2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сепаратрисная диаграмма
Сообщение30.04.2006, 19:25 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
Вот есть у нас трехмерное многообразие в нем рассмотрим векторное поле $grad(f)$ и возьмем какую нибудь кривую, например $S^1$ или $R^1$ и выпустим из них траектории поля градиента. Вот утверждается, что их объединение даст нам подмногообразие.
Никак не могу понять почему :( Может кто подскажет?
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Сильно сомневаюсь.
Во-первых, из-за структуры функции f у векторного поля градиента могут быть всякие особенности в точках, где градиент равен нулю.
Во-вторых, исходная кривая может кое-где касаться поля, и от этого дополнительные особенности появятся.
В формулировке слова
например $S^1$ или $R^1$
неточны. Не обязательно прямую или окружность можно в многообразие запихнуть.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 09:12 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
А еселе добавить что функция f это функция Ботта, т.е. критические точки организованны в невырожденные подмногообразия.

Слова про окружность и прямую: ну рассматриваем мы одномерные критические подмногообразия f, они связны рассмотрим одно. Вот оно и будет окружностью или прямой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 09:18 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
Забыл добавить, естественно мы рассматриваем малый кусок т.е. a-\varepsilon \leqslant f(x) \leqslant a

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 09:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Возьмите функцию с невырожденным максимумом в нуле и какую-либо кривую вблизи этой точки в качестве начальной. Тогда все траектории пойдут в особую точку и там кончатся. Вот и получится объект с особенностью, типа конуса. Не многообразие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 09:41 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
Возьмем эпсилон в пол расстояния от кривой до нуля и получим цидиндр

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 09:43 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
Хорошо а есле еще добавить что изолированных особых точек нет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 10:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Если сильно добавлять, то голова болеть будет.
Изолированная особая точка поля - это, например, локальный максимум или минимум функции f. Вы от такого откажетесь?? Но если, скажем, f принимает максимальное значение вдоль кривой, то легче не будет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 10:25 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
Несомненно зависит от того что дабавлять :) И в каких пропорциях...

А вообще я даже могу вам сказать какие многообразия получаться.
Это будет целиндр или лист мебиуса. И все

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 15:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Не обязательно!!
Нужно потребовать, чтобы исходная кривая была всюду некасательна градиентному полю.
Если не так, то , повторяю, может получиться много что.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.05.2006, 23:30 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
да видимо вы правы!

Итак я делаю вот так
Беру f рассматриваю критическое подмногообразие, это сфера или прямая. Теперь беру только те траектории что входят в нее и тогда получается что хотелось за счет выбора эпсилон и уменьшения онного

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.05.2006, 23:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
lt3km писал(а):
да видимо вы правы!

Итак я делаю вот так
Беру f рассматриваю критическое подмногообразие, это сфера или прямая. Теперь беру только те траектории что входят в нее и тогда получается что хотелось за счет выбора эпсилон и уменьшения онного

Сформулировано совершенно невнятно.

Требования:
1. Кривая не содержит критических точек f.
2.кривая нигде не касательна градиентному полю.
Тогда в малой окрестности кривой, действительно,
траектории заполняют цилиндр либо Мебиуса.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2006, 21:24 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
1. Кривая не содержит критических точек f.

Вот это точно не правильно :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2006, 21:28 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
А попросите пример... да пожалуйста
Возьмите любую интегрируему по Лиувиллю гамильтонову систему на 4 мерном многообразии симплектическом и рассмотрите постоянные поверхности уровня. Затем возьмите дополнительный интеграл и рассмотрите особые кривые это в точности окружности индекс у них один т.е. тип седловая особенность функции морса на трансверсали к окружности. И тд и тп Целая книжка есть и не одна

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2006, 21:31 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
На самом деле суть именно в особенности точек кривой.. Пример систем выше помог мне это понять. Есть теоремма фоменко где используются именно такие функции

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group