2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение Пуассона в круге
Сообщение13.04.2006, 09:45 


26/09/05
530
Добрый день.Не подскажите как найти решение уравнения Пуассона в круге в виде ряда.
Вот само уравнение:

$\Delta u +m(x)=0$,где $\Delta$ - оператор Лапласа.
Граничные условия: $u=const$ на границе,т.е. при r=R

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 10:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
По какой книжке учитесь? Какая книжка есть??

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 10:25 


26/09/05
530
А имеет значение по какой книжке учимся?
Я никак и нигде не могу найти решение этого уравнение в виде ряда в круге.Есть решение в виде интеграла,но это не то:
delta(u)+m(x)=0

Есть книжка Тихонов,Самарский в электронном виде.
Решение этого уравнения складывается из однородной и неоднородной составляющих.
Однородную составляющую найти просто:это решение уравнения Лапласа.А вот с неоднородностью ничего не понятною

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 11:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
А тогда я буду знать, по какой книжке указания давать.
И буду опираться на Ваши знания.

Что Вас больше устраивает:
сложные интегральные формулы или ряд по функциям Бесселя??

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 15:06 


26/09/05
530
Мне бы надо представить решение в виде ряда.
А через интеграл у меня есть ответ:
http://slil.ru/22679983/633686801/1020.gif

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 15:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Хорошо. откройте Тихонова, на стр, 431.Там строится система собственных функций для оператора Лапласа с нулевыми граничными условиями.
Они написаны на стр 434, формула 35.

После этого ищите ваше решение в форме ряда
$u(r,\phi)=\sum _n\sum_m (c_{nm}\bar{v}_{nm}+c'_{nm}\bar{\bar{v}}_{nm})$
с неизвестными коэффициентами
$(c_{nm}, c'_{nm}$.
Подствьте в уравнение. Умножьте на одну из собственных функций
и проинтегрируйте по кругу. Из-за ортогональности останется из всего огромного ряда только одно слагаемое, и из него определите коэффициент.

Все это делается после того, как вы сделали граничные условия Вашей задачи нулевыми, вычтя константу/

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 17:08 


26/09/05
530
Для начала:когда мне перейти к замене x=r*cos(phi),y=r*sin(phi).Ведь область - это круг.Поэтому,надо перейти к полярным координатам.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
правильно, давайте.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 17:37 


26/09/05
530
А крайняя формула на стр.435 и коэффициенты на стр.436 это не то,что мне надо?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Не совсем, но близко. Эти формулы Вы примените для правой части, которая дана, но ведь Вам нужно еще уравнение решить. Прочитайте еще раз мои указания.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.04.2006, 05:39 


26/09/05
530
Т.е.
1)u(r,phi) в форме ряда (который Вы написали) мне надо подставить в такое уравнение
http://slil.ru/22681701/982903964/1.GIF
(так находится оператор Лапласа в полярных координатах)с собственными функциями на стр.434 формула (35).
2)А когда домножать на одну из собственных функций (которые на стр.434 формула 35)?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.04.2006, 09:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
То. что Вы написали, это не уравнение а только его левая часть. Еще правая есть. Да, в эту левую часть нужно подставить предполагаемо решение в форме ряда. упростить, пользуясь уравнением для собственных функций, первым уравнением на стр. 431.
В качестве $\lambda$ подставлять его конкретные значения из последний формулы на стр 433. потом умножать.потом интегрировать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.04.2006, 09:46 


26/09/05
530
Вы под правой частью имеете ввиду функцию m(x)?
В чём я думаю будет сложность:в функциях Бесселя.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.04.2006, 09:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Falex писал(а):
Вы под правой частью имеете ввиду функцию m(x)?
В чём я думаю будет сложность:в функциях Бесселя.

А что еще в Вашем уравнении справа стоит?? какая сложность???

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.04.2006, 09:59 


26/09/05
530
Больше ничего не стоит :)
Сегодня попробую сделать первый этап:подставить тот самый ряд в левую часть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group