писал(а):

Кто мне скажет что я только что посчитал ?

Вы посчитали вероятность события в условиях, когда каждый шар после извлечения возвращается обратно, включая и первый шар в паре (т.е. второй шар пары извлекается из числа тех же 70 шаров). Количество шаров тут действительно роли не играет, фактически на каждом шаге Вы получаете один из семи цветов с равными вероятностями и все шаги независимы.