Несколько вопросов по двущелевому эксперименту

[warlock66613]

Я не обсуждаю полезность или бесполезность теории и отказываюсь обсуждать это. Мои рассуждения выше никак этого вопроса не касаются.

[Ghost_of_past]

warlock66613 в сообщении #1736203 писал(а):

То есть волновая функция крякает как утка и имеет ещё минимум шесть признаков утки (латентной переменной скрытой марковской модели).

Спасибо! Было интересно прочитать.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1736259 писал(а):

Я не обсуждаю полезность или бесполезность теории и отказываюсь обсуждать это. Мои рассуждения выше никак этого вопроса не касаются.

Для меня полезность теории - это её проверяемость. Непроверяемая теория ничего не предсказывает, что на нас влияет.

[warlock66613]

realeugene, экспериментально отличить немарковскую модель от скрытой марковской, по-видимому, нельзя. По крайней мере на практике. Если это был ваш вопрос, вот на него ответ. Идея в том, что используя квантовую механику мы пользуемся скрытой марковской моделью и так и нужно продолжать делать, потому что это эффективно. Но теория, что наш мир на самом деле немарков, очень хорошо объясняет многие странности квантовой механики.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1736349 писал(а):

Но теория, что наш мир на самом деле немарков, очень хорошо объясняет многие странности квантовой механики.

Но ведь эта идея требует гораздо более сложного внутреннего состояния, чем волновая функция? При этом обычные кванты предсказывают связанные с точностью волновой функцией некоторые очень точные корреляции, и существование полного описания через неё квантовой системы. С какой точностью можно промоделировать волновую функцию статистически?

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1736351 писал(а):

Но ведь эта идея требует гораздо более сложного внутреннего состояния, чем волновая функция?

Я не понял что за внутреннее состояние. Состояние немарковской системы как раз очень простое: положения частиц в пространстве в механике и напряжённости или потенциалы поля в теории поля. Волновая же функция появляется как латентная переменная (скрытая переменная) когда идёт переход к скрытой марковской модели.

realeugene в сообщении #1736351 писал(а):

С какой точностью можно промоделировать волновую функцию статистически?

Абсолютно точно по модулю принципиально ненаблюдаемых вещей типа глобальной фазы. Но детали пока проработаны только для систем с конечным числом базисных состояний, но предполагается, что неожиданностей в случае бесконечного базиса быть не должно.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1736354 писал(а):

Состояние немарковской системы как раз очень простое: положения частиц в пространстве в механике и напряжённости или потенциалы поля в теории поля. Волновая же функция появляется как латентная переменная (скрытая переменная) когда идёт переход к скрытой марковской модели.

Как быть при этом с несуществованием совместных вероятностей для измерений некоммутирующих наблюдаемых? Любые марковские модели - это чистый теорвер с общим вероятностным пространством.

warlock66613 в сообщении #1736354 писал(а):

Но детали пока проработаны только для систем с конечным числом базисных состояний,

Как выглядит модель для спина электрона?

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1736368 писал(а):

Как быть при этом с несуществованием совместных вероятностей для измерений некоммутирующих наблюдаемых?

Так же как в бомовской механике. Существует только распределение для положения (для конфигурации). Измерения остальных наблюдаемых -- это сложный процесс взаимодействия с прибором, не просто выяснение неизвестного значения какой-то случайной величины.

realeugene в сообщении #1736368 писал(а):

Как выглядит модель для спина электрона?

Окончательная модель под вопросом. Есть три пути: 1) возможно спин -- это артефакт динамики и как состояния его нет, 2) возможно надо как-то адаптировать модель из поздней бомовской механики, 3) просто сказать что какое-то направление в пространстве выделено. Третий путь вряд ли годится как окончательный, но зато с ним всё понятно.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1736370 писал(а):

Окончательная модель под вопросом.

То есть по сути ничего нет. Гармонических осцилляторов (бесконечный спектр) нет. Непрерывного спектра аналогично. Спина у электрона нет.

Спин хорош во-первых некоммутируемостью измерений проекций на разные оси, во-вторых изотропией пространства.

warlock66613 в сообщении #1736370 писал(а):

Измерения остальных наблюдаемых -- это сложный процесс взаимодействия с прибором, не просто выяснение неизвестного значения какой-то случайной величины.

Но каким-то образом этот процесс взаимодействия очень точно сводится к просто измерению случайной величины, причём, разные случайные величины не коммутируют, причём не коммутируют совершенно одинаково независимо от устройства измерительного прибора, и после измерения последующие измерения тоже дают совершенно одинаковые вероятности вне зависимости от конструкций приборов. Магия, магия, магия...

Квантовая механика позволила отделить магию вероятности от конкретной конструкции прибора. То что вы описываете какой-то шаг назад.

[warlock66613]

realeugene, спин не проблема, можно придумать кучу забавных способов сохранить изотропность при выделенной оси. Вот теория поля — это настоящая проблема. Нет смысла придумывать окончательное решение для спина, поскольку в теории поля это наверняка придётся решать иначе. Но теорией поля просто ещё никто не успел заняться в этом подходе.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1736378 писал(а):

realeugene, спин не проблема, можно придумать кучу забавных способов сохранить изотропность при выделенной оси.

warlock66613 в сообщении #1736354 писал(а):

Но детали пока проработаны только для систем с конечным числом базисных состояний, но предполагается,

Хорошо, не спин. Можно увидеть проработанные детали для системы с двумя состояниями?

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1736435 писал(а):

Можно увидеть проработанные детали для системы с двумя состояниями?

Можно. Рассмотрим систему с двумя состояниями. Не квантомеханическую. Просто обычную систему, коробку с двумя лампочками, на которой раз в секунду вспыхивает то одна (состояние $A$), то другая ($B$). Пусть закон динамики будет такой:

$$ \begin{pmatrix} P_A(t) \\ P_B(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} & \sin^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} \\ \sin^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} & \cos^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} P_A(t_0) \\ P_B(t_0) \end{pmatrix}, $$

где $P_A(t)$, $P_B(t)$ — вероятности найти систему в состоянии $A$ или, соответственно, $B$ в момент $t$, а $t_0$ нацело делится на $12\,\text{с}$.

Обратите внимание: $t_0$ не любое, а кратное 12 секундам и в этом вся соль. Только при таком ограничении сформулированный закон динамики непротиворечив.

Пусть мы знаем состояние в момент $t_1 = 3\,\text{с}$. Вопрос, какое будет состояние в момент $t_2 = 4\,\text{с}$? Ответ: неизвестно. Динамика не обладает свойством делимости в момент $t_1$, поэтому знание состояния в этот момент ничего не даёт. Чтобы что-то предсказать, надо знать состояние в точке делимости, например при $t_0 = 0\,\text{с}$. То есть мы имеем дело с нарушением марковского свойства.

Амплитуды и интерференция

Оказывается, что матрица переходов нашей простой системы допускает важное и интересное преставление через другую матрицу. Именно,

$$ \begin{pmatrix} \cos^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} & \sin^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} \\ \sin^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} & \cos^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} \end{pmatrix} = \overline{U(t \leftarrow t_0)} \odot U(t \leftarrow t_0), $$

где

$$ U(t \leftarrow t_0) = \begin{pmatrix} \cos \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} & i\sin \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} \\ i\sin \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} & \cos \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} \end{pmatrix}, $$

черта — это комплексное сопряжение, а $\odot$ — произведение по Адамару, то есть просто поэлементное произведение.

Элементы $U$ полностью аналогичны тому, что в квантовой механике называется амплитудами вероятности.

Важной чертой матрицы $U(t \leftarrow t_0)$ является то, что она унитарна, в частности обратима. Поэтому эта матрица элементарно доопределяется для произвольной пары времён:

$$ U(t \leftarrow t') = U(t \leftarrow t_0)U^{-1}(t' \leftarrow t_0) = \begin{pmatrix} \cos \frac {\pi (t - t')} {24\,\text{с}} & i\sin \frac {\pi (t - t')} {24\,\text{с}} \\ i\sin \frac {\pi (t - t')} {24\,\text{с}} & \cos \frac {\pi (t - t')} {24\,\text{с}} \end{pmatrix}, $$

что, как и должно, не зависит от $t_0$, но только от разности $t - t'$.

Иначе говоря, на уровне амплитуд, а не вероятностей, любой процесс делим в любой точке. И эта картина полностью аналогично явлению интерференции в квантовой механике: чтобы подсчитать вероятности надо перейти на язык амплитуд, перемножить матрицы с амплитудами для всего процесса и только потом возводить амплитуды в квадрат для получения вероятностей.

Квантовое состояние

Провернём трюк, аналогичный трюку с призрачными шарами. Можно ли как-то приписать системе другое, не настоящее состояние (назовём его квантовым) так, чтобы зная это квантовое состояние в момент $t_1 = 3\,\text{с}$ можно было найти и квантовое состояние и вероятности обычного состояния в момент $t_2 = 4\,\text{с}?$ Да, можно.

Пусть в точке делимости $t_0$ система находится в состоянии $B$. Возьмём в качестве квантового состояния $\Psi(t)$ соответствующую колонку $U(t \leftarrow t_0)$ (то есть вторую):

$$ \Psi(t) = \begin{pmatrix} i\sin \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} \\ \cos \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} \end{pmatrix}. $$

Тогда несложно проверить, что во-первых в любой момент $t$

$$ \begin{pmatrix} P_A(t) \\ P_B(t) \end{pmatrix} = \overline { \Psi(t) } \odot \Psi(t), $$

что очень напоминает правило Борна, хотя и не совсем оно по смыслу (правило Борна работает в любом базисе, а наше соотношение верно только в базисе, связанном с реальными состояниями), а во-вторых

$$ \Psi(t) = U(t \leftarrow t') \Psi(t'), $$

что похоже на решение уравнения Шрёдингера.

Точка делимости, индуцированная взаимодействием с окружением

Представим себе опять систему типа описанной выше. Но пусть теперь кроме неё есть некоторое окружение, которое мы для простоты представим опять же системой с двумя состояниями (чтобы не путать с состояниями системы обозначим их цифрами $1$ и $2$), но с тривиальной динамикой: окружение просто вечно сохраняет то состояние в котором находилось в начальный момент.

Если система и окружение никак не взаимодействуют, то не происходит ничего интересного. Но предположим, что на очень короткое время в районе $t_I = 4\,\text{с}$ происходит взаимодействие, которое запутывает систему с окружением.

То есть, до $t_I$ динамика системы есть просто

$$ \begin{pmatrix} P_{A1}(t) \\ P_{B1}(t) \\ P_{A2}(t) \\ P_{B2}(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} & \sin^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} & 0 & 0 \\ \sin^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} & \cos^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} & 0 & 0 \\0 & 0 & \cos^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} & \sin^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} \\0 & 0 & \sin^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} & \cos^2 \frac {\pi (t - t_0)} {24\,\text{с}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} P_{A1}(t_0) \\ P_{B1}(t_0) \\ P_{A2}(t_0) \\ P_{B2}(t_0) \end{pmatrix}, $$

которой соответствует матрица амплитуд

$$ U(t \leftarrow t') =\begin{pmatrix} \cos \frac {\pi (t - t')} {24\,\text{с}} & i \sin \frac {\pi (t - t')} {24\,\text{с}} & 0 & 0 \\ i \sin \frac {\pi (t - t')} {24\,\text{с}} & \cos \frac {\pi (t - t')} {24\,\text{с}} & 0 & 0 \\0 & 0 & \cos \frac {\pi (t - t')} {24\,\text{с}} & i \sin \frac {\pi (t - t')} {24\,\text{с}} \\0 & 0 & i \sin \frac {\pi (t - t')} {24\,\text{с}} & \cos \frac {\pi (t - t')} {24\,\text{с}} \end{pmatrix}. $$

Пусть в момент $t_0 = 0$ система+окружение находились в состоянии $A1$. Тогда квантовое состояние в момент $t_I$ было бы (первая колонка $U$)

$$ \begin{pmatrix} \frac {\sqrt 3} 2 \\ \frac 1 2 i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, $$

но взаимодействие запутывает систему с окружением, поэтому на самом деле квантовое состояние в момент $t_I$ будет

$$ \begin{pmatrix} \frac {\sqrt 3} 2 \\ 0 \\ 0 \\ \frac 1 2 i \end{pmatrix}. $$

Умножим это на всё то же $U$, чтобы найти дальнейшую эволюцию состояния:

$$ \begin{pmatrix} \cos \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} & i \sin \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} & 0 & 0 \\ i \sin \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} & \cos \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} & 0 & 0 \\0 & 0 & \cos \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} & i \sin \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} \\0 & 0 & i \sin \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} & \cos \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac {\sqrt 3} 2 \\ 0 \\ 0 \\ \frac 1 2 i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac {\sqrt 3} 2 \cos \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} \\ \frac {\sqrt 3} 2 i \sin \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} \\ - \frac 1 2 \sin \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} \\ \frac 1 2 i \cos \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} \end{pmatrix}, $$

то есть по "правилу Борна"

$$ \begin{pmatrix} P_{A1}(t) \\ P_{B1}(t) \\ P_{A2}(t) \\ P_{B2}(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac 3 4 \cos^2 \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} \\ \frac 3 4 \sin^2 \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} \\ \frac 1 4 \sin^2 \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} \\ \frac 1 4 \cos^2 \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} \end{pmatrix} $$

а значит

$$ \begin{pmatrix} P_A(t) \\ P_B(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac 3 4 \cos^2 \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}}+ \frac 1 4 \sin^2 \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} \\ \frac 3 4 \sin^2 \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} + \frac 1 4 \cos^2 \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos^2 \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} & \sin^2 \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} \\ \sin^2 \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} & \cos^2 \frac {\pi (t - t_I)} {24\,\text{с}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} P_A(t_I) \\ P_B(t_I) \end{pmatrix}, $$

и то же самое мы получили бы, если бы начали с любого другого состояния. То есть $t_I$ оказывается точкой делимости для системы.

Таким образом, взаимодействие с окружением может приводить к формированию точек делимости.

Коллапс

Анализ измерения произвольной наблюдаемой слишком сложен, поэтому я опишу в общих чертах простейший случай, когда измерение приводит в формированию точки делимости для системы — примерно так же, как было показано в предыдущем разделе.

То есть если измерение имело место в момент $t_I$ (считаем, что измерение бесконечно быстрое), то для $t > t_I$ получаем закон динамики системы

$$ \begin{pmatrix} P_A(t) \\ P_B(t) \end{pmatrix}=\Gamma(t \leftarrow t_I)\begin{pmatrix} P_A(t_I) \\ P_B(t_I) \end{pmatrix}, $$

где $\Gamma(t \leftarrow t_I)$ — некоторая матрица переходов.

Поэтому человек, который знает результат измерения ($A$ или $B$), может приписать такой системе новое квантовое состояние, совпадающее с соответствующим столбцом матрицы амплитуд $U(t \leftarrow t_I)$.

Это и есть знаменитый коллапс. Это не физический процесс, а всего лишь следствие изменения наших знаний.

Вот примерно так всё это выглядит. Измерение в ином базисе существенно сложнее, но в конечном счёте итог примерно тот же: тот, кто знает результат, может предсказывать будущее точнее и благодаря этому может приписать системе иное квантовое состояние. Формулы из статьи переписывать смысла я не вижу, вы можете найти их в самой статье.

[realeugene]

warlock66613
Спасибо. Мне нужно время чтобы прочитать и осмыслить.

[IvashenkoAV]

[

warlock66613 в сообщении #1736349 писал(а):

Идея в том, что используя квантовую механику мы пользуемся скрытой марковской моделью и так и нужно продолжать делать, потому что это эффективно. Но теория, что наш мир на самом деле немарков, очень хорошо объясняет многие странности квантовой механики.

Спасибо за подробный разбор, но хотелось бы начать понимать хотябы с малого.
Правильно ли я понимаю: Пусть есть колода карт. Если мы вынимаем карту с возвращением, то это марковская модель т.к. есть 2 состояния: полная колода и колода без карты, и есть 2 перехода между этими состояниями: изъятие и вкладывание карты. Пусть начальное распределение было таким, что колода полная. Теперь самое главное в чем мой вопрос: может ли быть в данной марковской модели(если это конечно марковская модель) вероятность перехода между состояниями отличной от 0.5? И чем эта модель с колодой отличается от Вашей коробки с лампочками? Если между изъятием и возвращением проходит час, а между возвращением и изъятием секунда, то вероятность встретить полную колоду в 3600 раз меньше чем вероятность встретить колоду без карты? Т.е. все привязано к длительностям переходов? Время в марковской модели выступает абсолютом и не зависит от модели и ее состояний, даже если эта модель вселенная?

[warlock66613]

IvashenkoAV, в вашей модели 53 состояния (если колода из 52 карт): полная колода, колода без двойки треф, колода без тройки треф и т. д. Это марковская модель, потому что вероятности переходов зависят только от текущего состояния и не зависят от истории. Вероятность перехода равна $1/52$ для перехода из полной колоды в любое состояние с вытащенной картой и равна $1$ для перехода в состояние с полной колодой. В немарковской модели история играет роль. Например, добавим правило: если прошлая (не текущая) вытащенная карта была туз, то мы не возвращаем карту, а тянем ещё одну. Всё, получили немарковскую модель. То есть отличие в том, надо ли нам знать что было раньше или только то что сейчас. В моей модели с лампочками надо знать, что было в момент $t = 0\,\text{с}$ даже если он в прошлом и на часах уже $t = 3\,\text{с}$.