2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тригонометрия и геометрия.
Сообщение06.01.2009, 20:39 


07/09/07
463
В школе учат, косинус $x$ это отношения длине прилежащего катета к длине гипотенузы. Тут полагается $x$ это угол в радианах, действительное число. Есть формула Эйлера и в ней есть тоже косинус и синус. Тут уже про треугольники речи не идет. Не могу понять как один синус связан со вторым синусом. Это первый вопрос.
Есть определение через степенной ряд. Но тогда нет ограничения на то, что $x$ - действительное число. Возьмем комплексное, и тогда имеем потерю связи с геометрией. Интерпретация что $x$ это угол теряется. Какая геометрия в косинусе если аргумент комплексный?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2009, 08:49 


12/09/08

2262
STilda в сообщении #174506 писал(а):
Есть формула Эйлера и в ней есть тоже косинус и синус. Тут уже про треугольники речи не идет. Не могу понять как один синус связан со вторым синусом. Это первый вопрос.
$|r\cos\varphi|$, $|r\sin\varphi|$ и $|r| = |r e^{i\varphi}|$— это длины сторон прямоугольного тругольника.
STilda в сообщении #174506 писал(а):
Какая геометрия в косинусе если аргумент комплексный?
Можно считать, что никакой. Однако, эта функция существует, единственна и совпадает с «геометрическим» косинусом на вещественных значениях аргумента. Потому логично называть ее так же.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2009, 14:30 


07/09/07
463
вздымщик Цыпа в сообщении #174677 писал(а):
совпадает с «геометрическим» косинусом на вещественных значениях аргумента
Как доказать что она совпадает?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2009, 17:05 


12/09/08

2262
STilda писал(а):
вздымщик Цыпа в сообщении #174677 писал(а):
совпадает с «геометрическим» косинусом на вещественных значениях аргумента
Как доказать что она совпадает?
Степенные ряды совпадают, значит и значения совпадают. То, что «геометрическому» косинусу соответствует именно этот ряд доказать легко, поскольку он решение диффернциального уравнения $y'' + y = 0\quad y(0) = 1\quad y'(0) = 0$. Это уравнение можно составить из геометрических соображений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2009, 02:17 


07/09/07
463
Что то сложно очень. Не верится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2009, 02:28 


12/09/08

2262
STilda в сообщении #174990 писал(а):
Что то сложно очень. Не верится.
Не очень. Начните с $\sin'(x) =\cos(x)$ и $\cos'(x) = -\sin(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и геометрия.
Сообщение09.01.2009, 14:16 


29/09/06
4552
STilda писал(а):
В школе учат, косинус $x$ это отношения длине прилежащего катета к длине гипотенузы. Тут полагается $x$ это угол в радианах, действительное число. [...] Какая геометрия в косинусе если аргумент комплексный?

Чисто пример без катетов и гипотенуз, на ответ не претендующий. Берём две окружности радиусов $R_1,R_2$ и межцентровым расстоянием $L$. Угол их пересечения $\psi$, если не ошибаюсь, определяется равенством $\cos\psi=\dfrac{R_1^2+R_2^2-L^2}{2R_1R_2}$. Раздвигаем их (или сдвигаем, меняем $L$), угол пересечения становится мнимым $\mathrm{i}\delta$ (или $\pi+\mathrm{i}\delta$; косинус, заметим, остаётся действительным, если сами окружности действительны).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.01.2009, 20:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
STilda писал(а):
Что то сложно очень. Не верится.

Более того, $\sin(z)$ это единственная аналитическая функция, которая совпадает с $\sin(x)$ на $R$. Ещё она может принимать любые значения, хоть $26\sqrt{3}$. Я тоже этому долго не верил. А функция $e^z$ периодическая.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.01.2009, 22:38 


07/09/07
463
А еще $\cos(x)=\ch(x)$ на мнимой оси. И $\sin^2(x)=-\sh^2(x)$ на мнимой оси.
А если взять полярные координаты в объеме. Имеем два угла. Пусть радиус равен 1. Берем эти два угла как мнимую и действительную составляющую комплексного угла. $\alpha=\psi+i \theta$. А тогда будет ли разумным $\cos(\alpha)$. Мысли в слух.
А как связать треугольник с диф уравнением еще не понял.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.01.2009, 22:55 


12/09/08

2262
STilda в сообщении #175541 писал(а):
А как связать треугольник с диф уравнением еще не понял.
Ну ладно. Во всяком случае, это Вам надо явно не для зачета, а из любопытства :)

Рисовать мне лениво, так что буду рассказывать словами. Рассмотрим стандартный рисунок: единичная окружность с центром в начале координат. Прямая, проходящая через начало координат под углом $\varphi$ к оси $Ox$ пересекает окружность в точке $A$ (неважно, что в двух, нам интересна одна). Смотрим проекции отрезка $OA$ на оси. Теперь проводим прямую под углом $\varphi +\Delta\varphi$. Она пересекает окружность в точке $A'$. С отрезком $OA'$ тоже, что и с предыдущим. Теперь посмотрим на окрестность точек $A$ и $A'$. Наблюдаем там прямоугoльный треугольник, который с точностью до $o(\Delta\varphi)$ подобен исходному. Его катеты какие? Устремляем $\Delta\varphi \to 0$. Получаем.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.01.2009, 23:20 


29/09/06
4552
STilda писал(а):
А еще $\cos(x)=\ch(x)$ на мнимой оси.
Неверно: например, $0.5403\simeq\ch\mathrm{i}\not=\cos\mathrm{i}\simeq 1.5431$.
Правильно $\cos(\mathrm{i}x)=\ch(x)$. Без упоминания о каких-то осях.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2009, 01:14 


07/09/07
463
Алексей К. писал(а):
Правильно $\cos(\mathrm{i}x)=\ch(x)$. Без упоминания о каких-то осях.
Точно.
Свои зачеты уж отсдавал, так что не волнуйтесь, я не шпиён )). С дифуром понятно. Да уж, чего только не навыдумывают люди. Не помнится чтоб такое встречалось.Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group