Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия, Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Что же тогда Вы называете первой теоремой Гёделя о неполноте?
Я так полагал, что это - утверждение о принципиальной неполноте любого непротиворечивого расширения арифметики. Причём под неполнотой понимается существование недоказуемого (и непопровержимого) истинного высказывания. И, как я понимаю, доказательство существования такого высказывания обычно заключается именно в его построении (точнее, в указании способа построения).
А можно под неполнотой понимать существование просто недоказуемого и неопровержимого утверждения (без требования истинности), которое уже не обязано быть эквивалентно собственной недоказуемости.
Теоремы в такой формулировке я, увы, не встречал. Нет, я против неё ничего не имею, но хотелось бы получить какие-нибудь подтверждения того, и в такой формулировке терема была доказана (ибо с моей точки зрения это уже совсем другая теорема).
Someone
18.12.2008, 20:24
Стефен К.Клини. Введение в метаматематику. "Иностранная литература", Москва, 1957.
§ 42. Теорема Гёделя.
Цитата:
Теорема 28.Если арифметическая формальная система гл. IV (просто) непротиворечива, то не ; если эта система -непротиворечива, то не . Таким образом, если эта система -непротиворечива, то она (просто) неполна, и служит примером неразрешимой формулы. (Теорема Гёделя в первоначальной форме.)
(Простая) непротиворечивость у Клини понимается как невыводимость одновременно двух высказываний и (§ 28). -непротиворечивость означает, что если выводимо каждое из высказываний , то невыводимо (§ 42).
С другой формулой доказывается следующая теорема.
Цитата:
Теорема 29.Если арифметическая формальная система гл. IV (просто) непротиворечива, то не и не ; иначе говоря, если эта система непротиворечива, то она (просто) неполна, и является неразрешимой формулой. (Теорема Гёделя в форме Россера.)