Теорема Ван дер Вардена

[geomath]

Читаю сейчас книжечку о Ван дер Вардене и прочитал в ней о теореме, которая сейчас носит его имя. Сам он, похоже, поначалу не осознал ее значения, поскольку опубликовал ее, во-первых, без ссылки на соавторов и, во-вторых, во второстепенном математическом журнале.

Цитата:

Для любых k, l существует такое N = N(k, l), что если множество целых рациональных чисел 1, 2, ..., N разбито на k классов, то в одном из классов содержится арифметическая прогрессия длины l.

У меня вопрос. В чем состоит значение этой теоремы и нельзя ли привести содержательный (производственный, геологический, астрономический, ну, какой-нибудь мало-мальски жизненный) пример ее использования?

[Профессор Снэйп]

Я думаю, что эта теорема важна исключительно для внутренних математических нужд.

В молодости мой друг встречался с одним ферматистом (по основной профессии железнодорожным инженером), который не только доказал БТФ, но и как-то применил её в теории железнодорожных насыпей

Мы не такие!

[maxal]

geomath
Посмотрите книжечку А.Я.Хинчин "Три жемчужины теории чисел". Там про теорему Ван дер Вардена подробно рассказано.

А сама теорема дала толчок целой теории поиска гармонии в хаосе, называемой теорией Рамсея. Вероятно, что без теоремы Ван дер Вардена не было бы и знаменитой теоремы Семереди и других важных результатов.

[geomath]

maxal писал(а):

geomath
Посмотрите книжечку А.Я.Хинчин "Три жемчужины теории чисел". Там про теорему Ван дер Вардена подробно рассказано.

А сама теорема дала толчок целой теории поиска гармонии в хаосе, называемой теорией Рамсея. Вероятно, что без теоремы Ван дер Вардена не было бы и знаменитой теоремы Семереди и других важных результатов.

Да, спасибо, книжечку Хинчина я посмотрел, она у меня есть. К сожалению, кроме элементарного, хотя и довольно сложного доказательства этой теоремы там о ней ничего больше нет, да и о личности Ван дер Вардена нам теперь известно много больше, чем Хинчину было известно тогда. А что о содержательной стороне теоремы можете сказать? Смотрите, теорема доказывается элементарными средствами, имеющими, как можно ожидать, своим источником непосредственную практическую деятельность. Поэтому есть надежда, что и сама она имеет не только чисто математическое, но и практическое значение. Что мне особенно нравится в этой теореме - это что числа 1, 2, ..., N в ней можно считать физически размерными!

[MaximKat]

geomath в сообщении #176797 писал(а):

целых рациональных чисел 1, 2, ..., N

а почему такая странная формулировка?

[geomath]

MaximKat писал(а):

geomath в сообщении #176797 писал(а):

целых рациональных чисел 1, 2, ..., N

а почему такая странная формулировка?

Не знаю. Это вы не меня процитировали, а вот эту книжку.

[vlad239]

MaximKat писал(а):

geomath в сообщении #176797 писал(а):

целых рациональных чисел 1, 2, ..., N

а почему такая странная формулировка?

Это профессиональная деформация специалистов-числовиков. Потому что бывают еще целые в некотором числовом поле.

Влад.

[geomath]

geomath писал(а):

Это вы не меня процитировали, а вот эту книжку.

В этой переведенной на русский язык нелицеприятной биографии Ван дер Вардена, являющейся частью книги

http://www.amazon.com/gp/product/0387746404/ref=cap_pdp_dp_0,

ее автор, математик-еврей, наш бывший соотечественник, самым скрупулезным образом рассматривает и оценивает с моральной точки зрения тот факт, что профессор Ван дер Варден, оставаясь голландским гражданином, преподавал математику в нацистском Лейпциге даже в течение тех пяти лет, когда Германия оккупировала Нидерланды.

[geomath]

То "новое, значительно более простое и прозрачное доказательство" теоремы Ван дер Вардена, которое излагает Хинчин, было найдено М.А. Лукомской и опубликовано в УМН в 1948 году. Кто такая Лукомская? Что с ней стало? Если она была молодой тогда, то со временем имела неплохой шанс вырасти в знаменитого математика... Однако ничего о ней мне в Интернете найти не удалось. Может, она сменила фамилию?

Добавлено спустя 2 часа 17 минут 46 секунд:

Оказывается, упомянутую выше книгу 2008 года выпуска

The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of Its Creators
by Alexander Soifer

(вместе с биографией Ван дер Вардена в ней) можно скачать бесплатно, я уже скачал.

[geomath]

Теорему Ван дер Вардена можно переписать так: если множество целых чисел покрашено в конечное число цветов, то найдётся арифметическая прогрессия сколь угодно большой конечной длины, члены которой раскрашены в один цвет.

Рассмотрим теперь цепочку молекулы ДНК. Это такое очень длинное слово в алфавите всего из четырех букв (нуклеотидов). Определенные отрезки (подслова) этого слова, несущие смысловую информацию, называются генами. Всего у человека N тысяч генов, средней длиной, если понадобится, M тысяч букв. Для каждого гена максимальную длину арифметической последовательности, состоящей из номеров одинаковых букв, обоначим L. Спрашивается, какое распределение будет иметь L по результатам N испытаний?

[Профессор Снэйп]

geomath писал(а):

Рассмотрим теперь цепочку молекулы ДНК. Это такое очень длинное слово в алфавите всего из четырех букв (нуклеотидов). Определенные отрезки (подслова) этого слова, несущие смысловую информацию, называются генами. Всего у человека N тысяч генов, средней длиной, если понадобится, M тысяч букв. Для каждого гена максимальную длину арифметической последовательности, состоящей из номеров одинаковых букв, обоначим L. Спрашивается, какое распределение будет иметь L по результатам N испытаний?

Какую практическую ценность имеют арифметические прогрессии в генах? Мало ли что можно сделать с конечной последовательностью большой длины из четырёх букв? Что теперь, эти "умствования" будут кому-то нужны? Вот если бы при трансляции/транскрипции РНК это как-то "учитывалось"... Но я сомневаюсь, что это происходит.

[geomath]

Профессор Снэйп в сообщении #177765 писал(а):

Какую практическую ценность имеют арифметические прогрессии в генах? Мало ли что можно сделать с конечной последовательностью большой длины из четырёх букв? Что теперь, эти "умствования" будут кому-то нужны? Вот если бы при трансляции/транскрипции РНК это как-то "учитывалось"... Но я сомневаюсь, что это происходит.

Во-первых, если теория прогрессий ничего не может сказать в данном случае, то, может, и цена ей нуль? Во-вторых: "Мало ли что можно сделать с конечной последовательностью большой длины из четырёх букв?" Ну сделайте хоть что-нибудь, имеющее смысл в терминах трансляции/транскрипции, а там посмотрим. В-третьих, здесь не просто последовательность большой длины, но последовательность реальная! Вдруг окажется, например, что максимум длины арифметической прогрессии всегда (для всех генов) реализуется на одной и той же букве. Разве это очевидно?

[Профессор Снэйп]

geomath писал(а):

Во-вторых: "Мало ли что можно сделать с конечной последовательностью большой длины из четырёх букв?" Ну сделайте хоть что-нибудь, имеющее смысл в терминах трансляции/транскрипции, а там посмотрим.

А зачем я буду что-то делать?

Реальный мир мне неинтересен. Та математика, которой я занимаюсь (и которая мне интересна), не имеет к нему никакого отношения.

[PAV]

geomath в сообщении #177783 писал(а):

Во-первых, если теория прогрессий ничего не может сказать в данном случае, то, может, и цена ей нуль?

Цена - понятие субъективное. Помните басню Крылова про петуха и жемчужное зерно?

Цитата:

Навозну кучу разрывая,
Петух нашел Жемчужное Зерно
И говорит: «Куда оно?
Какая вещь пустая!
Не глупо ль, что его высоко так ценят?
А я бы, право, был гораздо боле рад
Зерну ячменному: оно не столь хоть видно,
Да сытно».

Невежи судят точно так:
В чем толку не поймут, то всё у них пустяк.

[geomath]

Профессор Снэйп в сообщении #177813 писал(а):

А зачем я буду что-то делать?

Реальный мир мне неинтересен. Та математика, которой я занимаюсь (и которая мне интересна), не имеет к нему никакого отношения.

А затем, например, чтобы не оплошать. Вон Ван дер Варден преподавал математику в фашистской Германии, а потом пришлось отмываться...

PAV в сообщении #177865 писал(а):

Цена - понятие субъективное. Помните басню Крылова про петуха и жемчужное зерно?

Во-первых, я написал "может", но не "значит". А во-вторых, сами подумайте хорошенько над басней про жемчужное зерно... Так ли уж оно ценно? Не есть ли это просто фетиш? Тем более что ради него убили или обрекли на гибель живой организм!