Парадокс Пифагора

[Style53]

ПАРАДОКС ПИФАГОРА
Рисунок, доказывающий справедливость теоремы Пифагора, выглядит вполне убедительно.

Рисунок, опровергающий теорему Пифагора, выглядит не менее убедительно.
Начнём построения с четырёх квадратов: двух зелёных 3 на 3 и двух синих 4 на 4. Разместим их симметрично относительно начала координат в виде многоугольника, как показано на рисунке.

Затем наложим на эту фигуру красный квадрат, размером 5 на 5, совместив его диагонали с осями координат. Если теорема Пифагора верна, площадь сине-зелёного многоугольника равно в два раза больше площади красного квадрата.

Разница между высотой первой фигуры, которая равна $7$, и диагональю красного квадрата, которая равна $5\sqrt 2$, настолько мала, что её практически невозможно изобразить на картинке в виде треугольников, выступающих за границы многоугольника сверху и снизу, а также в углах между синим и зелёным квадратами слева и справа.
$5\sqrt 2-7=0,07106781…$
Если этой разницей пренебречь, можно считать, что четыре половинки площадей квадратов, заштрихованные синим и зелёным цветом, должны составлять приблизительно 25 с очень малой погрешностью.
Однако два треугольника, заштрихованные чёрным цветом, слишком заметны, чтобы не учитывать их присутствия. Отсюда следует, что площадь красного квадрата, у которого чёрных треугольников нет, не может быть в два раза больше площади многоугольника, которому эти треугольники принадлежат.
$\frac{2a^2+2b^2}{2}\not =c^2$

[sergey zhukov]

Style53 в сообщении #1725680 писал(а):

выглядит не менее убедительно.

Значительно менее убедительно, учитывая, что "на глазок это почти ноль и явно меньше того." И потом, стороны красного квадрата просто не совпадают с диагоналями синего и зеленого квадратов. Основная ошибка здесь.

[Mikhail_K]

Style53
Ну примитивное же мошенничество.
Во-первых, $0.07$ - это не настолько мало, насколько показано. Это чуть-чуть побольше визуально.
Во-вторых, фигура с чёрными треугольниками, если её составить в точности из половинок зелёных и синих квадратов, разрезанных по диагоналям, будет отличаться от красного квадрата не только этими треугольниками, но и, в другую сторону, узкими полосами вдоль диагоналей. Так как

sergey zhukov в сообщении #1725698 писал(а):

стороны красного квадрата просто не совпадают с диагоналями синего и зеленого квадратов

А узость этих полос, равно как и малость выступающих треугольничков красного квадрата, на рисунке преуменьшена. Отсюда и весь эффект. Если всё аккуратно и точно нарисовать, парадокса не будет.

[Adjal]

Style53 в сообщении #1725680 писал(а):

ПАРАДОКС ПИФАГОРА
Если этой разницей пренебречь, можно считать, что четыре половинки площадей квадратов, заштрихованные синим и зелёным цветом, должны составлять приблизительно 25 с очень малой погрешностью

Это из серии "бесконечной шоколадки" - там тож "пренебрегают" разницей

https://generim.ru/secret-endlesschocolate.html

[Style53]

Mikhail_K в сообщении #1725703 писал(а):

Style53
Если всё аккуратно и точно нарисовать, парадокса не будет.

Скоро я опубликую на эту тему не только точный рисунок, но и точные вычисления. Парадокс, увы, будет. Хотя, конечно, я не могу исключать, что допустил ошибку. Стало быть, поищем ошибки в вычислениях, а не только в рисунках.

[sergey zhukov]

Style53 в сообщении #1725713 писал(а):

Парадокс, увы, будет.

Да вы разве в это верите? Неужели в детстве не видели головоломок вроде вот этой шоколадки выше? Обычно пренебрегают чем-то очень длинным и узким, хотя площадь у этого вовсе не мала. Вот у вас то же самое.

[Dedekind]

Style53 in post #1725713 писал(а):

Хотя, конечно, я не могу исключать, что допустил ошибку.

Простите, Вы серьезно думаете, что это может быть НЕ ошибка и Вы действительно опровергли теорему Пифагора?:)

[Style53]

Dedekind в сообщении #1725715 писал(а):

Простите, Вы серьезно думаете, что это может быть НЕ ошибка и Вы действительно опровергли теорему Пифагора?

Скажите, Лобачевский опроверг утверждение Евклида, который утверждал, что сумма углов треугольника равна 2d?
Ответ может быть либо "да", либо "нет". По закону исключённого третьего.

[Mikhail_K]

Style53
Вам напомнить широко известный вопрос Карлссона, тоже допускающий только ответы "да" или "нет" по закону исключённого третьего?
Не нужно тут троллинга и демагогии.

[Dedekind]

Style53 in post #1725734 писал(а):

Лобачевский опроверг утверждение Евклида, который утверждал, что сумма углов треугольника равна 2d?

Лобачевский использовал аксиомы неевклидовой геометрии. Вы тоже? Какие именно тогда?

[wrest]

Style53 в сообщении #1725734 писал(а):

Скажите, Лобачевский опроверг утверждение Евклида, который утверждал, что сумма углов треугольника равна 2d?

Нет, конечно. Аксиому нельзя опровергнуть по определению аксиомы.
Но можно сделать свою геометрию из своих аксиом.

[Gagarin1968]

wrest в сообщении #1725747 писал(а):

Style53 в сообщении #1725734 писал(а):

Скажите, Лобачевский опроверг утверждение Евклида, который утверждал, что сумма углов треугольника равна 2d?

Нет, конечно. Аксиому нельзя опровергнуть по определению аксиомы.

wrest
Ну какая же это аксиома? Это одна из основных теорем евклидовой геометрии. Доказывают в 7-ом классе.

[Style53]

Mikhail_K в сообщении #1725739 писал(а):

Style53
Вам напомнить широко известный вопрос Карлссона, тоже допускающий только ответы "да" или "нет" по закону исключённого третьего?
Не нужно тут троллинга и демагогии.

Кстати, о троллинге и демагогии.
Если стороны треугольника равны 3, 4, 5, чему равен угол между малыми сторонами? 1d?
Ответ Евклида «да».
Ответ Лобачевского «нет».
В обеих теориях теорема Пифагора верна только «по построению». Нарисуем квадрат, впишем в него другой квадрат и т.д.
Но, рисуя квадраты, мы не можем отличить квадрат Евклида от квадрата Лобачевского.
На картинке, то есть в действительности, это одно и то же, а в теории нет.
Я бы сформулировал проблему наоборот.

Если квадраты двух сторон треугольника равны квадрату третьей его стороны, то всегда ли данный треугольник прямоугольный?

Кто-нибудь может это доказать? Или опровергнуть?

[sergey zhukov]

Style53
В геометрии Лобачевского вообще нет квадрата в том смысле, что это равносторонний четырехугольник со всеми прямыми углами. Там такая фигура не существует.

-- добавлено через 3 минуты --

Style53 в сообщении #1725754 писал(а):

Кто-нибудь может это доказать? Или опровергнуть?

Чтобы что-то доказывать, нужно сначала выбрать набор аксиом. Если мы выберем аксиомы Евклида, то докажем одно, если выберем другие аксиомы - то докажем другое. Это вообще не имеет отношения к тому, "как там на самом деле с реальными треугольниками дело обстоит".

Если берем аксиомы Евклида, то мы можем доказать то, что если $a^2+b^2=c^2$, то это треугольник прямоугольный. А если берем другие аксиомы, то докажем, что он не прямоугольный.

Разумеется, мы не может доказать, что один набор аксиом "правильный", а другой - нет. Математика - это вообще искусство вывода, т.е. "если... то...", причем "если..." может быть чем угодно.

[Dedekind]

Style53 in post #1725754 писал(а):

Если квадраты двух сторон треугольника равны квадрату третьей его стороны, то всегда ли данный треугольник прямоугольный?

"Начала" Евклида, Книга 1, Предложение 48.