Конечность интеграла произведения двух функций

[мат-ламер]

YuryS
Посмотрите учебник Богачёва и Смолянова (Действительный и функциональный анализ). Там в пар. 3.8 рассматриваются пространства функций, которые заданы на множествах с возможно бесконечной мерой. И для таких функций доказываются соответствующие неравенства.

[drzewo]

YuryS
ну вот смотрите, я вам написл

drzewo в сообщении #1645463 писал(а):

из того, что $f^2$ интегрируема по Риману не следует, что интегрируема по Риману функция $f$

вы продолжаете:

YuryS в сообщении #1645550 писал(а):

Там, в частности, по ходу решения требуется показать, что если функции $e_{\delta}$ и $x_{0}$ принадлежат множеству функций $X$, то $(e_{\delta} + x_{0}) \in X$.
Данный вопрос сводится, в конечном итоге, к вопросу - пусть $\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2}dx < \infty$ и $\int\limits_{-\infty}^{\infty}|g(x)|^{2}dx < \infty$.

YuryS в сообщении #1645550 писал(а):

Показать, что $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x)dx < \infty$

а ниче что в этом интеграле может оказаться функция неинтегрируемая по Риману ни на каком отрезке? Про обозначение << $< \infty$>> я уже сказал.

YuryS в сообщении #1645366 писал(а):

пусть $X$ есть множество "2-интегрируемых" (по Риману) функций $x$ на некотором интервале $S$; т.е., $x \in X$, если

$$\int\limits_{S} |x(s)|^2 ds < \infty$$

.

я не говорю уже про то, что в определении $X$ у вас $S$ это не-пойми что. Сначала вы говорите, что $X$ состоит из функций с интегрируемым по Риману квадратом, из чего следует, что $S$ -- отрезок. Потоом начинаете интегрировать брать $S$ бесконечным интервалом.

Каша какая-то. Не о чем говорить.

[мат-ламер]

YuryS
Может вы интересуетесь пространством $L_2(\mathbb{R})$ ? Тогда посмотрите тут . Хотя, если вы интересуетесь интегралом Римана, то я тут не знаток.

[YuryS]

drzewo в сообщении #1645595 писал(а):

я не говорю уже про то, что в определении $X$ у вас $S$ это не-пойми что

Проясню, для начала, что такое $S$:

[drzewo]

Стало еще непонятней. Вы, кстати, пропустили даже то, что там сказано. Стандартная терминология следующая: Riemann integral это обычный интеграл Римана на $[a,b]$ и есть несобственный интеграл Римана improper integral ; the function is improperly integrable in $\mathbb{R}$ if it is Riemann integrable in each interval $[a,b]$ and the following limit exists

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)dx:=\lim_{\substack{a\to -\infty \\ b\to \infty}}\int_a^bf(x)dx$$

as a real number.
(Для доказательства существования этого предела я выше использовал критерий Коши. )
А что понимает автор вашего текста под интегралом Римана на $\mathbb{R}$ -- черт его знает, мало ли кто учебники пишет.

[Combat Zone]

drzewo в сообщении #1645639 писал(а):

А что понимает автор вашего текста под интегралом Римана на $\mathbb{R}$ -- черт его знает, мало ли кто учебники пишет.

Для несобственных интегралов Римана, что на интервале, что на всей прямой, рассматриваются абсолютно сходящиеся интегралы от степени p. Тем самым, автор учебника делает все, чтобы фактически говорить об интегралах Лебега, не занимаясь их построением. Далее с помощью известного приема строится пространство, фактически совпадающее с $L^p(S)$. А задача вообще не та, что привел ТС. Может, он это сделал сознательно, только неясно, зачем.

Я перепишу сюда, хотя говорят, что это должен делать автор темы. Но иначе совсем неудобно.

Требуется показать, что отображение $F: \ (X, d_2) \to (Y, d_2)$ на множество $Y = \left\lbrace x\in X: \int\limits_{-\infty}^{\infty}|\int\limits_{-\infty}^{t}x(s)ds|^2 dt < \infty \right\rbrace$ разрывно всюду на X.

Здесь $X=R^2(\mathbb R)$, $d_2$ - стандартная метрика на $X$, отображение $y= F(x)=\int_{-\infty}^t x(s) \, ds$.

Чтобы долго не объяснять, что такое $R^2$, можно смело читать в этом месте $L^2$, если, конечно, от этого легче. (Мне легче.)

YuryS в сообщении #1645550 писал(а):

Показать, что $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x)dx < \infty$.

Это необязательно.

YuryS в сообщении #1645550 писал(а):

Показать, что $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x)dx < \infty$.

Думаю, имелось в виду неравенство Минковского. Сводить к произведению тоже можно, конечно, но немного дольше.

[drzewo]

Combat Zone в сообщении #1645644 писал(а):

Тем самым, автор учебника делает все, чтобы фактически говорить об интегралах Лебега, не занимаясь их построением.

я это заметил, а кто автор?

Combat Zone в сообщении #1645644 писал(а):

Требуется показать, что отображение $F: \ (X, d_2) \to (Y, d_2)$ на множество $Y = \left\lbrace x\in X: \int\limits_{-\infty}^{\infty}|\int\limits_{-\infty}^{t}x(s)ds|^2 dt < \infty \right\rbrace$ разрывно всюду на X.

Здесь $X=R^2(\mathbb R)$, $d_2$ - стандартная метрика на $X$, отображение $y= F(x)=\int_{-\infty}^t x(s) \, ds$.

Чтобы долго не объяснять, что такое $R^2$, можно смело читать в этом месте $L^2$

оператор $F$ не определен на $L^2(\mathbb{R})$

-- 08.07.2024, 10:26 --

вы уверены, что $F$ действует из $X$ в $Y$, а не из $Y$ в $X$?

-- 08.07.2024, 10:45 --

в определение $Y$ должно входить условие $x\in L^1(-\infty,a),\quad \forall a$

[Combat Zone]

drzewo в сообщении #1645651 писал(а):

я это заметил,

Я не для вас, я чтоб было. ТС не очень-то близок к первоисточнику, да и мне продраться через него довольно сложно - все раскидано по многим страницам.

drzewo в сообщении #1645651 писал(а):

вы уверены, что $F$ действует из $X$ в $Y$, а не из $Y$ в $X$?

Да, конечно, моя невнимательность.

drzewo в сообщении #1645651 писал(а):

в определение $Y$ должно входить условие $x\in L^1(-\infty,a),\quad \forall a$

Возможно, автор планировал обойти это требование с помощью фразы "the subset of $X$ made up of all functions $x\in R^2(\mathbb R)$ for which the formula

$$y(t) = \int_{-\infty}^t x(s) \,ds$$

for each $t\in\mathbb R$ defines a function in $R^2(\mathbb R)$."
Но по-хорошему да, должно.

drzewo в сообщении #1645651 писал(а):

а кто автор?

YuryS в сообщении #1645550 писал(а):

это Example 3.H и Problem 3.17(a) из книги Kubrusly C.S. The Elements of Operator Theory

https://www.sci-hub.ru/10.1007/978-0-8176-4998-2

[YuryS]

Внесу некоторые уточнения в формулировки выше, поскольку в них произошла некоторая путаница с обозначениями по сравнению с оригинальными из учебника ( C. Kubrusly, The elements of operator theory, Problem 3.17(a) ).
1) Действительно, $Y = R^{2}(\mathbb{R})$, где под $R^{2}$ можно понимать $L^{2}$.
2) Пусть $X=\left\lbrace x \in Y : \int\limits_{-\infty}^{\infty} | \int\limits_{-\infty}^{t} x(s) ds |^{2} dt < \infty \right\rbrace$.
(Поэтому разрывность в каждой точке (главная цель этой задачи) требуется показать для отображения $F:(X,d_{2}) \to (Y,d_{2})$, где $X$ есть подпространство $Y$.
3) Требуется показать, что если $x_{1}, x_{2} \in X$, то $( x_{1} + x_{2} ) \in X$.
4) Раскрывая квадрат в определении элемента множества $X$, приходим к необходимости показа, что
$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} (\int\limits_{-\infty}^{t} x_{1}(s) ds ) (\int\limits_{-\infty}^{t} x_{2}(s) ds ) < \infty$.
5) Вводя обозначения $f(t) = \int\limits_{-\infty}^{t} x(s) ds$, задача сводится к показу того, что из $\int\limits_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^{2} dt < \infty$ и $\int\limits_{-\infty}^{\infty} |g(t)|^{2} dt < \infty$ следует $\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)g(t) dt < \infty$.

[Combat Zone]

YuryS
Про 1-2 вроде распутались уже. Ну ладно, лишний раз распутаться не повредит.

YuryS в сообщении #1645686 писал(а):

3) Требуется показать, что если $x_{1}, x_{2} \in X$, то $( x_{1} + x_{2} ) \in X$.

Нигде там не требуется это показывать. X ведь рассматривается как подпространство метрического пространства, не линейного. Это другое.
Так что пункт 4-5 тоже отпадает.
Все нужное вводится по определению подпространства $X$.

[YuryS]

Combat Zone в сообщении #1645687 писал(а):

Нигде там не требуется это показывать. X ведь рассматривается как подпространство метрического пространства, не линейного.

Нет, подождите - в учебнике на стр. 173 говорится, что если $e_{\delta}$ и $x_{0}$ принадлежат $X$, то $e_{\delta} + x_{0}$ также принадлежит $X$. А почему это так ?

[drzewo]

Кое-что забавное тут всетаки есть. Я бы только стал формулировать это следующим образом.
Через $G$ обозначим пространство гладких финитных функций $\psi$ на $\mathbb{R}$ таких, что

$$ \int_{\mathbb{R}}\psi(s)ds=0.$$

И вот оказывается, это очевидно после минутного размышления, но сперва удивляет, что $G$ плотно в $L^2(\mathbb{R})$

[Combat Zone]

YuryS в сообщении #1645688 писал(а):

$e_{\delta}$ и $x_{0}$ принадлежат $X$, то $e_{\delta} + x_{0}$ также принадлежит $X$. А почему это так ?

Возьмите эти две функции и проверьте. Неравенство Минковского должно сработать.

[YuryS]

Combat Zone в сообщении #1645697 писал(а):

Возьмите эти две функции и проверьте. Неравенство Минковского должно сработать.

Именно эти две функции или две произвольные функции из множества $X$ ? Я беру две произвольные функции ...
Во-вторых, не вижу где применить неравенство Минковского (для интегралов), поскольку в нем в левой части неравенства под интегралом стоит сумма функций, а у меня (после раскрытия квадрата) стоит под интегралом произведение функций. Поэтому и обращаюсь за помощью ...

[Combat Zone]

YuryS в сообщении #1645702 писал(а):

Именно эти две функции или две произвольные функции из множества $X$ ? Я беру две произвольные функции ...

По большому счету, без разницы.

YuryS в сообщении #1645702 писал(а):

не вижу где применить неравенство Минковского (для интегралов), поскольку в нем в левой части неравенства под интегралом стоит сумма функций, а у меня (после раскрытия квадрата) стоит под интегралом произведение функций.

Так вы не возводите в квадрат. Разбейте внутренний интеграл на сумму двух и сразу же применяйте Минковского.