Студенческая олимпиада киевского мехмата - 2006

[dm]

Открытая студенческая олимпиада механико-математического факультета
Киевского национального университета имени Тараса Шевченко
15 марта 2006 года
Задания для 1-2 курсов

1. Найти все натуральные $n$, такие, что многочлен $(x^4-1)^n+(x^2-x)^n$ делится на $x^5-1$.

2. О числе $z\in\mathbb{C}$ известно, что точки$z^3$, $2z^3+z^2$, $3z^3+3z^2+z$ и $4z^3+6z^2+4z+1$ являются вершинами вписанного четырехугольника. Найти $Re\,z$.

3. Найти минимум по всем единичным векторам $x_1,\dots,x_{n+1}\in\mathbb{R}^n$ величины

\[ \max_{1\leqslant i < j \leqslant n+1}(x_i,x_j). \]

4. Пусть $E_m$ - единичная матрица размерности $m\times m$, $A\in R^{m\times n}$, $B$ - симметрическая матрица размерности $n\times n$, причем блочная матрица $ \left[ \begin{array}{cc} E_m & A \\ A^T & B \end{array} \right] $ положительно определена. Доказать, что "матричный определитель" $B-A^TA$ также является положительно определенной матрицей.

5. Существует ли бесконечное множество квадратных симметрических матриц $\mathcal{M}$, такое, что для любых различных матриц $A, B\in \mathcal{M}$ $AB^2=B^2A$, но $AB\ne BA$?

6. Непрерывная функция $f: (0,+\infty)\to\mathbb{R}$ выпукла вверх, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0$. Доказать, что $\displaystyle\sup_{n\in\mathbb{N}}\ \{f(n)\}=1$, где $\{a\}=a-[a]$ - дробная часть числа $a$.

7. Существует ли такая непрерывная функция $f:\mathbb{R}\to(0,1)$, что последовательность $a_n=\displaystyle\int_{-n}^n f(x)\,dx$ сходится, а последовательность $b_n=\displaystyle\int_{-n}^n f(x)\ln f(x)\,dx$ расходится?

8. О многочлене $P(x)$ известно, что существует бесконечно много пар целых чисел $(a,b)$, таких, что $P(a+3b)+P(5a+7b)=0$. Доказать, что многочлен $P(x)$ имеет целый корень.

9. Для произвольных чисел $a_1,a_2,\dots,a_n\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ доказать неравенство $\displaystyle\sum_{i,j=1}^{n}\frac{a_ia_j}{a_i^2+a_j^2}\geqslant0$.

Открытая студенческая олимпиада механико-математического факультета
Киевского национального университета имени Тараса Шевченко
15 марта 2006 года
Задания для 3-4 курсов

1. О числе $z\in\mathbb{C}$ известно, что точки $z^3$, $2z^3+z^2$, $3z^3+3z^2+z$ и $4z^3+6z^2+4z+1$ являются вершинами вписанного четырехугольника. Найти $Re\,z$.

2. Существует ли такая непрерывная функция $f:\mathbb{R}\to(0,1)$, что $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx<\infty$, а $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)\ln f(x)\,dx$ расходится?

3. Пусть $E_m$ - единичная матрица размерности $m\times m$, $A\in R^{m\times n}$, $B$ - симметрическая матрица размерности $n\times n$, причем блочная матрица $ \left[ \begin{array}{cc} E_m & A \\ A^T & B \end{array} \right] $ положительно определена. Доказать, что "матричный определитель" $B-A^TA$ также является положительно определенной матрицей.

4. Существует ли бесконечное множество квадратных симметрических матриц $\mathcal{M}$, такое, что для любых различных матриц $A, B\in \mathcal{M}$ $AB^2=B^2A$, но $AB\ne BA$?

5. а) Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ (не обязательно независимые) имеют непрерывные функции распределения. Доказать, что $\min(\xi,\eta)$ также имеет непрерывную функцию распределения.
б) Пусть случайные величини $\xi$ и $\eta$ имеют плотности распределений. Верно ли, что $\min(\xi,\eta)$ также имеет плотность распределения?

6. Можно ли выбрать в $l_2$ несчетное множество $\mathcal{A}$ элементов единичной нормы, такое, что для любых различных $x=(x_1,\dots,x_n,\dots)$, $y=(y_1,\dots,y_n,\dots)$ из множества $\mathcal{A}$ ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|x_n-y_n|$ расходится?

7. Пусть $\xi, \eta$ - независимые одинаково распределенные случайные величины, причем $\mathsf{P}(\xi\ne0)=1$. Доказать неравенство: $\displaystyle \mathsf{E}\frac{\xi\eta}{\xi^2+\eta^2}\geqslant0$.

8. Для каждого $n\in\mathbb{N}$ найти наименьшее $\lambda>0$, такое, что для произвольного выпуклого компакта $K\subset\mathbb{R}^n$ существует точка $x\in K$, такая, что образ $K$ при гомотетии с центром в $x$ и коэффициентом $(-\lambda)$ содержит $K$.

9. Пусть $X=L_1[0,1]$, а $T_n:X\to X$ - последовательность неотрицательных ($f\geqslant0 \Longrightarrow T_nf\geqslant0$) линейных непрерывных операторов, таких, что $\lVert T_n\rVert\leqslant 1$ и $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\lVert f-T_nf \rVert_{X}=0$ для $f(x)\equiv x$ и для $f(x)\equiv1$. Доказать, что $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\lVert f-T_nf\rVert_{X}=0$ для каждой $f\in X$.

[Юстас]

Меня интересует ответ к задаче 5б) для 3-4 курсов. Похоже на то, что это верно.
Также интересная задача 9 для 1-2 курсов(равносильна задаче 7 для 3-4 курса). В лоб непонятно как решать, есть идея доказать неотрицательную определенность матрицы $[A_{ij}]_{i,j=1}^n, A_{ij}=\frac{1}{a_i^2+a_j^2}$. Для размерности 2 это верно, а вот дальше неясно что делать. Может быть, вообще существует контрпример?

[staleo]

Юстас писал(а):

Также интересная задача 9 для 1-2 курсов(равносильна задаче 7 для 3-4 курса). В лоб непонятно как решать

Как раз решается в лоб, ибо \displaystyle\sum_{i,j=1}^n\frac{a_i a_j}{a_i^2+a_j^2} = \int_0^\infty A^2(x)dx, где \displaystyle A(x)=\sum_{i=1}^n a_i \exp(-xa_i^2).