Система уравнений (тригонометрия)

[Mandel]

Как мне решить такую систему,т.е. найти k (целые),где C_1=const,C_2=const и одновременно эти константы не равны нулю!

$$ \left\{ \begin{array}{l} C_1 \cdot \cos (\frac{\pi }{2}k) + C_2 \cdot \sin (\frac{\pi }{2}k) = 0 \\ - C_1 \cdot \sin (\frac{{5\pi }}{4}k) + C_2 \cdot \cos (\frac{{5\pi }}{4}k) = 0 \\ \end{array} \right. $$

[maxal]

Поделить оба уравнения на $r=\sqrt{C_1^2+C_2^2}$. И обозначить $\alpha = \arccos(C_2/r)$. Тогда исходная система принимает вид
$\left\{\begin{array}{l}\sin(\alpha+\frac{\pi}{2}k) = 0\\ \cos(\alpha+\frac{5\pi}{4}k)=0\end{array}\right.$
Откуда
$\left\{\begin{array}{l}\alpha+\frac{\pi}{2}k = \pi m\\ \alpha+\frac{5\pi}{4}k = \frac{\pi}{2} + \pi n\end{array}\right.$
где $m,n$ - целые числа.
Из первого уравнения следует, что система имеет целые решения только если $\alpha$ имеет вид $\pi s/2$, где s - целое число. В этом случае
$\left\{\begin{array}{l}s+k = 2m\\ 2s+5 k = 2 + 4n\end{array}\right.$
Откуда следует, что $4n = 10m-3s-2$ и $k=\frac{2+4n-4m}{3}=2m-s$.
Итак, $k=2m-\frac{2}{\pi}\arccos\left(\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\right)$, где m - произвольное целое число.

[Werwolf]

Если k все-таки целые, то в первом уравнении или sin, или cos равны 0. То есть рассмотреть чётность k и отбросить неудовлетворяющие условия значения.