О разделении переменных в УШ в полярных координатах

[Жесть]

Почему в решении для угловой части мы берём только одну экспоненту (с "+" или "-"), а не их линейную суперпозицию (которая является общим решением)? Вообще говоря, тогда одному и тому же значению m соответствовало бы бесконечное множество волновых функций, что, разумеется, неверно. Но всё-таки не понятно, откуда мы взяли именно такой вид решения.

P.S. Вопрос взялся из следующей задачи - если решать УШ для двумерного атома водорода в полярных и параболических координатах, то в полярных кратность вырождения получается больше чем в параболических как-раз таки из-за наличия двух экспоненент для положительного и отрицательного значений m. Если в решениях для разных m брать не одну экспоненту, а сумму двух с одинаковыми коэффициентами, то разным m (с разными знаками) будет соответствовать одна и та же ВФ и лишнее вырождение снимается. В уравнении на радиальную часть m входит только под знаком модуля, так что здесь никаких критериев нет.

[Munin]

Жесть в сообщении #173785 писал(а):

Почему в решении для угловой части мы берём только одну экспоненту (с "+" или "-"), а не их линейную суперпозицию (которая является общим решением)?

Нам нужно собственное состояние с конкретным значением проекции момента (квантовое число $m$). Это конкретное значение включает в себя знак. Вот поэтому и берётся одна экспонента. Другая даёт состояние с другим знаком $m.$

И надо помнить, что все состояния с равными $n,\,\, l,$ но разными $m,$ вырождены. То есть базис с определёнными $m$ выбирается просто для удобства. А удобство - вещь относительная. В спектроскопии удобны определённые $m.$ А в химии, напротив, удобны комбинации состояний с различными $m,$ зато дающие определённые пространственные конфигурации. Например, в химии из двух состояний 2p, имеющих экспоненты с "+" и "-", составляют линейные комбинации сложением и вычитанием, и получают другие состояния, имеющие максимумы вероятности по оси x и по оси y соответственно (их можно видеть в учебниках и справочниках с подписями "$\mathrm{p_x}$ и $\mathrm{p_y}$ орбитали").

Жесть в сообщении #173785 писал(а):

Вообще говоря, тогда одному и тому же значению m соответствовало бы бесконечное множество волновых функций, что, разумеется, неверно.

Базис - всё равно два линейно независимых решения, а не бесконечно много.

Жесть в сообщении #173785 писал(а):

Если в решениях для разных m брать не одну экспоненту, а сумму двух с одинаковыми коэффициентами, то разным m (с разными знаками) будет соответствовать одна и та же ВФ и лишнее вырождение снимается.

Вырождение-то, наверное, не снимается, оно ведь объективно существует, независимо от системы координат. Просто вы его видеть перестаёте. Например, забываете кроме суммы взять ещё и разность.

[Жесть]

Munin писал(а):

Нам нужно собственное состояние с конкретным значением проекции момента (квантовое число $m$). Это конкретное значение включает в себя знак. Вот поэтому и берётся одна экспонента. Другая даёт состояние с другим знаком $m.$

Да, разумеется. Голова уже совсем плохо варит. С этой задачкой уже упарился.

Вы не подскажете литературу, где бы решались подобные задачи или хотя бы содержался ответ для кратности вырождения, чтобы знать, в каком решении мне надо искать ошибку?

[Munin]

С литературой по этому вопросу, увы, я не советчик.

[V.V.]

Тихонов, Самарский. "Уравнения математической физики".

Дополнение 2. Специальные функции.
Часть III/ Полиномы Чебышева-Эрмита и Чебышева-Лагерра.
Параграф 3. Простейшие задачи для уравнения Шредингера.