2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рекуррентные последовательности вычетов
Сообщение23.03.2009, 17:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Пусть $\xi_n\in\mathbb Z/m\mathbb Z$ ($n\in\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$) --- последовательность вычетов по модулю $m$, обладающая таким свойством: любое "подслово" в последовательности $\xi_1,\xi_2,\xi_3,\ldots$ встречается как минимум 2 раза (и, следовательно, бесконечно часто), т.е. для любого $l\in\mathbb N$ существует $t\in\mathbb N$ такое, что $\xi_j=\xi_{j+t}$ при $1\le j\le l$. Докажите, что последовательность сумм $S_n=\xi_1+\xi_2+\ldots+\xi_n$ также обладает этим свойством.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2009, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Пусть $m$ простое. Этого достаточно, ей-богу.

Надо доказать, что для любого $k$ найдется $l$, что $S_{k,l}=\xi_k+\dots+\xi_{k+l}=0$. Для данного $k$ обозначим $A_k = \{S_{k,l},l\ge 0\}$. Это конечное множество, поэтому $A_{k} = \{S_{k,l},0\le l\le N_k\}$. Пусть теперь $t_k>k$ таково, что $\xi_{k+l}=\xi_{t_k+l}$ для $0\le l\le N_k$. Если вдруг $S_{k,t_k-k-1}\neq 0$, то заметим, что $A_k\supset A_k + S_{k,t_k-k-1}$. Поскольку $m$ --- простое, отсюда $0\in A_k$.

Вру, простого недостаточно, надо степень простого. Там не сильно меняется, мне кажется.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2009, 03:24 


24/03/07
321
не знаю как на счет простых m, но вот этого
Хорхе писал(а):
Надо доказать, что для любого $k$ найдется $l$, что $S_{k,l}=\xi_k+\dots+\xi_{k+l}=0$.

явно не достаточно. Так вы только докажете, что повторяются однобуквенные слова.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2009, 09:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Dandan писал(а):
явно не достаточно. Так вы только докажете, что повторяются однобуквенные слова.

Согласен, исправлю.

Добавлено спустя 22 минуты 11 секунд:

Вроде не проглючил. Простота $m$ не требуется.

Надо доказать, что для любого $n$ найдется такое $l$, что $S_{l} = 0$ и выполняется свойство $P_{l,n}$: $\xi_{j} = \xi_{j+l}$, $1\le j\le n$. Пусть $n$ фиксировано. Обозначим $A = \{S_{l},l\ge1, \text{выполнено }P_{l,n}\}$. Это конечное множество, поэтому $A = \{S_{l},1\le l\le N,\text{выполнено }P_{l,n}\}$. Пусть теперь $t>1$ таково, что $\xi_{j}=\xi_{j+t}$ для $1\le j\le N+3n$. Если вдруг $S_{t}\neq 0$, то заметим, что $A\ni S_{t}$ и $A\supset A + S_{t}$. Отсюда $0\in A$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2009, 12:54 


24/03/07
321
Хорхе писал(а):
... и $A\supset A + S_{t}$.

это место надо бы объяснить поподробней

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2009, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Dandan писал(а):
Хорхе писал(а):
... и $A\supset A + S_{t}$.

это место надо бы объяснить поподробней


$S_{t+j} = S_t + S_{t+1,j-1} = S_t + S_{j}$ для $1\le j\le N$,
последнее выполнено, поскольку $\xi_{j}=\xi_{j+t}$ для $1\le j\le N$.

(Напомню, что $S_{k,l}=\xi_k+\dots+\xi_{k+l}$.)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2009, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Ладно, немного обобщим (точнее, вернёмся к исходной постановке).

Будем называть динамической системой пару $(X,T)$, где $X$ --- компактное топологическое пространство, а $T\colon X\to X$ --- непрерывное отображение. Рекуррентной точкой этой системы будем называть точку $x\in X$, являющуюся предельной для последовательности $T^nx$.

Пусть $K$ --- компактная топологическая группа. Последовательность $\xi_n\in K$ ($n\in\mathbb N$) назовём рекуррентной, если она является рекуррентной точкой динамической системы $(X,T)$, где $X=K^{\mathbb N}$ (с тихоновской топологией), а $(Tx)_n=x_{n+1}$. Верно ли, что для любой рекуррентной посл-ти $\xi_n$ последовательность $\eta_n=\xi_1\xi_2\ldots\xi_n$ тоже рекуррентна?

P.S. Случай, когда $K$ удовлетворяет первой аксиоме счётности, почти тривиален (достаточно, чтобы понятия предельной точки последовательности и предела подпоследовательности совпадали), а что делать в общем случае, я пока не знаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group