2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 
Сообщение18.04.2006, 11:12 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Руст писал(а):
а вероятность выбора с таким углом пропорционально $(\sin s )^{n-1}$.

Почему, кстати?
Руст писал(а):
Выражая sin(s) через x получается выражение $f_2(x)=const*(2x-x^2)^{(n-1)/2}$. Вроде бы верное рассуждение.

Но вот с эксперементальными числовыми значениями не сходится. Впрочем, моя формула (по которой получается f_2(x)=x/2 при x\leq 2) тоже идет в разрез с экспериментом.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2006, 11:27 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Да кажется сепень n-1 надо заменить на n-2 (n-1 размерность сферы, а размерность гиперподсферы уже n-2). Так, что проверь в таком виде:
$f_2(x)=(2x-x^2)^{(n-2)/2}.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2006, 11:50 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Руст писал(а):
Да кажется сепень n-1 надо заменить на n-2 (n-1 размерность сферы, а размерность гиперподсферы уже n-2). Так, что проверь в таком виде:
$f_2(x)=(2x-x^2)^{(n-2)/2}.$

Проблема та же: у этой f_2(x) имеется нуль производной на интервале (0,2), что противоречит численным результатам, согласно которым функция распределения является выпуклой (т.е. производная f'_2(x) должна быть строго положительной).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2006, 13:07 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Да при вычислении я ещё потерял якобиан:
$$f_2(x)=\int_0^{\pi } \delta (|x-\cos s|)(\sin s)^{n-2}ds=(\sin s)^{n-3},x=1+\cos s$$ За счёт учёта Якобиана степень уменьшается ещё на 1 и получается:
$f_2(x)=(2x-x^2)^{(n-3)/2}.$
Кажется больше нет ошибок для случая n>=2.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2006, 13:15 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Руст писал(а):
$f_2(x)=(2x-x^2)^{(n-3)/2}.$

Но тогда при n=3 получается $f_2(x)=1$, что дает линейную функцию распределения (как и у меня), но численные результаты нелинейны.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2006, 15:21 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Тогда возможно $f_1=\delta (x^2-1)$, что отражается при вычислении якобиана.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2006, 18:21 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Нашёл ещё одну ошибку при вычислении суммы двух векторов с углом t. Сумма векторов равно 2cos(t/2) а не 1+cos t как вычисляли раньше. Тогда можно написать правильные формулы:
$f_1(x)=\delta (x-1),f_{k+1}(x)=\int_0^{\pi } f_k(y(x,t) (\sin t)^{n-2}dt,$ где y(x,t) находится из $y^2+2y \cos t +1=x^2$. Тогда получается точное значение для второй функции плотности (я считаю только с точностью до постоянного множителя):
$f_2(x)=(\sin t)^{n-2}/\sin{(t/2)}, x=2\cos {\frac t2 }.$
Это даёт (c точностью до множителя)
$f_2(x)=[1-(\frac x2 )^2]^{(n-3)/2} x^{(n-2)/2}.$
Думаю окончательно исправил формулу. В частности функция распределения при n=3 имеет вид: $P(|e_1+e_2|<x)=(x/2)^{3/2}.$
и действительно выпуклая вверх.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2006, 21:30 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Вот теперь более похоже на правду. Но численно вроде как получается функция распределения $\frac{x^2}{4}$.
Ты уверен, что должно быть не
$f_2(x) = [1-(\frac x2 )^2]^{(n-3)/2} x^{(n-1)/2}.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2006, 21:35 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
А у меня получилось не квадратичная функция, а в степени 3/2 для n=3.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2006, 21:37 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Проверь степень x в формуле для f_2(x).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2006, 22:00 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Да степень другая сейчас не требуется извлекать корень как раньше при выражении sin t через cos t, так как выражаем через cos(t/2), поэтому получается:
$f_2(x)=(1-(\frac x2)^2)^{(n-3)/2}x^{n-2}.$
Твоя гипотеза подвердилась.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.04.2006, 11:57 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Вычислил оператор Лапласа от плотности распределения $f_2(r)/r^{n-1}$, он равен $2(n-3)\frac{(4-r^2)^{(n-7)/2}}{r^3}[(r^4-2r^2)(n-4)-8]$. Он равен нулю только при n=3(в этом случае гармоническая плотность, которая не сохранится уже для суммы 3 векторов).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group