Доказательство осмысленное

[nimepe]

Antoshka в сообщении #1690235 писал(а):

Итак, требуется доказать, что уравнение $x^7+y^7=z^7;[0]$ не имеет решений в натуральных попарно взаимно простых числах, когда $z$ делится на семь!
Обозначение $\equiv$ значит по определению равно
План действий!

С какой стати число $Z$ должно обязательно делиться на семь ?

[transcendent]

Antoshka в сообщении #1690227 писал(а):

Фактически если подставить ваше равенство в моё, то $7C=\sqrt[6]{7a}=7L^{k+1}$, но раз доказано, что $C$ делится на семь, то $L$ обязано делиться на семь. Таким образом, ответ на ваш вопрос "Да"

Вы призываете подставить второй раз? Что, куда и зачем? Я уже это сделал за себя, за Вас и ...за всех:

transcendent в сообщении #1690217 писал(а):

ы имеем после упрощений $C=L^{k+1}$.

В Вашей Лемме 1 только объявлено, что $C$ делится на $7$, но вместо доказательство даётся ссылка на авторитеты, -или как это ещё можно понять?

Antoshka в сообщении #1611216 писал(а):

Первые три леммы можно привести без доказательства, так как они уже были проверены участником Rak so dna!

А другим читателям, всё-таки, можно взглянуть на доказательство того, что $C $делится на $7$?
Пока только видно заявление. Лозунг, если хотите... Я Вам написал выше, что, если $L$ не является числом, делящимся на $7$, то и $C$ не делится на $7$.
Также, я показал, чтобы "сделать" $L$ делящимся на $7$, нужно ввести какие-то ограничения на $a$. В тексте не видно этих ограничений. Следовательно, их нет? А что же ещё остаётся сказать? Дайте мне возможность сначала понять что-то о Вашем $C$. Пока- с трудом...Давайте вместе посмотрим, если потребуется ,насчёт $z$. Потому что, похожие уравнения с $C$. Но, потом. Лады?

[nimepe]

Antoshka в сообщении #1690235 писал(а):

Пусть даны целые числа $A_1,B_1,C_1,D_1$, такие, что числа $\sqrt{B_1}$ и $\sqrt{D_1}$ иррациональные, причём $\sqrt{B_1}\sqrt{D_1}$ тоже иррационально! А числа $A_1,C_1$ рациональные. Тогда число $A_1\sqrt{B_1}+C_1\sqrt{D_1}$ рационально только когда $A_1=C_1=0;$

И где у вас будут фигурировать числа$A_!,B_1, C_1,D_1 $?

[Antoshka]

nimepe в сообщении #1690237 писал(а):

С какой стати число $Z$ должно обязательно делиться на семь ?

Надо рассмотреть оба оба случая, я согласен, но сначала я решил рассмотреть $z$ делится на семь!

transcendent в сообщении #1690238 писал(а):

А другим читателям, всё-таки, можно взглянуть на доказательство того, что $C $делится на $7$?

Antoshka в сообщении #1611216 писал(а):

Лемма 1
Если $x^7+y^7=z^7$, причем $7\mid z,\ (x,y)=(y,z)=(z,x)=1,\ x,y,z\in\mathbb{N}$, то:

$$\left\{ \begin{array}{lcl} y=m^7+7p \\ x=w^7+7p \\ z=m^7+7p+w^7 \\ z=7C(7^5C^6-mwD) \ \ \ \ \eqno[1] \\ p=mwA \\ A=CD \\ x+y=7^6C^7 \\ D^7=(x^2+xy+y^2)^2-z(x+y)(2x^2+3xy+2y^2)+(3x^2+5xy+3y^2)z^2-2(x+y)z^3+z^4\\ (C,D)=(y,D)=(x,D)=(m,C)=(w,C)=(m,w)=1 \\ 49\mid z,\ 7\mid C,\ 7\nmid D,\ 2\nmid D,\ 7\nmid m,\ 7\nmid w \\ m,w,p,A,C,D\in\mathbb{N} \end{array} \right.$$

Вот цитата.
Чтобы понять, что $C$ делится на семь, нужно сначала понять, что $D$ не делится на семь. Если вы посмотрите на $D^7$ в явном виде, то вы поймёте, что оно не делится на семь, когда $z$ делится на семь. Если вы посмотрите на соотношения для $x,y,p$, то увидите, что $mw$ тоже не делится на семь! Теперь подставим первое, второе уравнение системы в её седьмое уравнение. Что получится? Получится, что $m^7+w^7$ делится на семь, но если оно делится на семь, то оно делится на 49! Это значит, что $7p=7mwA$ должно делиться на 49, то есть $A$ делится на семь. Смотрим на шестое уравнение, значит $CD$ делится на семь, значит реально $C$ делится на семь!

nimepe в сообщении #1690239 писал(а):

И где у вас будут фигурировать числа$A_!,B_1, C_1,D_1 $?

В доказательстве леммы 8

-- 14.06.2025, 08:28 --

transcendent в сообщении #1690238 писал(а):

Дайте мне возможность сначала понять что-то о Вашем $C$. Пока- с трудом...Давайте вместе посмотрим, если потребуется ,насчёт $z$. Потому что, похожие уравнения с $C$. Но, потом. Лады?

Вот я изложил

[transcendent]

Antoshka, понимаю о $D^{7}$. Вы имеете в виду первое слагаемое, котрое возводится в квадрат. Там произведение $xy$ (в серединке) не делится на $7$. Осталльные слагаемые делятся и, как итог, $7$ не является делителем $D$.
Но, возвращаюсь к самым первым моим комментам-об $a$. Всё, что Вы желаете получить, получается только потому, что $a=0 (\mod 7^{5})$. По другому я не вижу, чтоб, в итоге, всё сложилось так, как Вы пишете. Я всё ещё чего-то недопонимаю в этой части?
И ещё наблюдение тире вопрос. Мы понимаем из условий первых Лемм, что $z^{7}=0 (\mod 7^{14})$ и, что $x+y=0 (\mod 7^{13})$. Выразим $x^{7}+y^{7}$ через известное тождество с $ n=7$ и запишем его так: $x^{7}+y^{7}=(x+y)\cdot R$. Правильно ли я понимаю Вас, что $R$ тоже делится на $7$ и, тогда, $x^{7}+y^{7}=0 (\mod 7^{14})$?

[Antoshka]

transcendent в сообщении #1690435 писал(а):

Всё, что Вы желаете получить, получается только потому, что $a=0 (\mod 7^{5})$.

Раз $C$ делится на семь, то $a\equiv 0(\mod 7^5)$

transcendent в сообщении #1690435 писал(а):

Правильно ли я понимаю Вас, что $R$ тоже делится на $7$ и, тогда, $x^{7}+y^{7}=0 (\mod 7^{14})$?

Да

[transcendent]

Antoshka в сообщении #1690442 писал(а):

transcendent в сообщении #1690435
писал(а):
Правильно ли я понимаю Вас, что $R$ тоже делится на $7$ и, тогда, $x^{7}+y^{7}=0 (\mod 7^{14})$?
Да

Antoshka, для меня пока полный стоп именно тут-тут. Доказать, что $R=0(\mod 7)$, (1), в Вашем случае, означало бы доказать ВТФ [и без всего того текста, который идёт после Лемм 1 и 2]. Если я всё понимаю правильно. Докажите утверждение (1).

[Antoshka]

transcendent в сообщении #1690465 писал(а):

Antoshka, для меня пока полный стоп именно тут-тут. Доказать, что $R=0(\mod 7)$, (1), в Вашем случае, означало бы доказать ВТФ [и без всего того текста, который идёт после Лемм 1 и 2]. Если я всё понимаю правильно. Докажите утверждение (1).

Это известный факт. Вот комментарий специалиста по этому поводу https://dxdy.ru/post7860.html#p7860
Поэтому доказывать и нечего. Кроме того, он говорит, что таким способом ВТФ не доказать, то есть если использовать только этот факт

-- 15.06.2025, 08:22 --

Цитата:

А что, Вы сумели это доказать? Вид простых делителей чисел вида $a^n\pm b^n$ для простого показателя  давно известен, так что Вы зря трудились. Поздравлять Вас особо не с чем.

[transcendent]

Antoshka в сообщении #1690533 писал(а):

Это известный факт. Вот комментарий специалиста по этому поводу post7860.html#p7860
Поэтому доказывать и нечего. Кроме того, он говорит, что таким способом ВТФ не доказать, то есть если использовать только этот факт

Моя крайняя фраза была написана с долей иронии:

transcendent в сообщении #1690465 писал(а):

Докажите утверждение (1).

С самого начала я написал точнее:

transcendent в сообщении #1690465 писал(а):

Antoshka, для меня пока полный стоп именно тут-тут.

Конечно, в нашем случае, $R=x^{6}-x^{5}y+x^{4}y^{2}-x^{3}y^{3}+x^{2}y^{4}-xy^{5}+y^{6}$. Тут, как ни крути, как ни верти, ничего не получится.
И почему ж, тогда, Вы, зная заранее об этом, потратили столько сил и времени?

(Оффтоп)

Что касается того товарища, чья попытка обсуждалась в дискуссии, цитату из которой Вы показали,-дык он и по сию пору не сдвинулся с того места, на котором стоял в 2006г

[Antoshka]

transcendent в сообщении #1690536 писал(а):

Конечно, в нашем случае, $R=x^{6}-x^{5}y+x^{4}y^{2}-x^{3}y^{3}+x^{2}y^{4}-xy^{5}+y^{6}$. Тут, как ни крути, как ни верти, ничего не получится.
И почему ж, тогда, Вы, зная заранее об этом, потратили столько сил и времени?

Я использую не только факт, что $R$ делится на $n$, но и целочисленность и уравнение $x^7+y^7=z^7$, поэтому не понял, к чему вообще этот вопрос. У меня уже есть законченное доказательство ВТФ общего случая, сюда я выложил только начало. Продолжение выкладывать смысла нет, так как все равно никто читать не будет. Проще в математический журнал отправить, тем более есть оказывается такие, причём солидные, которые принимают доказательства ВТФ

[transcendent]

Antoshka в сообщении #1690538 писал(а):

Я использую не только факт, что $R$ делится на $n$, но и целочисленность и уравнение $x^7+y^7=z^7$

Предлагаю забыть, что было в прошлом и у других людей. И было ли?...Покажите, пожалуйста, что $R=0(\mod 7).$ У меня не получается. Показав это, Вы покажете, что Ваши $x^{7}+y^{7} $ и $z^{7}$ - одни и те же числа. Пока это не показано, я не понимаю ничего. Вообще. [А хотелось бы. С Вашего позволения. ] Потому что, первое делится только на $7^{13}$, а второе -уже на $ 7^{14}$.
Можно показать?

[transcendent]

Antoshka, разобрался я с этим моим вопросом. Поскольку, мы имеем $y=-x (\mod 7)$, мы можем это подставить в уравнение для $R$ и получить $7x^{6}=7x^{6} (\mod 7)$, откуда $R=0 (\mod 7)$ [при условии, что $x+y=0 (\mod 7)$]. Однако, и в этом случае, пока не понимаю-почему это число $x^{7}+y^{7}$ мы должны рассматривать, как именно то число, $z^{7}$, которое поставлено Вами в уравнение ВТФ.

[Antoshka]

transcendent в сообщении #1690568 писал(а):

Однако, и в этом случае, пока не понимаю-почему это число $x^{7}+y^{7}$ мы должны рассматривать, как именно то число, $z^{7}$, которое поставлено Вами в уравнение ВТФ.

Приведите цитату, чтобы понять, что вы имеете ввиду

[transcendent]

Antoshka в сообщении #1690586 писал(а):

transcendent в сообщении #1690568
писал(а):
Однако, и в этом случае, пока не понимаю-почему это число $x^{7}+y^{7}$ мы должны рассматривать, как именно то число, $z^{7}$, которое поставлено Вами в уравнение ВТФ.
Приведите цитату, чтобы понять, что вы имеете ввиду

Да, что ни возьми из того, что касается $z$ в Лемме 1, например.
1. Откуда это всё взялось-это следствия из манипуляций с $x^{7}+y^{7}$ или что-то другое?
2. И почему так, а не эдак-что такое $C$, $D$, $p$, $m$, $w$,$ A$, $B$ и прочие, каковы области определений/значений?
3.А что об остальных $z$, которых целых ещё 6 штук должно быть плюс к записанному Вами,- по закону? Они тоже-корни уравнения ВТФ и, по идее, должны следовать каким-то похожим формулам, интересно. Нет?
4. То же, что в п. 3, но для $x $ и, затем, $y$...
5. Вы проверяли все эти Ваши формулы в доменах выше Z?
6. Какое противоречие Вы стремитесь получить? Т.е., напишите любезно, что такое противоречие в данном доказательстве.

[Antoshka]

transcendent в сообщении #1690599 писал(а):

1. Откуда это всё взялось-это следствия из манипуляций с $x^{7}+y^{7}$ или что-то другое?

Это следствие манипуляций с уравнением $x^7+y^7=z^7$

transcendent в сообщении #1690599 писал(а):

2. И почему так, а не эдак-что такое $C$, $D$, $p$, $m$, $w$,$ A$, $B$ и прочие, каковы области определений/значений?

Это натуральные числа, область их значений это множество натуральных чисел, только $7\nmid mwD,7\mid C$. Я вывожу формулы, аналогичные формулам для Пифагоровых троек. Посмотрите, как задаётся решение Пифагоровой тройки в целых числах и вы поймёте, что я вывел аналогичные соотношения

transcendent в сообщении #1690599 писал(а):

3.А что об остальных $z$, которых целых ещё 6 штук должно быть плюс к записанному Вами,- по закону? Они тоже-корни уравнения ВТФ и, по идее, должны следовать каким-то похожим формулам, интересно. Нет?

Не понял, про какие 6 штук вы говорите

transcendent в сообщении #1690599 писал(а):

5. Вы проверяли все эти Ваши формулы в доменах выше Z?

Нет, потому что надо работать на множестве натуральных чисел

transcendent в сообщении #1690599 писал(а):

6. Какое противоречие Вы стремитесь получить? Т.е., напишите любезно, что такое противоречие в данном доказательстве.

Что число $D$ является делителем числа 1225, а это невозможно, то есть целочисленность у меня используется