2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Колебания реальной струны
Сообщение29.03.2009, 18:24 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Прошу прощения за баян, но...
Возьмем классическую струну,оттянем ее в виде треугольника и отпустим.
Решая классическое волновое уравнение, получим, что этот треугольник так и будет колебаться вверх-вниз. Но невооруженным глазом видно, что за доли(сотые?) секунды струна примет форму арки синусоиды. На данный момент я понял, что это связано с затуханием гармоник - чем больше номер, тем быстрее.
А треугольник - это сумма всех гармоник с начальными амплитудами.
Вопрос 1 - правильно ли я понял.
Вопрос 2 - где можно подробно почитать про переходные процессы свободных колебаний.
Скачал штук 10 хороших учебников - ничего, только классический ряд Фурье или переходные процессы при внешней силе. Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 18:57 


21/03/06
1545
Москва
Цитата:
Возьмем классическую струну,оттянем ее в виде треугольника и отпустим.
Решая классическое волновое уравнение, получим, что этот треугольник так и будет колебаться вверх-вниз. Но невооруженным глазом видно, что за доли(сотые?) секунды струна примет форму арки синусоиды. На данный момент я понял, что это связано с затуханием гармоник - чем больше номер, тем быстрее.
А треугольник - это сумма всех гармоник с начальными амплитудами.
Вопрос 1 - правильно ли я понял.

Звучит правдоподно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 19:40 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
Lesobrod в сообщении #199984 писал(а):
Решая классическое волновое уравнение, получим, что этот треугольник так и будет колебаться вверх-вниз.

Как это?

Lesobrod в сообщении #199984 писал(а):
Вопрос 2 - где можно подробно почитать про переходные процессы свободных колебаний.

А что значит "переходные процессы"? Вы ведь решаете нестационарное уравнение колебаний (я надеюсь). Вот Вам и переходные процессы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 19:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Lesobrod в сообщении #199984 писал(а):
На данный момент я понял, что это связано с затуханием гармоник - чем больше номер, тем быстрее.

Идеологически -- правильно. Чем больше частота гармоники, тем быстрее колебания и, следовательно, тем сильнее гасятся они диссипативными силами. И асимптотически в решении остаётся только главная гармоника, постепенно затухающая.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 20:29 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Цитата:
А что значит "переходные процессы"? Вы ведь решаете нестационарное уравнение колебаний (я надеюсь). Вот Вам и переходные процессы.

А-э-э простите...Нестационарное уравнение - это с учетом всех потерь? А как правильно его записать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 20:37 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
Lesobrod в сообщении #200050 писал(а):
А-э-э простите...Нестационарное уравнение - это с учетом всех потерь? А как правильно его записать?

Нестационарное - это нестационарное. То есть зависящее от времени. Такое примерно
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2  \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$
если Вас интересуют свободные колебания.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 20:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Так у него оно и есть нестационарное -- с самого начала. Разве что с поправкой, приводящей к затуханию. Но собственно к нестационарности это отношения не имеет. Всё-таки полезно отделять мух от котлет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 20:46 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Свободные затухающие!! Причем мои наблюдения показывают, что гармоники затухают явно не одинаково. Хотелось бы увидеть реалистичные члены ;)) в уравнении колебаний.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 20:51 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
ewert в сообщении #200058 писал(а):
Так у него оно и есть нестационарное -- с самого начала. Разве что с поправкой, приводящей к затуханию. Но собственно к нестационарности это отношения не имеет. Всё-таки полезно отделять мух от котлет.

Есть два типа процессов - установившиеся и переходные. Процесс установления колебаний после оттягивания струны - переходной.
При рассмотрении стационарных систем переходных процессов быть не может. Они могут быть только в нестационарных системах.

Lesobrod в сообщении #200061 писал(а):
Хотелось бы увидеть реалистичные члены

Ну надо вывести уравнение колебаний с учетом затухания.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 21:48 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Цитата:
Ну надо вывести уравнение колебаний с учетом затухания.

Ну спасибо!!! Я с этого и начинал!
Может все-таки литературку подскажите. И потом - проверьте сами - колебание струны даже с потерями продолжается секунды, а форма начальных условий теряется за сотые доли. Пока никто внятно не объяснил почему. [/url]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.04.2009, 17:22 


01/12/06
463
МИНСК
Lesobrod писал(а):
Цитата:
Ну надо вывести уравнение колебаний с учетом затухания.

Ну спасибо!!! Я с этого и начинал!
Может все-таки литературку подскажите. И потом - проверьте сами - колебание струны даже с потерями продолжается секунды, а форма начальных условий теряется за сотые доли. Пока никто внятно не объяснил почему. [/url]

Уравнение колебаний струны при учете линейной зависимости сопротивления среды от скорости будет иметь следующий вид:
$\frac{\partial^2u}{\partial t^2} +\mu \frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$.
Его можно решать аналогично уравнению свободных колебаний, т.е. методом разделения переменных. В ответе как раз получите то, о чем говорили. Чем старше номер гармоники, тем больше коэффициент при $-t$ в степени экспоненты и тем быстрее она будет затухать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.04.2009, 20:32 
Аватара пользователя


22/09/08
174
С последним ответом все стало на свои места

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.04.2009, 20:41 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
Lesobrod в сообщении #202298 писал(а):
С последним ответом все стало на свои места

Ну а что Вы хотели? Я ж Вам говорил - выведите уравнение колебаний для среды с затуханием. К примеру, затухание можно взять линейным. При этом члены, отвечающие за затухание будут выражаться через нечетные производные. Это все довольно очевидно. Только, когда Вы вводите затухание в исходное уравнение, Вам надо его ввести с параметром - к примеру, это может быть характерное время релаксации. Оно уже должно быть заложено в Ваше уравнение - из уравнения Вы его не получите.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.04.2009, 21:29 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Хорошо, спасибо, Парджеттер!
Я, правда, немного запутался в очевидных вещах. Если есть возможность - черкните мнение по паре неочевидных вопросов.
1. Будет ли параметр затухания \mu одинаковым для всех гармоник?
2. Если имеется не струна, а твердое тело, и колебания возбуждаются ударом, что можно сказать об АТАКЕ, т.е. нарастании колебаний? Как правильно составить начальные условия, чтобы получилась атака?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.04.2009, 22:37 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
Lesobrod писал(а):
Хорошо, спасибо, Парджеттер!
Я, правда, немного запутался в очевидных вещах. Если есть возможность - черкните мнение по паре неочевидных вопросов.
1. Будет ли параметр затухания \mu одинаковым для всех гармоник?
2. Если имеется не струна, а твердое тело, и колебания возбуждаются ударом, что можно сказать об АТАКЕ, т.е. нарастании колебаний? Как правильно составить начальные условия, чтобы получилась атака?

1. Очевидно, да. Потому что параметр релаксации входит в исходное уравнение Навье-Стокса... извините, уравнение движения :)
2. Я не совсем понимаю, что означает "нарастание колебаний".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group