Аксиома регулярности можно и нужно ли без нее?

[Altenter]

Аксиома регулярности, также известная как аксиома фундирования, — это принцип аксиоматической теории множеств, согласно которому в любом непустом множестве существует элемент, который не имеет общих элементов с исходным множеством. Эта аксиома запрещает существование бесконечных цепочек вложенных множеств и гарантирует, что ни одно множество не может содержать самого себя в качестве элемента. 

Как мне кажется, будущее математики как раз за теорией множеств, исключающей аксиому регулярности. Вернее за рассмотрением объектов, которые она исключает. Т.е. сначала следовало бы ввести объект, допускающий бесконечное количество уровней отображений всего множества на элемент, и прочих, которые исключает эта аксиома, а уж затем, выхватывая из этого множества структуры запрещать для них вложения и вводить аксиому регулярности или не вводить. Тогда получилось бы, что обычная теория множеств - это выхватывание и рассмотрение первого уровня вложения и оно, как мне кажется, ошибочно заложено в основания математики, что мешает объединению ее разделов и углублению понимания. Закладывать в основания надо было именно без регулярности и вводить ее по мере необходимости.

Простой пример, структурированное множество из 3-х элементов, один нулевой и каждый из 2-х других состоит из нулевого элемента и 3-х ненулевых: [[0], [[0],[1],[2],[3]], [[0],[1],[2],[3]]]
уже здесь открывается не паханое поле для экспериментов на таком простом примере.

Уже здесь можно ввести такие понятия как полная мощность множества подмножеств и показать на этом простеньком примере, что она равна $2^6$, также ввести симметричные подмножества и показать, что суммв их мощностей равна 1+3+3+9+9+3+3+1=32 из них 7 нулевых, т.е. без них $32-7=25=5^2$ и несимметричных тоже 1+3+3+9+9+3+3+1=32 в них $8=2^3$ нулевых, т.е. без них 32-8=24. Всего без нулевых $25+24=49=7^2$
Ну просто красота ведь. Сплошные симметрии и степени, а значит и закономерности. Квадраты здесь заиграли совсем другими красками.

[mihaild]

А какая от этого польза для народного хозяйства?
С точки зрения метатеории, задание отношения принадлежности - это просто введение структуры ациклического ориентированного графа без бесконечных ориентированных путей (ребра ведут из множества к его элементам); более того, любой такой граф реализуется отношением принадлежности (это уже не метатеория, а просто теорема теории множеств).
Можно рассматривать и графы с бесконечными путями, и это часто делается. Но какие глубины открываются от называния этого тоже отношением принадлежности?

[Altenter]

mihaild в сообщении #1705764 писал(а):

А какая от этого польза для народного хозяйства?
С точки зрения метатеории, задание отношения принадлежности - это просто введение структуры ациклического ориентированного графа без бесконечных ориентированных путей (ребра ведут из множества к его элементам); более того, любой такой граф реализуется отношением принадлежности (это уже не метатеория, а просто теорема теории множеств).
Можно рассматривать и графы с бесконечными путями, и это часто делается. Но какие глубины открываются от называния этого тоже отношением принадлежности?

Обобщение математики произойдет: числовые системы, функции и, возможно геометрии, получат единообразное выражение из обобщенного объекта. Будут открыты новые закономерности.

-- 13.10.2025, 19:53 --

Ну вот что такое факториал?
[[a]]
[[a],[b]]
[[a],[b],[c]]
[[a],[b],[c],[d]]
...............
От каждого множества берем по элементу, количество способов их взять и есть факториал.

Что такое степень 3?
[[a],[b],[c]]
[[a],[b],[c]]
[[a],[b],[c]]
[[a],[b],[c]]
[[a],[b],[c]]
[[a],[b],[c]]
От каждого множества берем по элементу и количество способов взять их - это степень числа 3.
И математика рассматривает только "взять по элементу" и не рассматривает "взять по 2 элемента или по произвольному количеству элементов от каждого множества, а если множество еще и более глубоко структурировано?
Ну и как нам компактно записать, что у множества бесконечное число уровней вложения? Ну естественно отобразив его элемент на все множество.

Что такое вещественные?
[[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]]
[[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]]
[[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]]
[[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]]
[[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]]
.............................................
Это способы взять из каждого множества по 1 элементу!!!

p-адичкские числа почти то же самое, только точки вверху:
.............................................
[[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]]
[[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]]
[[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]]
[[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]]
[[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]]
.............................................

И все эти числовые системы и фугкции есть вырванное из

бесконечного множества с бесконечным уровнем вложений элементов, которое выражается очень компактно через 1 отображение множества на его элементы. Теперь просто ищем компактный способ как записать вырванный из него кусок и получаем факториалы, вещественные, p-адические, степени и многие другие, если не все, функции. Т.е. почти всю матиматику, как производное от одного множества.

[Someone]

Altenter в сообщении #1705761 писал(а):

Как мне кажется, будущее математики как раз за теорией множеств, исключающей аксиому регулярности.

Ну, такая теория множеств существует: К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.
Первое издание вышло на польском языке в 1951 году.

Никаких откровений и вообще ничего особенного с тех пор не обнаружилось. Совершенно непонятно, зачем нужны множества, содержащие себя в качестве элемента хоть непосредственно ($x\in x$), хоть через цепочку посредников (типа $x_1\in x_2\in x_3\in\ldots\in x_n\in x_1$). Никаких полезных применений для них неизвестно.

У Вас есть содержательная задача, требующая отказа от аксиомы регулярности? Не благие пожелания про "числовые системы", а именно конкретная задача, которую нельзя решить, если справедлива аксиома регулярности.

Последние два абзаца — совершенно невразумительные ввиду отсутствия формальных определений.

P.S. Список элементов множества обычно заключают в фигурные скобки: $\{\ldots\}$.

[Altenter]

Someone в сообщении #1705768 писал(а):

Altenter в сообщении #1705761 писал(а):

Как мне кажется, будущее математики как раз за теорией множеств, исключающей аксиому регулярности.

Ну, такая теория множеств существует: К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.
Первое издание вышло на польском языке в 1951 году.

Ну значит эта идея не впервой приходит, просто никто не хочет выходить за рамки математической концепции: "Взяли по одному элементу от каждого подмножества".

Someone в сообщении #1705768 писал(а):

Никаких откровений и вообще ничего особенного с тех пор не обнаружилось. Совершенно непонятно, зачем нужны множества, содержащие себя в качестве элемента хоть непосредственно ($x\in x$), хоть через цепочку посредников (типа $x_1\in x_2\in x_3\in\ldots\in x_n\in x_1$). Никаких полезных применений для них неизвестно.

Это потому, что надо создавать аксиоматику, давать определения, проводить исследования, а этим никто не занимался, все подумали, что раз фундамент зиждется на Элементарной теории множеств, то от него и надо отталкиваться.

Someone в сообщении #1705768 писал(а):

У Вас есть содержательная задача, требующая отказа от аксиомы регулярности? Не благие пожелания про "числовые системы", а именно конкретная задача, которую нельзя решить, если справедлива аксиома регулярности.

Полезной для народного хозяйства пока нет.

Someone в сообщении #1705768 писал(а):

Последние два абзаца — совершенно невразумительные ввиду отсутствия формальных определений

Пока все на интуитивном уровне, да. Ну Вы же поняли, что такое факториал, вещественные и p-адические числа, что такое степень числа из этих примеров?
.

Someone в сообщении #1705768 писал(а):

P.S. Список элементов множества обычно заключают в фигурные скобки: $\{\ldots\}$.

Спасибо, учту.

[Geen]

Altenter в сообщении #1705761 писал(а):

Простой пример, структурированное множество из 3-х элементов

То что Вы написали это не множество вообще. А если подкрутить, то оно удовлетворяет упомянутой вначале аксиоме.

[Altenter]

И кстати, математически правильная запись для множеств должна выглядеть именно так:
{{{0}, {{0},{1},{2},{3}}, {{0},{1},{2},{3}}}, а математики 0 почему-то всегда опускают. А он символизирует, что мы не берем с этого уровня элементы, когда мы строим множество всех подмножеств. И он в полную структуру очень интересно входит.

-- 13.10.2025, 20:31 --

Geen в сообщении #1705773 писал(а):

Altenter в сообщении #1705761 писал(а):

Простой пример, структурированное множество из 3-х элементов

То что Вы написали это не множество вообще. А если подкрутить, то оно удовлетворяет упомянутой вначале аксиоме.

Да, оно удовлетворяет, но суть в том, что оно выделено из множества, которое не удовлетворяет и уже в этом удовлетворяющем аксиоме регулярности обрывке столько интересного! Т.е. вся соль в том и заключается, что вся математика - это обрывки какого-то объекта, не удовлетворяющего аксиоме регулярности.

[Geen]

Altenter в сообщении #1705774 писал(а):

математически правильная запись для множеств должна выглядеть именно так

Нет.

-- 13.10.2025, 21:28 --

Altenter в сообщении #1705774 писал(а):

Да, оно удовлетворяет, но суть в том, что оно выделено из множества, которое не удовлетворяет

Судя по тому, что Вы просто множество не можете записать.....

[Altenter]

Geen в сообщении #1705781 писал(а):

Altenter в сообщении #1705774 писал(а):

математически правильная запись для множеств должна выглядеть именно так

Нет.

А что Вы берете вместо элемента, когда не берете этот элемент при составлении подмножества из множества всех подмножеств? Ничего? Т.е. 0, но посему-то опускаете его, или Ваше ничего- это не 0, а нечто неопределенное?

Каждый элемент структурирован и как минимум кроме себя собержит и отсутствие себя. Иначе мы в случае взятия элемента в подмножество пользуемся математическим языком, а в случае его не взятия- бытовым.Это минимальный аргумент в пользу того, что такая запись правильна, но есть и бооее веские.

[Someone]

Altenter в сообщении #1705772 писал(а):

Ну значит эта идея не впервой приходит, просто никто не хочет выходить за рамки математической концепции: "Взяли по одному элементу от каждого подмножества".

Ерунда. Если бы там было что-то интересное, этим занималось бы множество специалистов. Тем более, что Куратовский и Мостовский — выдающиеся математики самого высокого уровня. А они в своей книге ничего интересного не показали.

Если покажете, что там действительно есть интересные задачи, желающие заняться найдутся.

Altenter в сообщении #1705772 писал(а):

Это потому, что надо создавать аксиоматику, давать определения, проводить исследования, а этим никто не занимался, все подумали, что раз фундамент зиждется на Элементарной теории множеств, то от него и надо отталкиваться.

Вы не знаете истории. Как раз разработкой непротиворечивой аксиоматики теории множеств занималось множество математиков высочайшего уровня. Современные аксиоматики ZFC и NGB сложились далеко не сразу.

Altenter в сообщении #1705772 писал(а):

Пока все на интуитивном уровне, да. Ну Вы же поняли, что такое факториал, и что такое степень числа из этих примеров?

Ничего не понял.

Altenter в сообщении #1705766 писал(а):

Ну вот что такое факториал?
[[a]]
[[a],[b]]
[[a],[b],[c]]
[[a],[b],[c],[d]]
...............
От каждого множества берем по элементу, количество способов их взять и есть факториал.

Ну и что? Причем здесь аксиома регулярности?

Я прекрасно знаю, и что такое факториал, и что такое степень, и какую роль они играют в комбинаторике. Кстати, $n!$ — это количество способов составить упорядоченный список элементов множества из $n$ элементов (количество перестановок множества из $n$ элементов). Гораздо проще, чем ваши таблицы.

Altenter в сообщении #1705774 писал(а):

И кстати, математически правильная запись для множеств должна выглядеть именно так:
{{{0}, {{0},{1},{2},{3}}, {{0},{1},{2},{3}}}, а математики 0 почему-то всегда опускают. А он символизирует, что мы не берем с этого уровня элементы, когда мы строим множество всех подмножеств.

Тихий ужас. Кстати, у Вас не хватает одной правой скобки.

С точки зрения математики, здесь написано множество $\{\{\{0\},\{\{0\},\{1\},\{2\},\{3\}\},\{\{0\},\{1\},\{2\},\{3\}\}\}\}$, содержащее один элемент — $\{\{0\},\{\{0\},\{1\},\{2\},\{3\}\},\{\{0\},\{1\},\{2\},\{3\}\}\}$. В свою очередь, этот элемент является множеством, содержащим два элемента $\{0\}$ и $\{\{0\},\{1\},\{2\},\{3\}\}$, из которых первый содержит единственный элемент $0$, а второй содержит $4$ элемента $\{0\},\{1\},\{2\},\{3\}$, являющиеся множествами, содержащими по одному элементу $0,1,2,3$ соответственно. То, что элемент $\{\{0\},\{1\},\{2\},\{3\}\}$ у Вас зачем-то перечислен дважды, роли не играет: множества $\{a,b,b\}$ и $\{a,b\}$ содержат одни и те же элементы $a$ и $b$, поэтому $\{a,b,b\}=\{a,b\}$. По определению равенства множеств.

Altenter в сообщении #1705774 писал(а):

Да, оно удовлетворяет, но суть в том, что оно выделено из множества, которое не удовлетворяет и уже в этом удовлетворяющем аксиоме регулярности обрывке столько интересного!

Ой!
Возьмите книжечку
И. И. Ежов, А. В. Скороход, М. И. Ядренко. Элементы комбинаторики. "Наука", Москва, 1977.
Там Вы этого интересного найдёте столько… А про теорию множеств лучше забудьте и не смешите здешнюю публику.

Altenter в сообщении #1705774 писал(а):

вся математика - это обрывки какого-то объекта, не удовлетворяющего аксиоме регулярности.

Вы же не имеете ни малейшего представления о "всей математике".

-- Пн окт 13, 2025 22:10:42 --

Altenter в сообщении #1705783 писал(а):

А что Вы берете вместо элемента, когда не берете этот элемент при составлении подмножества из множества всех подмножеств? Ничего?

Да, ничего. А почему я должен что-то брать вместо элемента, который мне не нужен? Если мне нужно образовать какое-то подмножество, я беру только те элементы, которые мне нужны.

Вот, допустим, у Вас в холодильнике лежат пять пирожных пяти видов, а Вы хотите взять только пирожные двух вполне определённых видов из этих пяти. Вы берёте, именно эти пирожные, и больше ничего. Никаких "нулей".

Altenter в сообщении #1705783 писал(а):

Каждый элемент структурирован и как минимум кроме себя собержит и отсутствие себя.

Это ваши фантазии.

Altenter в сообщении #1705783 писал(а):

Иначе мы в случае взятия элемента в подмножество пользуемся математическим языком, а в случае его не взятия- бытовым.

Ерунда.

Ещё раз: не смешите местную публику.

[Altenter]

Someone в сообщении #1705787 писал(а):

Да, ничего. А почему я должен что-то брать вместо элемента, который мне не нужен? Если мне нужно образовать какое-то подмножество, я беру только те элементы, которые мне нужны.

Вот, допустим, у Вас в холодильнике лежат пять пирожных пяти видов, а Вы хотите взять только пирожные двух вполне определённых видов из этих пяти. Вы берёте, именно эти пирожные, и больше ничего. Никаких "нулей".

Зная Вас, я боюсь это произносить, но здесь Вы неправы.
Положим Ваш холодильник содержит структурированное множество продуктов, в нем две полки на одной 3 яблока разных сортов и это множество фруктов. А на другой полке 2 пирожных. И вот Вы вольны взять что угодно из холодильника. Получится вариантов $\sum _{n=1}^5 C_5^n-1$ , однако мощность множества всех подмножеств равно булеану, т.е. 2^5. Куда заныкали 1? А теперь учитываем, что и яблоки, и пирожные сами по себе являются множествами. И если мы захотим в них определить множества всех подмножеств, то недостача будет уже 2, и сколько б Вы ни рассказывали о том, что вы возьмете все подмножества без этих нулей, каменный цветок булеан-то не выходит. А все потому, что не взяли в каждом из множеств пустое множество и даже не опустили его написание, а отказались от него.
Из всего, что можно взять из холодильника булеана не составишь. Надо еще добавить туда то, чего взять оттуда нельзя и потом его тоже взять.

Someone в сообщении #1705787 писал(а):

Вы не знаете истории. Как раз разработкой непротиворечивой аксиоматики теории множеств занималось множество математиков высочайшего уровня. Современные аксиоматики ZFC и NGB сложились далеко не сразу.

Наслышан об этом.Но сколь бы непротиворечивыми ни были эти ситемы, они столь же и неполны, что показал Гедель.

По остальным Вашим критическим замечаниям возражений нет. Вы во всем правы, кроме первого пункта. Там для меня неопределенность.

[Someone]

Altenter в сообщении #1705795 писал(а):

И вот Вы вольны взять что угодно из холодильника. Получится вариантов $\sum _{n=1}^5 C_5^n-1$

$\sum\limits_{n=0}^5C_5^n=2^5$. Включая пустое подмножество, которое Вы из-за своих фантазий не хотите считать, да ещё какую-то единицу вычитаете неизвестно зачем, так что по вашей формуле получается $2^5-2$.

[Altenter]

Someone в сообщении #1705802 писал(а):

Altenter в сообщении #1705795 писал(а):

И вот Вы вольны взять что угодно из холодильника. Получится вариантов $\sum _{n=1}^5 C_5^n-1$

$\sum\limits_{n=0}^5C_5^n=2^5$. Включая пустое подмножество, которое Вы из-за своих фантазий не хотите считать, да ещё какую-то единицу вычитаете неизвестно зачем, так что по вашей формуле получается $2^5-2$.

Извиняюсь, описАлся, думал об обном, писал другое. Должно конечно же быть $\sum_{k=1}^5C_5^k=2^5-1$.
Вы сказали, что можете составить любое необходимое подмножество без этих моих нулей. Речь велась о множестве всех подмножеств. Его Вы без пустого множества составить не можете, в записи элементов множества это пустое множество Вы опускаете. А оно там есть. В структурированном множестве, где элементы являются сами множествами, пустое множество должно быть включено в каждый из элементов. Это позволяет рассмотреть структуру множества всех подмножеств, структуру булеана, которую Вы не построите и не увидете без этого. Эта структура продемонстрирована в стартовом посте для простейшего случая структурированного множества.

Утверждение о том, что множество {a.b,b} и {а,b} равны на мой взгляд справедливы в рамках только действующих теорий, и, в частности они, являются ограничением к постороению более полной теории и, предполагаю, что введены они для удовлетворения определения множества аксиоме регулярности как раз.

[Sender]

Altenter в сообщении #1705819 писал(а):

Утверждение о том, что множество {a.b,b} и {а,b} равны на мой взгляд справедливы в рамках только действующих теорий

А мультимножества чем не устраивают?

[Altenter]

Sender в сообщении #1705821 писал(а):

Altenter в сообщении #1705819 писал(а):

Утверждение о том, что множество {a.b,b} и {а,b} равны на мой взгляд справедливы в рамках только действующих теорий

А мультимножества чем не устраивают?

Это скорее вопрос к уважаемому Someone. Меня они очень даже устраивают, но, подозреваю, их теория не очень разработана и они не укладываются в непротиворечивые CF и NGB.