Абстракция актуальной бесконечности

[Nxx]

Pi писал(а):

Расходящийся в смысле (неогранниченно-)расходящийся.
А ваш ряд имеет ту особенность что его значения лежат в интервале [0;1] и поэтому он не расходящийся в строгом смысле этого слова, а несходящийся (к одному числу; это можно сопоставить с неоднозначной функцией). В данном случае к двум числам {0,1}.

Такой ряд обычно называют расходящимся.

Вот такой ряд, кстати, тоже ни к одной бесконечности не стремится:

$$\sum_{n=0}^\infty n(-1)^n$$

А вот этот ряд не ограничен, расходится, но при этом не стремится к бесконечности даже по модулю.

$$\sum_{n=0}^\infty \left((-1^n+1)(2^n+1)+(-1^n-1)(2^{n-1}-1)+1)\right)$$

[Pi]

Nxx писал(а):

Цитата:

Обычно высказыванием считается всё, что синтаксически правильно

Это то же самое, что считать любую последовательность рациональных чисел действительным числом. Или любое аналитическое выражение с аргументами - функцией.
К примеру,

$$f(x)=x\sum_{n=0}^\infty (-1)^n$$

, по-вашему, функция?

1. Да, синтаксическая правильность достаточное условие для высказывания. Истинность или ложность его это уже утверждение.
2.Функцией называется отображение из одного множества в другое. Наличие аргументов не играет роли. Но приведенное выражение является многозначной функцией.

Добавлено спустя 16 минут 10 секунд:

Существует проблема суммирования расходящихся рядов
вот так если считать ли что для любых расходящихся рядов верно (как и для сходящихся)
$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n + b_n = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n + \sum\limits_{n=0}^\infty b_n$
(кстати именно поэтому в теории рядов практически никогда не рассматривают ряды с челенами что являются слагаемыми - их сразу делят на два ряда).

Тогда в ваших случаях это есть сумма (однозначно определенных) раходящихся рядов.

[Nxx]

Цитата:

Не может, потому что это противоречило бы постановке задачи.

Каким образом?

Цитата:

А почему оно вдруг могло бы не существовать? Это - последовательность Коши, так что действительным числом это является уж точно.

Если такая последовательность существует, то это последовательность Коши. Просто она может не существовать.

Цитата:

Ну, нельзя. Но речь не об этом, а о том, является ли $x$ рациональным, т.е. существует ли его знаменатель (раз числитель Вам не пришёлся по душе). Есть действительное число и его иррациональность противоречила бы постановке задачи. Каковы выводы?

С чего вы взяли, что действительное число, определенное таким образом, есть? Или по условию задачи такое число есть? Тогда задача некорректна. Вам ли не знать, как конструктивисту, что чтобы утверждать, что что-то существует, его надо предъявить. Предъявите такое число или алгоритм его нахождения - и я вам поверю, что такое число есть.

Цитата:

Это неправильная постановка вопроса. Если мы можем доказать "не может не существовать" (2), но не можем доказать "существует", то это не значит, что мы можем доказать "не существует" (1). Наоборот! Это означает, что мы доказали, что предположение "не существует" - противоречиво.

Жду от вас примера функции, для которой второе высказывание истинно, а первое - ложно. Если такого примера нет, значит, таблица истинности этих высказываний совпадает и высказывания, таким образом, эквивалентны.

Цитата:

Доказав эту часть Вашего утверждения, мы автоматически доказываем, что количество совершенных чисел неограниченно.

С какой стати? Если функция не определена в точке, это не значит, что она равна бесконечности.

Цитата:

Нет, это не то же самое. Это просто определение понятия "высказывания". Вы можете, конечно, считать какие-то из высказываний "бессмысленными" или "неразрешимыми" или как-то ещё их обозвать, но называть их вообще не высказываниями - это, пожалуй, уже через чур.

Как вам угодно. Можете называть сумму любого расходящегося ряда числом. Только придумайте, как с такими "числами" работать и избавиться при этом от парадоксов. Можно, например, сказать, что выражение "Это высказывание ложно" является высказыванием. Ему можно даже приписать значение истинности

$$\frac{\text{Истина}+\text{Ложь}}{2}$$

. Так сказать, обобщенно суммировать:-)

Цитата:

Если уж Вам так нравятся аналогии, то я бы сказал, что это то же самое, что считать любую последовательность рациональных чисел "последовательностью".

Хорошо, только не надо распространять свойства чисел на все последовательности, как и всем вообще логическим выражениям приписывать свойства логических значений. Далеко не каждая последовательность сходится к числу, и не каждое логическое выражение принимает значение к истины или лжи.

[Pi]

Цитата:

Можете называть сумму любого расходящегося ряда числом. Только придумайте, как с такими "числами" работать и избавиться при этом от парадоксов.

Нормально работать, это называемые "квазибесконечные" числа родственники "p-аддическим" числам. Вы же спокойто работаете с иррациональными числами у которых бесконечное количество цифр. Да приэтом тяжело, и для расчетов вы используете рациональные приближения, но пользуетесь же. Использовать "квазибесконечные" числа еще тяжелее и хитрее, но парадоксов здесь не больше чем при использовании иррациональных, правда в некотром смысле они подчиняются не привычным законам, например всякой там неархимедовости и отображениям на охватывающие множества и тд.

[epros]

Nxx писал(а):

Цитата:

Не может, потому что это противоречило бы постановке задачи.

Каким образом?

Задача сформулирована так, что $A \rightarrow B$ и $\neg A \rightarrow B$,
где $A$ = "Существует максимальное совершенное число"
а $B$ = "Существует знаменатель рационального числа $x$".
Поэтому предположение $\neg B$ влечёт $\neg A \wedge \neg \neg A$, что является противоречивым утверждением.

Nxx писал(а):

Цитата:

А почему оно вдруг могло бы не существовать? Это - последовательность Коши, так что действительным числом это является уж точно.

Если такая последовательность существует, то это последовательность Коши. Просто она может не существовать.

А-ааа, может быть Вы имеете в виду, что при проверке того, что очередное совершенное число является максимальным, алгоритм вычисления очередного элемента последовательности может зависнуть?

Да, признаю, этот момент я не учёл. Давайте тогда скажем, что последовательность останавливается не на максимальном совершенном числе, а на первом нечётном совершенном числе.

Nxx писал(а):

С чего вы взяли, что действительное число, определенное таким образом, есть? Или по условию задачи такое число есть? Тогда задача некорректна.

См. выше.

Nxx писал(а):

Вам ли не знать, как конструктивисту, что чтобы утверждать, что что-то существует, его надо предъявить. Предъявите такое число или алгоритм его нахождения - и я вам поверю, что такое число есть.

Надеюсь, что с учётом указанной выше поправки Вы не станете отрицать, что алгоритм, определяющий последовательность, был предъявлен?

Nxx писал(а):

Цитата:

Это неправильная постановка вопроса. Если мы можем доказать "не может не существовать" (2), но не можем доказать "существует", то это не значит, что мы можем доказать "не существует" (1). Наоборот! Это означает, что мы доказали, что предположение "не существует" - противоречиво.

Жду от вас примера функции, для которой второе высказывание истинно, а первое - ложно.

См. внимательнее мой ответ выше. Описанная Вами ситуация противоречива, поэтому никакого примера не будет.

Nxx писал(а):

Если такого примера нет, значит, таблица истинности этих высказываний совпадает и высказывания, таким образом, эквивалентны.

Нет никакой "таблицы истинности". Конструктивная логика не является двузначной.

Nxx писал(а):

Цитата:

Доказав эту часть Вашего утверждения, мы автоматически доказываем, что количество совершенных чисел неограниченно.

С какой стати? Если функция не определена в точке, это не значит, что она равна бесконечности.

Э-эээ, причём здесь какая-то функция?

Nxx писал(а):

Цитата:

Нет, это не то же самое. Это просто определение понятия "высказывания". Вы можете, конечно, считать какие-то из высказываний "бессмысленными" или "неразрешимыми" или как-то ещё их обозвать, но называть их вообще не высказываниями - это, пожалуй, уже через чур.

Как вам угодно. Можете называть сумму любого расходящегося ряда числом.

Вы бесстыдно передёргиваете. Я не предлагал называть сумму любого расходящегося ряда числом.

Nxx писал(а):

Можно, например, сказать, что выражение "Это высказывание ложно" является высказыванием.

Вы про парадокс лжеца что ли? Так его просто невозможно формализовать (т.е. синтаксически правильно записать) и в этом весь ответ.

Nxx писал(а):

Ему можно даже приписать значение истинности

$$\frac{\text{Истина}+\text{Ложь}}{2}$$

. Так сказать, обобщенно суммировать:-)

Не понимаю, это к чему и зачем?

Nxx писал(а):

Цитата:

Если уж Вам так нравятся аналогии, то я бы сказал, что это то же самое, что считать любую последовательность рациональных чисел "последовательностью".

Хорошо, только не надо распространять свойства чисел на все последовательности, как и всем вообще логическим выражениям приписывать свойства логических значений. Далеко не каждая последовательность сходится к числу, и не каждое логическое выражение принимает значение к истины или лжи.

Вы о чём? Я не приписываю каждому высказыванию значение истины или лжи. Похоже, что Вы путаете конструктивистов с классиками.

[Pi]

Да конечно, "это высказывание ..." (в смысле "не то, а именно то что написанно в кавычках") не принадлежит к области математики, т.е формальной логике нет такого квантора. В математике высказывания не могут говорить о себе ничего.

[Nxx]

Цитата:

Задача сформулирована так, что $A \rightarrow B$ и $\neg A \rightarrow B$,

Первое вижу, второго не вижу.

Цитата:

Да, признаю, этот момент я не учёл. Давайте тогда скажем, что последовательность останавливается не на максимальном совершенном числе, а на первом нечётном совершенном числе.

В таком случае знаменатель дроби существует, рационален, и его можно вычислить с любой заданной точностью.

Цитата:

Надеюсь, что с учётом указанной выше поправки Вы не станете отрицать, что алгоритм, определяющий последовательность, был предъявлен?

Безусловно. Значит, существует и знаменатель дроби, так как предъявлен конструктивный алгоритм его вычисления. Не "не может не существовать", а существует.

Цитата:

См. внимательнее мой ответ выше. Описанная Вами ситуация противоречива, поэтому никакого примера не будет.

То есть, высказывания эквивалентны? Если высказываниея не эквивалентны (одно сильнее, другое слабее), то должен быть пример, когда одно истинно, а другое ложно.

Цитата:

Нет никакой "таблицы истинности". Конструктивная логика не является двузначной.

Да хоть бесконечнозначной. Это не исключает таблицу истинности.

Цитата:

Вы бесстыдно передёргиваете. Я не предлагал называть сумму любого расходящегося ряда числом.

Вы предлагали называть любое логическое выражение высказыванием.

Цитата:

Вы про парадокс лжеца что ли? Так его просто невозможно формализовать (т.е. синтаксически правильно записать) и в этом весь ответ.

$$Y={{\underbrace{\neg(\neg(\neg(\neg.......\neg(true).....))))}} \atop \infty\, \text{раз}} = \neg_\infty true$$

Алгебраически эквивалентно бесконечному произведению:

$$y=\prod_{n=0}^\infty -1= \lim_{n\to\infty}(-1)^n$$

Цитата:

Вы о чём? Я не приписываю каждому высказыванию значение истины или лжи. Похоже, что Вы путаете конструктивистов с классиками.

Ваши слова?

Цитата:

Тем не менее, для таких высказываний тоже утверждается, что они либо истинны, либо ложны.

[epros]

Nxx писал(а):

Цитата:

Задача сформулирована так, что $A \rightarrow B$ и $\neg A \rightarrow B$,

Первое вижу, второго не вижу.

$\neg A$ = "Не существует максимальное совершенное число" (в новой редакции: "Не существует нечётное совершенное число"). Значит $x=\frac{1}{3}$.

Nxx писал(а):

В таком случае знаменатель дроби существует, рационален, и его можно вычислить с любой заданной точностью.

Что такое "любая заданная точность" для натурального числа? Если такое число (знаменатель рациональной дроби) существует, то должен быть способ его вычислить.

Nxx писал(а):

Цитата:

См. внимательнее мой ответ выше. Описанная Вами ситуация противоречива, поэтому никакого примера не будет.

То есть, высказывания эквивалентны? Если высказываниея не эквивалентны (одно сильнее, другое слабее), то должен быть пример, когда одно истинно, а другое ложно.

Да откуда Вы это взяли (про эквивалентность)? Если высказывания не эквивалентны (одно сильнее, другое слабее), то может быть пример, когда более слабое истинно, а более сильное - неразрешимо. А описанная Вами ситуация (когда более слабое высказывание - двойное отрицание - истинно, а более сильное - утверждение - ложно) является противоречивой.

Nxx писал(а):

Цитата:

Нет никакой "таблицы истинности". Конструктивная логика не является двузначной.

Да хоть бесконечнозначной. Это не исключает таблицу истинности.

О какой таблице и для чего идёт речь?

Nxx писал(а):

Вы предлагали называть любое логическое выражение высказыванием.

Я не знаю, что Вы имеете в виду под "логическим выражением", но высказыванием обычно называется формула без свободных переменных.

Nxx писал(а):

$$Y={{\underbrace{\neg(\neg(\neg(\neg.......\neg(true).....))))}} \atop \infty\, \text{раз}} = \neg_\infty true$$

Вы здесь какую-то ерунду написали. Во-первых, высказывание - это конечная строка, т.е. никаких этих Ваших бесконечных цепочек из символов отрицания быть не может. Во-вторых, что это за "true"? В формулах обычно присутствуют предметные константы и переменные, функциональные и предикатные символы, кванторы и знаки логических операций, но никак не логические значения.

Да и "по смыслу" я что-то не врубаюсь, откуда Вы это взяли.

Nxx писал(а):

Ваши слова?

Цитата:

Тем не менее, для таких высказываний тоже утверждается, что они либо истинны, либо ложны.

Классической математикой (а именно - законом исключённого третьего) утверждается. Не теряйте контекст

[Nxx]

Цитата:

$\neg A$ = "Не существует максимальное совершенное число" (в новой редакции: "Не существует нечётное совершенное число"). Значит $x=\frac{1}{3}$.

Если максимального совершенного числа нет, из этого не следует, что их бесконечное количество.

Цитата:

Что такое "любая заданная точность" для натурального числа? Если такое число (знаменатель рациональной дроби) существует, то должен быть способ его вычислить.

Да, он существует, а число x может быть вычислено с любой точностью. Вы же грозились привести пример, где "не может не существовать", но не "существует". Вот ваша цитата:

Цитата:

А вот конструктивист не скажет, что число $m$ "существует", он скажет, что оно "не может не существовать". Это значит, что он его предъявить не может. Даже не может утверждать, что это число "потенциально вычислимо". Но он может утверждать, что вывод о несуществовании числа $m$ ни в каком случае невозможен.

Вы же привели пример, где число m существует.

Цитата:

может быть пример, когда более слабое истинно, а более сильное - неразрешимо

Ну так приведите такой пример. Вы привели пример (после исправления), где оба высказывания истинны.

Цитата:

Вы здесь какую-то ерунду написали. Во-первых, высказывание - это конечная строка, т.е. никаких этих Ваших бесконечных цепочек из символов отрицания быть не может.

В таком случае выражение "Это высказывание ложно" высказыванием не является, так как эквивалентно бесконечному отрицанию, приведенному выше.

Цитата:

Классической математикой (а именно - законом исключённого третьего) утверждается. Не теряйте контекст

Я привел свое понимание, вы мне возразили с позиций классической математики. Смысл?

[Xaositect]

Рассмотрим геделевское недоказуемое и неопровержимое утверждение $G$.
$E\equiv\exists x (G\rightarrow x=1 \& \neg G\rightarrow x=0)$ - недоказуемое утверждение существования.
С другой стороны, $(G\vee \neg G)\rightarrow E$ (если мы можем выбрать из двух альтернатив $G$ и $\neg G$, то и $x$ мы определить сможем), значит $\neg E$ ведет к противоречию $\neg G \& \neg\neg G$

Добавлено спустя 1 минуту 56 секунд:

Nxx в сообщении #194568 писал(а):

Если максимального совершенного числа нет, из этого не следует, что их бесконечное количество.

Следует.
Мы можем рекурсивно по номеру $i$ построить $i$-е совершенное число.

[Nxx]

Цитата:

Следует.
Мы можем рекурсивно по номеру $i$ построить $i$-е совершенное число.

Если мы можем построить рекурсивно, значит, их бесконечное количество. В этом случае знаменатель дроби опять же, существует и равен 1/3.

Цитата:

Рассмотрим геделевское недоказуемое и неопровержимое утверждение $G$.

А с чего вы взяли, что такое утверждение существует и имеет какое-то логическое значение? Это то же самое, что утверждать, что существует бесконечный ряд, у которого есть сумма, но она невычислима. Поскольку значение такого утверждения невычислимо, то это будет логическим выражением, не имеющим значения.

[Xaositect]

Nxx в сообщении #194588 писал(а):

А с чего вы взяли, что такое утверждение существует и имеет какое-то логическое значение?

Утверждение $G$ существует(записывается формулой). Его значение у меня в доказательстве не используется, наоборот, используется то, что это значение найти нельзя.

[Nxx]

Цитата:

Утверждение $G$ существует(записывается формулой).

По-вашему, существует все, что можно записать формулой?

[Xaositect]

Корректная формула есть, значит ее можно рассматривать.

[ewert]

Xaositect в сообщении #194617 писал(а):

Корректная формула есть, значит ее можно рассматривать.

Так корректна формула $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n$ -- или нет?