Компланарная задача движения трёх тел

[Dedekind]

Skipper в сообщении #1663475 писал(а):

Правомерно ли рассматривать такие функции применительно к задачам движения тел на плоскости?

Конечно. Это же обычный вектор выходит. Правильность составления Ваших систем не проверял.

[Skipper]

Dedekind, спасибо!
Наконец-то, подсказка, стало понятнее. Выходит, если я нигде не сделал ошибку, в определении ускорений тел
на плоскости, рассматривая действующие силы (там и массы и расстояния и даже гравитационная постоянная),
то и система моих трёх дифференциальных уравнений, с комплексными функциями, должна быть верна..

[Dedekind]

Skipper
Уравнения составлены неправильно. Силы должны быть векторами, а у Вас - скаляры.

Skipper в сообщении #1663444 писал(а):

тогда на 1-е тело со стороны 2-го тела, действует сила ($r$ - временное значение, расстояние между телами):

$ F_2 = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} =\frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{ | S_1(t) - S_2(t) | ^2} $

аналогично, со стороны 3-го тела, действует сила,

$ F_3 = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_3}{r^2} =\frac{G \cdot m_1 \cdot m_3}{ | S_1(t) - S_3(t) | ^2} $

и результирующая сила будет равна,

$ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{ | S_1(t) - S_2(t) | ^2} + \frac{G \cdot m_1 \cdot m_3}{ | S_1(t) - S_3(t) | ^2} $

[Skipper]

Попробую поправить.

тогда на 1-е тело со стороны 2-го тела, действует сила-вектор, направление умноженное на модуль, т.е.,
$F_2 = ( S_2(t) - S_1(t) ) \dot | F_2 | $

а модуль этой силы (скаляр, вещественное число), зависит от расстояния между телами ($r$ - временное значение) :

$ | F_2 | = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} =\frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{ | S_2(t) - S_1(t) | ^2} $ ,

получаем, сила-вектор равна

$F_2 = G \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot \frac{( S_2(t) - S_1(t) )}{| S_2(t) - S_1(t) | ^2}$ ,

аналогично, со стороны 3-го тела, действует сила,

$F_3 = G \cdot m_1 \cdot m_3 \cdot \frac{( S_3(t) - S_1(t) )}{| S_3(t) - S_1(t) | ^2}$ ,

и результирующая сила будет равна,

$ F = m_1 \cdot G \cdot m_2 \cdot \frac{( S_2 - S_1 )}{| S_2 - S_1 | ^2} + m_1 \cdot G \cdot m_3 \cdot \frac{( S_3 - S_1 )}{| S_3 - S_1 | ^2} $ ,

ускорение же обратно пропорционально массе самого тела $m_1$ (очевидно, если мы
толкаем тело с массой в $1$ кг, оно будет в $2$ раза быстрее ускоряться чем в случае если мы с той же
силой толкаем тело с массой в $2$ кг).
Тогда разделив результирующую силу, на массу рассматриваемого тела $m_1$ мы и получим его ускорение
в данный момент времени. А ускорение это вторая производная от координат.

$A_1 = S_1'' = G \cdot m_2 \cdot \frac{( S_2 - S_1 )}{| S_2 - S_1 | ^2} + G \cdot m_3 \cdot \frac{( S_3 - S_1 )}{| S_3 - S_1 | ^2} $ ,
для упрощение примем константы,
$C_1 = (G \cdot m_1) ^ {0.5} , C_2 = (G \cdot m_2) ^ {0.5} , C_3 = (G \cdot m_3) ^ {0.5}$ ,

тогда
$S_1'' = C_2 ^2 \cdot \frac{( S_2 - S_1 )}{| S_2 - S_1 | ^2} + C_3 ^2 \cdot \frac{( S_3 - S_1 )}{| S_3 - S_1 | ^2}$ ,

аналогично, находим ускорения, как вторые производные функций для 2-го тела и 3-го тела, и получаем,
систему из 3-х дифференциальных уравнений для плоской задачи движения трёх тел .
Нужно решить систему из 3-х дифференциальных уравнений, и найти , т.е. определить функции $ S_1 , S_2 , S_3$ .
(с известными выше определенными константами $C_1, C_2, C_3$ ).
Все три функции принимают вещественный аргумент время $t$, а возвращают
комплексное число - определяющее обе координаты на плоскости, данного тела
как материальной точки, в этот момент времени,

$\left\{ \begin{array}{rcl} S_1'' = \frac{C_2 ^2 \cdot (S_2 - S_1)}{ | S_2 - S_1 | ^2} + \frac{C_3 ^ 2 \cdot (S_3 - S_1)}{ | S_3 - S_1 | ^2} \\ S_2'' = \frac{C_1 ^2 \cdot (S_1 - S_2)}{ | S_1 - S_2 | ^2} + \frac{C_3 ^ 2 \cdot (S_3 - S_2)}{ | S_3 - S_2 | ^2} \\ S_3'' = \frac{C_1 ^2 \cdot (S_1 - S_3)}{ | S_1 - S_3 | ^2} + \frac{C_2 ^ 2 \cdot (S_2 - S_3)}{ | S_2 - S_3 | ^2} \\ \end{array} \right.$ ,

Теперь составил дифференциальные уравнения правильно?

[Утундрий]

Уравнений должно быть девять.

[Dedekind]

Skipper
Да, теперь правильно.

[Red_Herring]

Dedekind в сообщении #1663487 писал(а):

Да, теперь правильно

Увы, нет. Мало того, что задача одномерная, еще и степень неверная.

[Утундрий]

Dedekind в сообщении #1663487 писал(а):

Skipper
Да, теперь правильно.

Нет, всё ещё не правильно. Даже если предположить, что уравнения векторные, чего ТС никак не показал. Присмотритесь к степеням модулей в знаменателях.

[Skipper]

Утундрий в сообщении #1663484 писал(а):

Уравнений должно быть девять

1) первое - если бы для определения каждой координаты (при движении тел на плоскости), была бы своя функция,
то у нас уже было бы $6$ уравнений. Но я же сократил их в два раза, потому что рассматриваю,
для каждого тела единую функцию выдающую комплексное значение. Это комплексное значение и определяет
сразу две координаты.
2) ну а если и задача рассматривалась бы не для движения тел на плоскости, а как произвольное движение
тел в 3-мерном пространстве, то уравнений, действительно было бы $9$ ,

Dedekind в сообщении #1663487 писал(а):

Да, теперь правильно.

Спасибо.
Теперь осталось разобраться, как можно упростить задачу, чтобы аналитическое решение этой системы
уравнений можно было бы найти.
Если принять массы всех тел одинаковыми, и все константы $C_1, C_2, C_3$ станут равны
меж собой, и даже если принять их за $1$, то всё равно
пока не видно, чтобы подобная система как-то аналитически решалась..

[Dedekind]

Red_Herring в сообщении #1663488 писал(а):

еще и степень неверная

Да, Skipper, мой косяк. Должна быть третья степень.

Red_Herring в сообщении #1663488 писал(а):

задача одномерная

У ТС там двумерные векторы в виде комплексных величин. Понятия не имею, зачем ему это понадобилось, но прочему бы и нет.

[Skipper]

Dedekind в сообщении #1663491 писал(а):

Должна быть третья степень.

Почему третья? В знаменателе стоит расстояние меж телами в квадрате, т.к. силы убывают в зависимости
от расстояния, в квадратической зависимости.

[Dedekind]

Skipper в сообщении #1663490 писал(а):

пока не видно, чтобы подобная система как-то аналитически решалась

Так она и не решается (в замкнутом виде). Вы получили вот эту систему https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0 ... 0%B8%D0%B5
Почитайте там дальше про нее.

-- 02.12.2024, 22:39 --

Skipper в сообщении #1663492 писал(а):

Почему третья?

Skipper в сообщении #1663482 писал(а):

тогда на 1-е тело со стороны 2-го тела, действует сила-вектор, направление умноженное на модуль, т.е.,
$F_2 = ( S_2(t) - S_1(t) ) \dot | F_2 | $

Вот тут направление должно быть единичным вектором (из соображений размерности). То есть, нужно выражение справа разделить еще на $|S_2-S_1|$. Тогда в общем выражении для силы будет куб.

[Skipper]

Dedekind в сообщении #1663493 писал(а):

Skipper в сообщении #1663490 писал(а):

пока не видно, чтобы подобная система как-то аналитически решалась

Так она и не решается (в замкнутом виде). Вы получили вот эту систему https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0 ... 0%B8%D0%B5
Почитайте там дальше про нее.

-- 02.12.2024, 22:39 --

Skipper в сообщении #1663492 писал(а):

Почему третья?

Skipper в сообщении #1663482 писал(а):

тогда на 1-е тело со стороны 2-го тела, действует сила-вектор, направление умноженное на модуль, т.е.,
$F_2 = ( S_2(t) - S_1(t) ) \dot | F_2 | $

Вот тут направление должно быть единичным вектором (из соображений размерности). То есть, нужно выражение справа разделить еще на $|S_2-S_1|$. Тогда в общем выражении для силы будет куб.

Спасибо, наконец, разобрался. Для меня на этом этапе, не так важно научиться решать дифуры,
как научиться правильно их составлять, в зависимости от задачи. Если понял суть составления
для трёх тел, то можно и для каких-то других задач, составлять. (а уже потом учиться понимать методы решений).
Получаем,
Нужно решить систему из 3-х дифференциальных уравнений, и найти , т.е. определить функции $ S_1 , S_2 , S_3$ .
(с известными выше определенными константами $C_1, C_2, C_3$ ).

$\left\{ \begin{array}{rcl} S_1'' = \frac{C_2 ^2 \cdot (S_2 - S_1)}{ | S_2 - S_1 | ^3} + \frac{C_3 ^ 2 \cdot (S_3 - S_1)}{ | S_3 - S_1 | ^3} \\ S_2'' = \frac{C_1 ^2 \cdot (S_1 - S_2)}{ | S_1 - S_2 | ^3} + \frac{C_3 ^ 2 \cdot (S_3 - S_2)}{ | S_3 - S_2 | ^3} \\ S_3'' = \frac{C_1 ^2 \cdot (S_1 - S_3)}{ | S_1 - S_3 | ^3} + \frac{C_2 ^ 2 \cdot (S_2 - S_3)}{ | S_2 - S_3 | ^3} \\ \end{array} \right$ . ,

решения не имеет, но возможно решить численными методами?
Пусть в задаче двух тел даже и выписали явно функции, т.е. нашли
аналитическое решение. Но ведь даже зная явно функции, мы всё равно по сути решаем задачу,
т.е. находим что возвращает функция численными методами? Например используя ряд Тейлора
или ряд Маклорена.
Так и получаем в каждый момент времени $t $ некое приближенное значение координат тела.
Значит, разница со случаем трёх тел, что как бы.. со временем ошибка накапливается в системе, и чем дальше по времени
мы считаем, тем более точно нужно знать начальные условия.
То есть разница только в том что более трудоёмкое вычисление нужно, и будь у нас сверх-точный компьютер,
тогда мы могли бы и движение трёх тел рассчитать хоть на миллион лет вперёд?

[Утундрий]

Dedekind в сообщении #1663491 писал(а):

мой косяк. Должна быть третья степень.

Видимо тупость заразна.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1663495 писал(а):

Видимо тупость заразна.

Тут просто невнимательность. Вот никто не спросил, что означает этот знак

Skipper в сообщении #1663482 писал(а):

$ \dot |$