Трансцендентные уравнения

[Firarika]

Всех с Новым годом
Вот такой вопрос - нахождение решения уравнений такого вида:
$C_1\exp(-a_1*x)+C_2\exp(-a_2*x)+...+C_n\exp(-a_n*x)=0$
$C_i$ - заданные коэффициенты, как положительные, так и отрицательные, $a_i$ - положительные.
Вполне очевидно решение для $n=2$ и $C_1C_2<0$:
$C_1\exp(-a_1x)=C_2\exp(-a_2x)$
$x=\frac{1}{a_1-a_2}\ln(\frac{C_1}{C_2})$
Однако уже для $n=3$ так просто не получается.
С чего начинать? Интересует теоретическое решение. Просто раньше такие мне на практике не попадались.

[mkot]

Ну, если числа $a_i$ соизмеримы, то очевидной заменой уравнение сводится к $f(x)=0$,
где $f$ -- многочлен, со всеми вытекающими отсюда последствиями.

[PAV]

PAV:

Тема перемещена в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

[PAV]

Возвращено

[Firarika]

mkot писал(а):

Ну, если числа $a_i$ соизмеримы, то очевидной заменой уравнение сводится к $f(x)=0$,
где $f$ -- многочлен, со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Хмм... может, хотя бы намекнете - что это за замена? Рядом?

[mkot]

Firarika писал(а):

mkot писал(а):

Ну, если числа $a_i$ соизмеримы, то очевидной заменой уравнение сводится к $f(x)=0$,
где $f$ -- многочлен, со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Хмм... может, хотя бы намекнете - что это за замена? Рядом?

Привести пример будет проще, чем объяснить. Пусть дано уравнение
$c_1 e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}x} + c_2 e^{-\sqrt{2}x} + c_3 e^{3\sqrt{2}x} = 0.$
Мы видим, что $\frac{\sqrt{2}}{2} : \sqrt{2} : 3\sqrt{2} = 1 : 2 : 6.$
То есть эти числа соизмеримы. Имеет смысл сделать замену
$y = e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}x}$, $y > 0$,
тогда получим уравнение
$c_1 y + c_2 y^2 + c_3 y ^6 = 0$.

[Firarika]

Хмм, понятно. То есть решение уравнения
$C_1\exp(-0.03x)+C_2\exp(-0.2x)+C_3\exp(-0.5x)=0$
сводится через подстановку
$y=\exp(-0.01x)$
к решению уравнения
$C_1y^3+C_2y^{20}+C_3y^{50}=0$
Понятно. Правда разница в показателях на моих данных может достигать двух порядков - сложно сказать, насколько это "соизмеримо". Спасибо!

[mkot]

Firarika писал(а):

Хмм, понятно. То есть решение уравнения
$C_1\exp(-0.03x)+C_2\exp(-0.2x)+C_3\exp(-0.5x)=0$
сводится через подстановку
$y=\exp(-0.01x)$
к решению уравнения
$C_1y^3+C_2y^{20}+C_3y^{50}=0$
Понятно. Правда разница в показателях на моих данных может достигать двух порядков - сложно сказать, насколько это "соизмеримо". Спасибо!

В случае если $a_i$ известны приближённо, о соизмеримости не может быть и речи.
В этом случае я бы, мягко говоря, поостерёгся бы делать такие замены.

[Firarika]

mkot писал(а):

В случае если $a_i$ известны приближённо, о соизмеримости не может быть и речи.
В этом случае я бы, мягко говоря, поостерёгся бы делать такие замены.

Это-то понятно... но хоть что-то.
А еще какие-нибудь варианты?

[Полосин]

Заменой $t=e^{-x}$ задача сводится к поиску нулей линейной комбинации степеней на неотрицательной полупрямой. Аналитически такая задача решается лишь для очень узкого класса показателей и коэффициентов; в общем случае задача решается приближенно численными методами.