2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение21.09.2024, 18:10 
Аватара пользователя


20/02/12
161
Здравствуйте! Не могу одолеть задачу 1411 б) из Демидовича, может кто-нибдуь помочь? Вот такая формулировка:

Считая $| x |$ малой величиной, вывести простые приближенные формулы для следующих выражений:
$$(\frac{1+x}{1-x})^{1/3} - (\frac{1-x}{1+x})^{1/3}$$

Тут тема разложения функций в ряд Тейлора, поэтому я попробовал вначале это преобразовать до дроби и потом загнать под логарифм. Далее попытался разложить в ряд Телора, но под логарифмами функция не определена, если $x<0$, то есть видимо какой-то другой метод нужен. Вот так это выглядит:
Изображение
Тут я в 3-ей строке разложил в ряд Тейлора последнее слагаемое, в последней разложил в ряд Тейлора выражения под логарифмами. В иоге видно, что у первого логарифма выражение отрицательное при $x<0$, у второго логарифма вообще всегда отрицательное...

Как сделать правильно? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение21.09.2024, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Что такое простая формула для этого выражения?
Например, подойдёт $4x/3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение21.09.2024, 18:30 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
При чём тут логарифмы, если все алгебраические функции и так можно раскладывать в ряд?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение21.09.2024, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Разность кубов просматривается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение21.09.2024, 19:01 


11/07/16
10/11/24
825
$\frac{4 x}{3}+\frac{44 x^3}{81}+\frac{268 x^5}{729}+O\left(x^6\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение21.09.2024, 20:22 
Заслуженный участник


03/01/09
1700
москва
Функция нечетная, поэтому разложение в ряд должно содержать лишь нечетные степени $x$.
Ее можно представить в виде:$$f(x)=(1+p)^{\frac 13}-(1-s)^{\frac 13}\eqno (1), p=\frac {2x}{1-x},s=\frac {2x}{1+x}$$$x$ предполагается малым, поэтому $p,s$ тоже малы. Разлагаем слагаемые в (1) в биномиальные ряды по $p,s$. Дальше нужно понять, от каких степеней $p,s$ возникают слагаемые порядка $x,x^3$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение22.09.2024, 15:53 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Есть простая волшебная формула, которая основывается как раз на ряде Тейлора:

Если $|x| \ll 1$, то $(1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x$.
С записью остатка: $(1+x)^\alpha = 1+\alpha x + o(x)$

Вот и применяем её к исходному выражению:

$(\frac{1+x}{1-x})^{1/3} - (\frac{1-x}{1+x})^{1/3} \approx (1+1/3 x)(1+1/3 x) - (1-1/3 x)(1-1/3 x)$

Раскрываем скобки, вычеркиваем слагаемые с порядком малости больше единицы и получаем ответ.

Ежели нужно получить члены с бОльшим порядком малости, то да, надо в честный ряд Тейлора раскладывать до нужной степени.

-- 22.09.2024, 15:58 --

TOTAL в сообщении #1655477 писал(а):
Что такое простая формула для этого выражения?

ТС переписал задание дословно.
ИМХО, подойдёт самая простая формула.
TOTAL в сообщении #1655477 писал(а):
Например, подойдёт $4x/3$?

Именно такой ответ и ожидается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 16:17 
Аватара пользователя


20/02/12
161
mihiv в сообщении #1655495 писал(а):
Функция нечетная, поэтому разложение в ряд должно содержать лишь нечетные степени $x$.
Ее можно представить в виде:$$f(x)=(1+p)^{\frac 13}-(1-s)^{\frac 13}\eqno (1), p=\frac {2x}{1-x},s=\frac {2x}{1+x}$$$x$ предполагается малым, поэтому $p,s$ тоже малы. Разлагаем слагаемые в (1) в биномиальные ряды по $p,s$. Дальше нужно понять, от каких степеней $p,s$ возникают слагаемые порядка $x,x^3$ и т.д.


Извините, но не понял вашего способа. Я попытался что-то сделать, получилось так:
1. Разложил в ряд Тейлора 2 слагаемых: $(1+p)^{\frac 13}-(1-s)^{\frac 13}$, получил:
$$(1 + \frac{1}{3}p - \frac{2^2}{3^2} p^2 + \frac{10}{3^3 \cdot 3!}p^3 + ...) - (1 + \frac{1}{3}s - \frac{2^2}{3^2} s^2 + \frac{10}{3^3 \cdot 3!}s^3 + ...) = \frac{1}{3} (p - s) - \frac{2^2}{3^2}(p^2 - s^2) + \frac{10}{3^2 \cdot 3!} (p^3 - s^3) ...$$
2. В нашем ряду должны оставаться только слагаемые с нечётными степенями, а остальные обнуляться, такое возможно только при $p = a, s = -a$ или $p = -a, s = a$, где $a \in \mathbb{R}$
3. Воспользовавшись п.2 и : $a = p = \frac {2x}{1-x}$ и $-a = s = \frac {2x}{1+x}$ можно составить уравнение: $0 = \frac {2x}{1-x} + \frac {2x}{1+x}$
4. Вследствии п.3 получаем такое уравнение $\frac{4x}{(1 - x^2)} = 0$, но оно нам только говорит о том, что $x$ должен быть равен 0, чтобы наше разложение было корректным, а нас это явно не устраивает, мы же хотим выбирать произвольный $x$, я неправильно понял метод?

EUgeneUS в сообщении #1655570 писал(а):
Вот и применяем её к исходному выражению:

$(\frac{1+x}{1-x})^{1/3} - (\frac{1-x}{1+x})^{1/3} \approx (1+1/3 x)(1+1/3 x) - (1-1/3 x)(1-1/3 x)$


Извините, но тоже не понял как у вас получилось это уравнение? :cry: Я сделал подстановку в числителе и в знаменателе: $\frac{1+1/3 x}{1-1/3x} - \frac{1- 1/3 x}{1+ 1/3 x} \approx (1+1/3 x)(1+1/3 x) - (1-1/3 x)(1-1/3 x)$, но к правильному ответу эта подстановка не приводит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 17:56 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Verbery в сообщении #1656278 писал(а):
Извините, но тоже не понял как у вас получилось это уравнение? :cry:

Не очень понимаю, в чём ваше затруднение. Может быть в этом:

$$\frac{1}{(1-x)^{1/3}} = (1-x)^{- 1/3} \approx 1- (-1/3) \cdot x = 1 + (1/3) x $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Последнее "равенство" симптоматично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 18:34 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Утундрий

(Оффтоп)

Бггг. ОК, поправил.
Всё никак не могу привыкнуть, что Латех пробелы удаляет, включая нужные пробелы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 19:00 
Аватара пользователя


20/02/12
161
EUgeneUS в сообщении #1656299 писал(а):
Не очень понимаю, в чём ваше затруднение. Может быть в этом:

$$\frac{1}{(1-x)^{1/3}} = (1-x)^{- 1/3} \approx 1- (-1/3) \cdot x = 1 + (1/3) x $$


Ох ты ж :facepalm: Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Verbery
Про разность кубов подумайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 19:47 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Утундрий в сообщении #1656331 писал(а):
Про разность кубов подумайте.


Через разность кубов у меня получилось прийти к ответу вообще без дифференцирования.
Но задача из темы "ряд Тейлора" :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 20:02 
Заслуженный участник


03/01/09
1700
москва
mihiv в сообщении #1655495 писал(а):
Дальше нужно понять, от каких степеней $p,s$ возникают слагаемые порядка $x,x^3$ и т.д.

Рассмотрим,например, член ряда порядка $x^3$.
Вклад от $p$ в первой степени находим так: $p=\frac {2x}{1-x}=2x(1+x+x^2+\dots )$Следовательно вклад от $p$ равен $2x^3$.(Это еще нужно умножить на коэффициент $\frac 13$перед $p$ в ряду Тейлора)
Аналогично находим вклад порядка $x^3$от $p^2:p^2=4x^2\frac 1{(1-x)^2}=4x^2\left (\frac 1{1-x})'=4x^2(1+2x+\dots ).$Следовательно, вклад порядка $x^3$ равен $8x^3$
Будет еще вклад от $p^3$, а остальные слагаемые в разложении по $p$ вклада не дают, т.к. они порядка $o(x^3)$.
Кстати, в разложении в ряд по $p$ и $s$ у вас ошибка. Должно быть $1+\frac 13p-\frac 19p^2+\dots, 1-\frac 13s-\frac 19s^2$
А в общем получается довольно громоздко, если нужны степени $x$ выше первой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group