Кватернионная логика

[Alpha AXP]

Я почти уверен, что это не может быть кубом.

tolstopuz в сообщении #1635541 писал(а):

Видимо, в центре две вершины наложились друг на друга.

Попробуйте это проделать с трехмерным кубом сначала. Думаю это врядли возможно. Куб можно совместить так только с октаэдром.

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1635543 писал(а):

Попробуйте это проделать с трехмерным кубом сначала.

Ну вот же ваш куб нарисован:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0 ... 0%BE%D0%B2

[Alpha AXP]

tolstopuz в сообщении #1635544 писал(а):

Ну вот же ваш куб нарисован:

А, так Вы имели ввиду проекцию? Тогда надо сшивать верхнюю и нижнюю вершины куба.

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1635545 писал(а):

А, так Вы имели ввиду проекцию? Тогда надо сшивать верхнюю и нижнюю вершины куба.

С какой целью?

[Alpha AXP]

tolstopuz в сообщении #1635546 писал(а):

С какой целью?

Чтобы можно было переходить по стрелкам и составлять композиции, заложенные в таблице умножения кватернионов. Иначе это структурой алгебры кватернионов не будет. В приведенном шестиугольнике 6 неэквивалентных треугольников. Каждый из них необходим для того, чтобы реализовать все попарные композиции, заложенные в таблице умножения группы кватернионов. Если не сшить, то грани так и останутся квадратами. А попарные композиции- этр треугольники из морфизмов(стрелок)
По сути шестиугольник из стрелок совпадает с таблицей умножения группы кватернионов. Это геометрическая реализация этой группы. Умножение в таблице двух элементов соответствует композиции этих элементов в структуре шестиугольника. Т.е. умножаемые элементы в таблице умножения - это две стрелки вторая выходит из первой, а результат умножения- третья стрелка, соединяющая начало первой и конец второй. Это и есть композиция двух стрелок. Также как при сложении двух векторов один из которых выходит из конца другого их суммой является третий.

[tolstopuz]

Вот интересная картинка: https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_gr ... terization
Если пойти из любой вершины по красной стрелке, потом по синей, потом по зеленой, будет треугольник. Если нажмете на картинку, там можно водить мышью, чтобы подсвечивать отдельные части.
А вот картинка, где оставили только умножение на $i$ и на $j$: https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion_group

[tolstopuz]

В общем, это оказался не семимерный гиперкуб, а четырехмерный гипероктаэдр: https://en.wikipedia.org/wiki/16-cell
И вот как элементы группы переставляют его вершины: https://groupprops.subwiki.org/wiki/Lin ... ting_field

-- Вс апр 07, 2024 05:48:23 --

Ну или, как я вначале предлагал, огрызок гиперкуба. Так называемый полутессеракт. У тессеракта $16$ вершин в точках $(\pm1, \pm1, \pm1, \pm1)$, берем те, у которых четное число минусов. Или нечетное.

[Alpha AXP]

tolstopuz в сообщении #1635564 писал(а):

В общем, это оказался не семимерный гиперкуб, а четырехмерный гипероктаэдр: https://en.wikipedia.org/wiki/16-cell
И вот как элементы группы переставляют его вершины: https://groupprops.subwiki.org/wiki/Lin ... ting_field

Шестнадцатиячейник не дает полного описания группы кватернионов. Положим каждую из его вершин назоаем элементом группы. Ребра, соединяющие вершины- это композиции соответствующих вершин, только необходимо установить на них стрелки. Каждая вершина чвязана с шестью другими, а это значит, что для нее не определено 2 умножения в таблице: саму на себя, и, допустим, саму на минус себя, если мы вершины с противополоюным знаком расположить друг напротив друга. Т.е. необходимо соединить все противоположные вершины стрелками туда и обратно. А также всем остальным парам вершин добавить по противоположной стрелке, также каждой вершине следует добавить стрелку ведущую в нее же- это умножение на себя. Итого, чтобы на структуре 16-ячейника описать группу $Q_8$, потребуется 24+24+8+8= 64 ребра. Либо необходимо давать интерпретации, что такое произведение вершины самой на себя, самой на себя с противоположным знаком, тогда понадобится 48 ребер.

-- 07.04.2024, 08:41 --

Шестиугольная структура на плоскости требует для полного описания группы кватернионов 24+8=32 ребра и 7 вершин одна центральная из которых является сшитой из вершин 1 и -1 и имеет 12 ребер. Если посчитать сшивку, то получится 34 ребра.

[dgwuqtj]

Alpha AXP в сообщении #1635568 писал(а):

Ребра, соединяющие вершины- это композиции соответствующих вершин,

Правые частные, а не произведения. Причём правых частных из двух вершин $a, b$ можно составить 2 штуки: $a b^{-1}, b a^{-1}$, из них в граф Кэли входит то, которое равно одному из $i, j, k$. И стрелка рисуется в соответствующую сторону.

А противоположные вершины не соединяются, у них частные равны $-1$. Вершины сами с собой тоже не соединяются.

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1635568 писал(а):

Шестиугольная структура на плоскости

Это просто проекция 16-ячейника на плоскость, где две вершины склеились.

[Alpha AXP]

tolstopuz в сообщении #1635581 писал(а):

Это просто проекция 16-ячейника на плоскость, где две вершины склеились.

Сомневаюсь, что это проекция 16 ячеечника.
Я вижу эту диаграммную схему (шестиугольник) как проекцию обычного куба у которого 2 противоположные вершины 1 и -1 склеились. Просто по ребрам этого куба расположено по 2 стрелки в противоположных направлениях. Получается 24 стрелки. Каждая стрелка представима в виде композиции 2-х других стрелок так, как это указано в таблице умножения группы $Q_8$, приведенной ниже диаграммной схемы. Всего в схеме 24 морфизма (стрелки), к ним необходимо добавить 8 автоморфизмов (стрелки которые входят в вершину из которой выходят). Это будет умножением на себя. В центральном объекте(точке) таких автоморфизмов будет 2, т.к. этот объект сшит из двух. Сама сшивка осуществляется с помощью стрелки и обратной к ней, называемой изострелкой . Т.е. сшивка состоит из двух противонаправленных стрелок и является изоморфизмом. Итого полная структура будет описываться 34 морфизмами(стрелками).
В 16-ячейнике каждому ребру будет соответствовать 1 морфизм, а не 2. Также там придется дополнительно вводить 8 автоморфизмов (стрелок, входящих в вершину из которой стрелка вышла), чтобы описать умножение на себя. и 8 изоморфизмов (стрелок, соединяющих противоположные вершины в обе стороны), чтобы описать умножение на себя с минусом. Итого 64 морфизма(стрелки).

-- 07.04.2024, 13:38 --

dgwuqtj в сообщении #1635579 писал(а):

Правые частные, а не произведения. Причём правых частных из двух вершин $a, b$ можно составить 2 штуки: $a b^{-1}, b a^{-1}$, из них в граф Кэли входит то, которое равно одному из $i, j, k$. И стрелка рисуется в соответствующую сторону.

Не знаю в какой терминологии это называется правыми частными, но в диаграммной схеме (предкатегории) можно найти все композиции, которые соответствуют всем парам в таблице умножения группы $Q_8$. Т.е. каждая пара и ее произведение из таблицы умножения отобразится на диаграммной схеме в виде композиции двух морфизмов, также являющегося морфизмом. Это в терминах теории категорий.
Но предупреждаю, что не являюсь специалистом по алгебраической логике и теории категорий т.к. посмотрел по этой теме только вводную лекцию и могу чего-нибудь не того наговорить.

[tolstopuz]

Вы посмотрели кусок лекции по теории категорий и начали не к месту употреблять термины оттуда. Лучше не надо.

Картинка с шестиугольником у вас неправильная, у вас есть пути $\to F\to -F\to$ и $\to T\to -T\to$, которые должны возвращать в ту же вершину, но не возвращают. Стрелки нарисованы не все, непонятно, что будет, если пойти из верхней вершины по стрелке $T$ или по стрелке $U$, они просто не нарисованы. Правильная картинка в Википедии на странице про граф Кэли. На самом деле обратные стрелки с минусом совершенно необязательно рисовать, они и так понятны и только засоряют рисунок. Достаточно понимать, что, двигаясь против направления стрелки, мы умножаем на обратный элемент.

Заметьте один интересный факт: если взять какую-нибудь стрелку, например, $T$, и сдвинуть каждую вершину по этой стрелке, то они не наползут друг на друга, а согласованно сдвинутся, то есть вся структура глобально повернется. Это и есть автоморфизм. Вот на этой картинке, где оставили только стрелки $i$ (красную) и $j$ (зеленую), легко это увидеть:

Вложение:

Cayley_graph_Q8.png

[Alpha AXP]

tolstopuz в сообщении #1635584 писал(а):

Стрелки нарисованы не все, непонятно, что будет, если пойти из верхней вершины по стрелке $T$ или по стрелке $U$, они просто не нарисованы.

В верхнюю вершину можно прийти по стрелке T, далее она обязана либо развернуться обратно по изострелке, либо повернуть к центру по стрелке -U, либо перейти в стрелку F.

tolstopuz в сообщении #1635584 писал(а):

Картинка с шестиугольником у вас неправильная, у вас есть пути $\to F\to -F\to$ и $\to T\to -T\to$, которые должны возвращать в ту же вершину, но не возвращают.

Я ведь не просто так спрашивал о том, можно ли замостить этой структурой плоскость. Стрелки, о которых Вы говорите, по идее должны приводить в эквивалентную точку плоскости, либо в исходную.Если плоскость замостить можно и точка будет эквивалентной, то картинка для плоскости верная. Эквивалентность или неэквивалентность точек можно определить по составу и расположению нетривиальных треугольников вокруг нее. Они пронумерованы в кружках на схеме их 6 и в соответствии с ними пронумерованы умножения в таблице умножения т.к. эти умножения возможны внутри структуры только в соответствующем треугольнике, а не в любом.

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1635586 писал(а):

В верхнюю вершину можно прийти по стрелке T, далее она обязана либо развернуться обратно по изострелке, либо повернуть к центру по стрелке -U, либо перейти в стрелку F.

Вы хотите сказать, что из верхней вершины вообще не выходит стрелка $T$? Нет, так не пойдет, каждый элемент группы действует на каждую вершину. А у вас просто нет пути $\cdots\to T \to T \to\cdots$, вместо замыкания в цикл у вас тупик.

Alpha AXP в сообщении #1635586 писал(а):

Я ведь не просто так спрашивал о том, можно ли замостить этой структурой плоскость. Стрелки, о которых Вы говорите, по идее должны приводить в эквивалентную точку плоскости, либо в исходную.Если плоскость замостить можно и точка будет эквивалентной, то картинка для плоскости верная.

Но тогда у вас неэквивалентных вершин получается даже не $7$, а $5$ (сливаются левая верхняя с правой нижней и правая верхняя с левой нижней), вообще ерунда какая-то.

Я, кстати, придумал замощение плоскости на основе спирали Бурдейка-Кокстера для $16$-ячейника, оно довольно странное, но вроде корректное.

[Alpha AXP]

tolstopuz в сообщении #1635588 писал(а):

Вы хотите сказать, что из верхней вершины вообще не выходит стрелка $T$? Нет, так не пойдет, каждый элемент группы действует на каждую вершину. А у вас просто нет пути $\cdots\to T \to T \to\cdots$, вместо замыкания в цикл у вас тупик.

Не тупик, а рассматриваемая структура так ограничена. Но если замощать плоскость, то стрелка T конечно должна выйти из этой точки также как и вошла туда. Просто цель была выбрать кусок структуры, соответствующий группе кватернионов. Этот кусок содержит все эьементы таблицы умножения.

tolstopuz в сообщении #1635588 писал(а):

Но тогда у вас неэквивалентных вершин получается даже не $7$, а $5$ (сливаются левая верхняя с правой нижней и правая верхняя с левой нижней), вообще ерунда какая-то.

В задаче о раскраске плоскости возможно не менее 5 цветов.

tolstopuz в сообщении #1635588 писал(а):

Я, кстати, придумал замощение плоскости на основе спирали Бурдейка-Кокстера для $16$-ячейника, оно довольно странное, но вроде корректное.

Показывайте, правда со смартфона сегодня заценить скорее всего не получится. Нужен монитор.