2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Каково современное состояние математики
Расцвет 17%  17%  [ 15 ]
Кризис 28%  28%  [ 24 ]
Как всегда 38%  38%  [ 33 ]
Не знаю 16%  16%  [ 14 ]
Всего голосов : 86
 
 
Сообщение29.08.2007, 21:05 
Заблокирован
Аватара пользователя


05/08/07

150
Было бы интересно послушать людей, выбравших расцвет.

 Профиль  
                  
 
 Математика как диалектическая логика
Сообщение10.10.2007, 14:58 


09/10/07
14
Математику нельзя свести воедино

А вот это Вы зря! Единство математического знания состоит в ДИАЛЕКТИКЕ ЛОГИЧЕСКИХ ФОРМ.Понять что множество - диалектический объект оказалось математикам не под силу.Также они не поняли и аналитическую операцию взятия предела как СНЯТИе с ДВИЖЕНИЯ.Но это увидел Маркс в "Математических рукописях"
Занимаясь больше формально процедурными проблемами математики выпустили из внимания содержательно интуитивный смысл математического знания.Именно поэтому путь от натуральной ВЕЛИЧИНЫ до рациональной занял немного но путь от натуральной размерности(непрерывность - представление качества этой размерности!) РАЗМЕРНОСТИ до рациональной занял 2000лет(появление фракталов!)
Величина,размерность - это все видовые формы меры(мера количества,мера связности) Но разве этими видовыми формами мера ограничивается? Значит нужно содержательно определить меру и указать ее видовые формы!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2008, 21:13 


17/10/08

1313
Старая темка, но не важно...

1. Направление развития
Пожалуй, наиболее захватывающей проблемой в математике является задача создание эффективного аппарата «универсального решателя задач». Не менее интересна и важна проблема «постановки» задач.
2. Состояние дел
Состояние дел в этой области неизвестно, т.к. по всей видимости, работы проводятся в секретных правительственных лабораториях (в основном, в США). Есть веские основания считать, что работы также ведутся в «компьютерных» транснациональных корпорациях (тоже, в основном, в США). Ну, и, конечно, этим занимаются любители искусственного интеллекта. Тем не менее, о видимой части этого айсберга я могу рассказать. В основном мои знания касаются задач математического программирования.
3. Класс NP-задач
В данной теме уже обсуждался класс NP-задач. Первоначальная идея создания автоматического решателя широкого класса задач уперлась в огромное количество шагов, которое нужно выполнить для решения задачи. Было установлено, что если научиться «хорошо» решать хотя бы одну задачу из этого класса, то остальные задачи можно свести к этой задаче. Некоторые участники обсуждения совершенно правильно указали на практическую бесполезность данного подхода – универсального алгоритма решения всех задач, по-видимому, нет. Я добавлю еще несколько аргументов к этой критике и опишу, каким образом создаются вполне универсальные решатели.
3.1. «Кодирование»
Представим себе, что в некоторой задаче, признанной NP-полной, 10000 булевых переменных. Специфика задачи такова, что, если зафиксировать некоторые 10 переменных, то получается задача с 9990 булевыми переменными, решаемая за квадратичное время. Здесь «переборная» часть задачи составляет всего 0.1% (10 переменных), а полиномиальная – 99.9%. Если эту задачу свести к другой задаче класса NP, то полиномиальная часть задачи окажется «зашифрованной» алгоритмом преобразования одной задачи к другой. После такого преобразования может оказаться, что окончание времени решения задачи может затянуться до того момента, когда потухнет солнце. Поэтому, за редким исключением, NP-задачи решают в том виде, в котором они возникают на практике и не сводят одну к другой.
3.2. Задачи оптимизации
Еще одна деталь опущена в классификации алгоритмов. На практике многие проблемы преследуют некоторую цель, т.е. являются задачами оптимизации. Получение более точного решения оптимизации связано с материальными затратами (временем, стоимостью оборудования и т.д.). Даже если есть полиномиальный алгоритм решения некоторой задачи, он может оказаться на практике бесполезным. Т.е. «стоимость» решения задачи является неотъемлемой частью при ее постановке. Для NP-класса такой «ничтожной» детали как бы не существует. Вероятно, это случилось из-за того, что задачи «решаются» на машине Тьюринга, а он занимался взломом немецких шифров на флоте во время второй мировой войны. А шифр либо взломан, либо нет.
3.3. Абсурдность классификации алгоритмов
Принадлежность, а тем более доказанность или недоказанность, к классу NP не означает ровным счетом ничего. Как я могу предположить, классификация сложности алгоритмов создавалась с целью получения универсального решателя широкого круга задач. Но эта идея была совершенно опошлена. Некий деятель по имени Джонсон (см. «Вычислительные машины и труднорешаемые задачи») нашел другое применение этой классификации. Он предложил использовать классификацию как метод оправдания для математиков. Якобы, если удастся доказать, что задача относится классу NP, то математик (инженер) при решении практической задачи имеет оправдание, почему он решает задачу плохо (долго и т.д.). В реальности же, важна не столько сама возможность классификация задачи, а знание (или получение/выделение) ее полиномиальной части (см. пример выше), а также снижение степени этого полинома. Поскольку в NP-классификации алгоритмов не важна доля полиномиальной части задачи, то сама классификация давно вступила в противоречие с практикой и здравым смыслом, превратившись в тормоз в развитии математики.
3.4. Неадекватность математических моделей реальности.
В большинстве практических задач имеет место неопределенность. К примеру, в задаче развозки товаров по магазинам (она как бы сводится к задаче о коммивояжере), может возникнуть множество проблем. В современных условиях – это пробки на дорогах, которые могут возникнуть то тут, то там. В реальности нужен не «оптимальный» маршрут, а рекомендации по объезду магазинов. Математически - это функция, которая дает «следующий» магазин в зависимости от конкретной ситуации на дорогах. Поэтому, если вопрос P=NP будет разрешен, благоденствия все равно не наступит.
4. Программирование в ограничениях.
На основе идеи частичной «полиномизации» возникло направление «программирование в ограничениях». Решатели таких систем имеют в своем составе системы перебора (ветвления) и множество алгоритмов, которые за полиномиальное время (и ресурсы) экспоненциально снижают пространство поиска. Задача формулируется в декларативной форме, а система уже самостоятельно подбирает схему ветвления и подходящие алгоритмы сокращения пространства поиска. Для облегчения формулирования задач используют специализированные языки (например, AMPL, коммерческие OPL, Mozec, NP-язык). Исследования в области программирования в ограничениях сосредоточены на увеличении доли полиномиальности для широкого круга задач.
5. Перспективы
Однажды я задался вопросом, а можно ли автоматизировать то, что делается «вручную» математиками в программировании в ограничениях. Для изучения вопроса рассматривал только задачи, которые (хотя бы гипотетически) можно решить перебором. Исходными данными было множество задач. По этим исходным данным нужно было автоматически «подбирать» решатель (алгоритм), с помощью которого эти задачи можно была эффективно решать. Идея состоит в том, что после обучения, решатель можно будет использовать для решения широкого круга проблем. На мой взгляд, это гораздо ближе к жизни, чем потуги по разрешению проблемы (NP=P). Кто пытался исследовать подобные задачи, наверняка знает, что у математики еще все впереди.
Основной акцент в науке в последние десятилетия переместился от физики к «науке о живом»: генетике, эволюции и т.п. Математикам не дурно бы плотно работать со специалистами этих областей. Уверен что новые удивительные математические открытия ждут нас в этой области. В том числе и отгадка природы интеллекта. В общем, ждем новостей от американцев. Надеюсь, это будет не в виде роботов-убийц...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2008, 00:52 


18/10/08
622
Сибирь
dmd писал(а):
Думаю, что нужен глубокий пересмотр, после которого всплывут новые подходы и будут новые результаты, и будет разбито множество шаблонов, не осознаваемых сейчас.


Кроме того, в современной математике произошла утеря математического смысла. Так что - упадок сейчас.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2008, 10:51 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Инт писал(а):
Кроме того, в современной математике произошла утеря математического смысла. Так что - упадок сейчас.

Подозреваю, что в современной математике произошла еще и утеря смысла термина "утеря смысла". Так что наблюдается не просто упадок, а прям метаупадок какой-то. :-)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2008, 11:46 


18/10/08
622
Сибирь
AGu писал(а):
Подозреваю, что в современной математике произошла еще и утеря смысла термина "утеря смысла". Так что наблюдается не просто упадок, а прям метаупадок какой-то.

Именно. Исследование того, что должно быть на самом деле, заменено на условное соглашение. Место реальной логики заняли аффекты. Рабочее обсуждение гипотез заменено на стремление задавить конкурента любым путём. Стремление к истине земенено на стремление к власти в интеллектуальной сфере и к власти в научной жизни. Отсюда и потеря смысла. Всё это можно уничтожить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2008, 12:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Котофеич в сообщении #34765 писал(а):
Переводы делались в основном чтоб заработать.

Перебирая старые бумажки, не раз натыкался на извещение о почтовом переводе от издательства "Мир" за перевод с английского монографии Гретцера "Теория решёток". Если означенную в этом бланке сумму умножить на 6 (я переводил последнюю главу), то сумма выйдет очень внушительная. :lol1:
Помнится я это извещение не выбросил. Отсканировать что ли да выложить?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.12.2008, 22:31 


02/09/08
143
Сейчас идет расцвет прикладной математики и относительное затишье в теоретической математике.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.12.2008, 23:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
ha в сообщении #165171 писал(а):
Сейчас идет расцвет прикладной математики и относительное затишье в теоретической математике.

Вот интересно было бы узнать, сколько среди 'застойников' есть профессиональных математиков. Боюсь, что в этом опросе проявляется частое в России явление: желание
судить о неведомом и непонятом.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.12.2008, 20:25 


06/12/08
115
Не берусь судить о всей математике, но о ее разделе «Теория чисел» могу определенно отдать свой голос за слово «кризис». Иначе чем можно обьяснить то, что современная Теория чисел не знает и не желает знать о фундаментальных, основополагающих свойствах чисел, которые наверняка знал П. Ферма и это знание называл «Наука о целых числах, которая несомненно является самой красивой и изящной» (слова Ферма).
Вот они эти свойства:
1). Сумма квадратов a2+b2.
Произведение двух или более сумм квадратов всегда равна сумме квадратов, поэтому сумма квадратов может быть равна квадрату, кубу, 4-ой степени и вообще любой степени до бесконечности. И можно построить точные формулы вычисления таких an и bn , что an2+bn2=cn.
2)Сумма квадратов с коэффициентом k: a2+kb2; ka2+b2; ka2+kb2.
Произведение этих чисел также всегда равно числам такого же вида, поэтому они также могут быть равны квадрату, кубу, 4-ой и т.д. степени. И можно построить формулы вычисления таких an и bn , что an2+kbn2=cn; или kan2+bn2=cn.
3) Числа a2-ab+b2.
Произведение этих чисел также равно числам только такого вида, поэтому они могут быть квадратами, кубами, 4-ой и т.д. И можно построить формулы вычисления an bn , при которых трехчлен равен степени.
4). Или вот еще. При n= нечетному числу
an+bn= (a+b)(an-1-an-2b+….+bn-1). Это известно с древнейших времен. Но современная теория чисел не знает и не желает знать, что сомножители справа являются ВЗАИМНО ПРОСТЫМИ числами по любому простому числу р, кроме р=n.(a и b взаимно простые).
5) Используя упомянутые свойства удалось доказать последнюю теорему Ферма о том, что равенство x2+2=y3 имеет единственное целочисленное решение 52+2=33. Об этой теореме Эдвардс писал, что «..не видно никакого естественного пути, чтобы можно было ее доказать.»
6). Используя свойства 3), 4) можно построить доказательство ВТФ для n=3, а затем легко перейти к любому n.
7). Используя свойства 1), 2) можно решить задачу Ферма о вычислении целочисленных прямоугольников с заданной разностью между катетами.
8). ВТФ можно усилить и достичь доказательства того, что an+bn не только не равно сn , но не может быть равно вообще ни какой степени.
И все это не интересует современную теорию чисел.


 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.12.2008, 20:46 
Аватара пользователя


25/03/08
241
To Petern1: Ну по крайней мере пункт 1) известен ещё со VI века н.э., смотрите:
Brahmagupta–Fibonacci identity

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.12.2008, 13:49 


06/12/08
115
Уважаемый Nilenbert. Благодарю Вас за ценную падсказку. Удивлен и восхищен Вами . Но пойдем дальше и заметим, что у Брахмагупты нет следствий о том, что сумма квадратов может быть равна квадрату, что известно от Пифагора, кубу, 4-ой, 5-ой и т. д. степени, и, конечно у него нет формул вычисления таких a и b, сумма квадратов которых равна желаемой степени. Можно предполагать, что Брахмагупта этого не знал. А знает ли это современная Теория чисел? В той литературе, которая мне встречалась, этого нет. Если Вас не затруднит еще раз подскажите.
С уважением Петр.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.12.2008, 15:30 


09/06/06
367
ha в сообщении #165171 писал(а):
Сейчас идет расцвет прикладной математики

Я бы выразился так : не расцвет , а попытки управлять производством и сферой услуг с помощью точных наук (иногда довольно успешные ).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.12.2008, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Petern1 в сообщении #166694 писал(а):
Но пойдем дальше и заметим, что у Брахмагупты нет следствий о том, что сумма квадратов может быть равна квадрату, что известно от Пифагора, кубу, 4-ой, 5-ой и т. д. степени, и, конечно у него нет формул вычисления таких a и b, сумма квадратов которых равна желаемой степени. Можно предполагать, что Брахмагупта этого не знал. А знает ли это современная Теория чисел? В той литературе, которая мне встречалась, этого нет.


Б.А.Кордемский. Математическая смекалка. Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва, 1957.

Книга предназначена для школьников. В параграфе 366, который называется "Пифагоровы числа", описывается способ построения (при заданном натуральном $n$) троек натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению $x^2+y^2=z^n$.

Исправил ошибочную ссылку.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.12.2008, 17:57 
Аватара пользователя


25/03/08
241
To Someone: Поправьте пожалуйста цитату, это не я говорил :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group