2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 среднее время горения лампочки
Сообщение27.03.2009, 10:37 


27/03/09
3
Каждые a секунд с вероятностью p происходит включение лампочки на b секунд, b > a. Если лампочка горит и выпадает событие включения, то таймер b начинается заново, т.е. в этом случае лампочка горит больше чем b секунд. Какую часть бесконечного времени лампочка горит?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2009, 15:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Если без обновления таймера взять $p=0,5;\, b=2a$, то $pb/a=1$ и лампочка должна гореть практически беспрерывно, но это очевидно не так.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2009, 22:08 


27/03/09
3
Да, похоже в первом посте я решил задачу для b < a :wink:

Тогда для случая без обновления:

Пусть T - кусок бесконечности когда лампочка не горит :)

Бесконечность равна $$ \frac {bpT} a + T$$
Отсюда время горения $$ \frac {pb} {a + pb} $$

Правильно?

С обновлением таймера пока не осилил :?
Верно ли будет разделить новый ответ на 1-p?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2009, 23:40 


26/03/09
97
За время $T = \frac{a}{P_a}$ вероятность зажигания лампочки будет равна $1$
тогда вероятность того что за время $b$ лампочка включится ещё раз $P_b = \frac{bP_a}{a}$
________________

Сколько в среднем времени будет гореть лампочка, если за время $b$ горения лампы таймер будет срабатывать ещё один раз (с разбросом раньше-позже) ?

Если $\frac{b + 2b}{2} = b(1 + \frac{1}{2})$ секунд , т.е. в среднем время горения лампочки будет увеличиваться на $\frac{1}{2}b$ при срабатывании таймера во время прмежутка $b$

Но в то же время за счет наложения двух включений в промежутке $b$ сумарное время свечения от двух включений сократится на $\frac{1}{2}b$

Разобьём бесконечность времени на интервалы по $T$ сек.
Тогда в среднем
за период $T$ время горения лампочки будет $b$
за период $\frac{T}{P_b}$ время горения лампочки будет $\frac{b}{P_b} - \frac{b}{2}$
за период $\frac{T}{P_b^2}$ время горения лампочки будет $\frac{b}{P_b^2} - \frac{b}{2P_b} -  \frac{b}{2}$
за период $\frac{T}{P_b^3}$ время горения лампочки будет $\frac{b}{P_b^3} - \frac{b}{2P_b^2} -  \frac{b}{2P_b} - \frac{b}{2}$

$.............................................................................................$

за период $\frac{T}{P_b^n}$ время горения лампочки будет $\frac{b}{P_b^n} - \frac{b}{2P_b^{n-1}} -  \frac{b}{2P_b^ {n-2}} - ... - \frac{b}{2}$

Тогда доля времени горения лампы в процентах:

100% * $\lim{(\frac{b(\frac{1}{P_b^n} - \frac{1}{2P_b^{n-1}} -  \frac{1}{2P_b^ {n-2}} - ... - \frac{1}{2})}{\frac{T}{P_b^n}})}$ при $n$ стремящемся к бесконечности.

У меня так получилось. :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 00:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Charlie писал(а):
За время $T = \frac{a}{P_a}$ вероятность зажигания лампочки будет равна $1$

Это почему это?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 00:13 


26/03/09
97
Для Henrylee:
Если к примеру за время $a = 1$ сек вероятность зажигания лампы $P_a = 0.1$ , тогда за время $\frac{a}{P_a} = 10$ сек лампа загорится хоть раз с вероятностью $1$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 00:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Charlie писал(а):
Для Henrylee:
Если к примеру за время $a = 1$ сек вероятность зажигания лампы $P_a = 0.1$ , тогда за время $\frac{a}{P_a} = 10$ сек лампа загорится хоть раз с вероятностью $1$

Не загорится. А может загореться 10 раз. А может 7. Вообще неизвестно сколько раз может загореться. Это случайная величина, а Вы утверждаете, что константа.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 01:02 
Заблокирован


16/03/06

932
Убертин писал(а):
Каждые a секунд с вероятностью p происходит включение лампочки на b секунд, b > a. Если лампочка горит и выпадает событие включения, то таймер b начинается заново, т.е. в этом случае лампочка горит больше чем b секунд. Какую часть бесконечного времени лампочка горит?

1) Бесконечное время на части не делится (бесконечно большое число делить на конечное число - будет опять бесконечное число).
2) Процедура не понятна. Если через а секунд возможно событие "горит - не горит", то тогда время горения b секунд роли не играет, так как через а секунд возможно прерывание горения лампы.
Если лампа горит b cекунд, затем возможно прерывание горения на а скунд, то хитрости тоже нет.
Сколько событий могут происходить за время b секунд?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 01:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Рассмотрим сначала случай попроще, когда $b=2a$.
Пусть $\xi_n$ время горения лампочки на отрезке времени $[0,an]$.
Пусть также $\{\eta_n\}_{n=0}^\infty$ последовательность независимых с.в. Бернулли ($P\{\eta_n=1\}=p$). Будем рассматривать $\eta_n$ как индикатор срабатывания реле в момент времени $an$ (т.e. событие $\{\eta_n=1\}$ - в момент $t=an$ сработало реле, которое включает или "подзаряжает" лампочку еще на время $b=2a$).
Очевидно, в задаче спрашивается о величине
$$
\lim\limits_{n\to\infty}E\left(\frac1{an}\xi_n\right).
$$
Путем (не)хитрых рассуждений замечаем, что
$$
\xi_{n+1}=\xi_n+a(\eta_{n-1}+\eta_n-\eta_{n-1}\eta_n),\quad n\geqslant1
$$
Тогда
$$
E\xi_n=E\xi_{n-1}+ap(2-p)
$$
Отсюда, учитывая, что $\xi_0=0$, $\xi_1=\xi_0+a\eta_0$
$$
E\xi_n=a(n-1)p(2-p)+ap
$$
То есть
$$
E\frac1{an}\xi_n\to p(2-p).
$$

Добавлено спустя 2 минуты 36 секунд:

Архипов писал(а):
1) Бесконечное время на части не делится (бесконечно большое число делить на конечное число - будет опять бесконечное число).
2) Процедура не понятна. Если через а секунд возможно событие "горит - не горит", то тогда время горения b секунд роли не играет, так как через а секунд возможно прерывание горения лампы.
Если лампа горит b cекунд, затем возможно прерывание горения на а скунд, то хитрости тоже нет.
Сколько событий могут происходить за время b секунд?

1) Думаю, что имеется в виду средняя доля времени горения на бесконечном отрезке времени.
2) каждый $a$ секунд срабатывает реле, которое зажигаетр лампу, если она не горела или ппродлевает ее горение до момента $t_0+b$ ($t_0$ - время срабаывания реле).
Так я понял задачу.

Добавлено спустя 12 минут 49 секунд:

Для случая $b\not=ka$ можно рассматривать случайный процесс $\xi_t$. Но уже время позднее..

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 01:48 


27/03/09
3
Совершенно верно, Henrylee, задача именно такова.
Т. е. лампа не может гореть менее b сек никогда и выключается только по окончанию таймера, который каждые а сек имеет шанс перезапуститься не зависимо от того горит лампа или нет

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 11:40 


26/03/09
97
Henrylee писал(а):
Charlie писал(а):
Для Henrylee:
Если к примеру за время $a = 1$ сек вероятность зажигания лампы $P_a = 0.1$ , тогда за время $\frac{a}{P_a} = 10$ сек лампа загорится хоть раз с вероятностью $1$

Не загорится. А может загореться 10 раз. А может 7. Вообще неизвестно сколько раз может загореться. Это случайная величина, а Вы утверждаете, что константа.


Всё правильно, но только если брать один интервал $T$ . А если их тысяча ? Тогда в среднем за тысячу интервалов $T$ мы получим примерно тысячу вспышек лампы.
Как с подбрасыванием монет.

Добавлено спустя 9 минут 20 секунд:

Своё решение я уже исправил, у меня там была ошибка.

В общем я исходил из того, что например если взять $1000$ периодов $T$ , то за это время сумарное время горения лампы будет меньше чем $1000b$ из-за того что когда лампочка горит иногда будет происходить повторное включение, а значит сумарное время от двух повторных включений будет меньше чем если бы два включения произошли с интервалом большим $b$, это из-за того что таймер не досчитав первый интервал до конца перезапустится (по условию задачи).

Добавлено спустя 9 минут 29 секунд:

Henrylee писал(а):
2) каждый $a$ секунд срабатывает реле, которое зажигаетр лампу, если она не горела или ппродлевает ее горение до момента $t_0+b$ ($t_0$ - время срабаывания реле).
Так я понял задачу.


Реле не срабатывает каждые $a$ секунд. Оно может сработать с вероятностью $p$.
Зачем же тогда вероятность $p$ если бы реле и так всегда срабатывало через каждые $a$ секунд ? В условии же задачи так написано.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 12:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Charlie писал(а):
Реле не срабатывает каждые $a$ секунд. Оно может сработать с вероятностью $p$.

Я это и имел в виду. Вы бы это поняли, если бы прочли мое решение.
Продолжим.
Пусть теперь $a<b<2a$.
В этом случае
$$
\xi_n=\xi_{n-1}+a\eta_n+(b-a)\eta_{n-1}(1-\eta_n),\quad n\geqslant2
$$
$\xi_0=0,~\xi_1=\xi_0+a\eta_0$
$$
E\xi_n=ap+(n-1)\left[ap+(b-a)p(1-p)\right]
$$
$$
E\frac1{an}\xi_n\to p+\frac{b-a}{a}p(1-p)=\frac{b}{a}p(1-p)+p^2.
$$

Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд:

Вы пишите, что исправили решение. Но
Charlie писал(а):
..тогда за время $\frac{a}{P_a} = 10$ сек лампа загорится хоть раз с вероятностью $1$

эта глупость как была, так и осталась.

Charlie Приведите ответ для $b=2a$, полученный Вашим "решением".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 18:28 


26/03/09
97
Henrylee писал(а):
Charlie Приведите ответ для $b=2a$, полученный Вашим "решением".


Я бы привел с удовольствием, но я не могу решить предел в моём ответе так как не математик.
И многие обозначения в вашем решении мне не понятны по той же причине поэтому и разобраться я с ним не могу тоже.
Так что как видите со мной бесполезно спорить. :wink:

Кстати, Henrylee, как вы считаете, если за время $a$ вероятность включения лампы будет $p$ , то какой будет эта вероятность за время $2a, 3a, 4a, ...$ и наконец за время $\frac{a}{p}$ ?

Добавлено спустя 21 минуту 5 секунд:

Henrylee писал(а):
Будем рассматривать $\eta_n$ как индикатор срабатывания реле в момент времени $an$ (т.e. событие $\{\eta_n=1\}$ - в момент $t=an$ сработало реле, которое включает или "подзаряжает" лампочку еще на время $b=2a$).


И ещё, Henrylee, почему у вас в решении для $b = 2a$ реле срабатывает только в определённые моменты времени $an$ , тогда получается что и лампочку это реле может включить тоже только в определённых точках на оси времени ? Ведь событие включения лампы случайно.

Добавлено спустя 33 минуты 2 секунды:

Henrylee писал(а):
Вы пишите, что исправили решение. Но
Charlie писал(а):
..тогда за время $\frac{a}{P_a} = 10$ сек лампа загорится хоть раз с вероятностью $1$

эта глупость как была, так и осталась.


Я имел ввиду не один отдельно взятый период $T$ , а в среднем если взять много перодов $T$ , то на один период будет приходится приблизительно одно включение лампы с теоритической вероятностью равной $1$ .

А то что лампочка за один период $T$ может загореться и 7 раз а может и ниразу я конечно же с вами согласен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Charlie писал(а):
Кстати, Henrylee, как вы считаете, если за время $a$ вероятность включения лампы будет $p$ , то какой будет эта вероятность за время $2a, 3a, 4a, ...$ и наконец за время $\frac{a}{p}$ ?

В том виде как Вы написали выше, постановка некорректна. Но в контексте этой задачи например вероятность хотя бы одного включения за время $2a$ равно $1-(1-p)^2$
А все потому, что реле может сработать только в определенные моменты времени - $an$. Это ответ на следующий вопрос:


Charlie писал(а):
И ещё, Henrylee, почему у вас в решении для $b = 2a$ реле срабатывает только в определённые моменты времени $an$ , тогда получается что и лампочку это реле может включить тоже только в определённых точках на оси времени ? Ведь событие включения лампы случайно.


Charlie писал(а):
Henrylee писал(а):
Вы пишите, что исправили решение. Но
Charlie писал(а):
..тогда за время $\frac{a}{P_a} = 10$ сек лампа загорится хоть раз с вероятностью $1$

эта глупость как была, так и осталась.


Я имел ввиду не один отдельно взятый период $T$ , а в среднем если взять много перодов $T$ , то на один период будет приходится приблизительно одно включение лампы с теоритической вероятностью равной $1$ .

вот именно, что "приблизительно одно", но вероятность этого самого "приблизительно одного" вычислить уже никак нельзя, не говоря уже о том, что это "приблизительно одно" не определено никак.
Но к данной задаче это вообще не относится. Так как включения возможны только в определенные моменты времени.

Добавлено спустя 8 минут 58 секунд:

о Вашм примере:
Charlie писал(а):
Для Henrylee:
Если к примеру за время $a = 1$ сек вероятность зажигания лампы $P_a = 0.1$ , тогда за время $\frac{a}{P_a} = 10$ сек лампа загорится хоть раз с вероятностью $1$

за время 10 с реле сработает "хоть раз" с вероятностью $1-0.9^{10}\approx 0.6513$

Добавлено спустя 3 минуты 42 секунды:

Charlie писал(а):
Так что как видите со мной бесполезно спорить. :wink:

Я с Вами и не спорю, а наставляю на путь истинный :twisted:
А уж пойдете Вы по нему или свернете, сугубо Ваше личное дело.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 00:44 
Модератор


16/01/07
1567
Северодвинск
 !  Jnrty:
Убертин, Вы неправильно записываете формулы и нарушаете правила форума. Даю некоторое время на исправление всех формул, потом отправляю тему в "Карантин".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group