Математическая олимпиада Канады 2000/4

[Mirage_Pick]

Пусть $ABCD \;-$ выпуклый четырехугольник, $\angle CBD = 2\angle ADB, \angle ABD = 2\angle CDB$ и $AB = CB.$ Доказать, что $AD = CD$.

[Dendr]

Проведем диагональ $BD$ и рассмотрим два полученных треугольника, обозначив $\alpha=\angle{ADB}, \beta=\angle{CBD}$, тогда из теоремы синусов для обоих и равенства $AB=BC$ получим

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{(\pi-\alpha-2\beta)}}=\frac{\sin{\beta}}{\sin{(\pi-2\alpha-\beta)}}$$

Аккуратно все расписав, получаем довольно простое уравнение, из которого следует, что либо $\sin{\beta}=\pm\sin{\alpha}$, либо $\alpha+\beta={\pi\over2}$.
Второй случай означает, что $\angle{ABC}$ - развернутый, первый - либо аналогичное про $\angle{ADC}$, либо равенство треугольников-половинок четырехугольника.

Это точно олимпиада?

[Mirage_Pick]

Dendr в сообщении #1584067 писал(а):

Второй случай означает, что $\angle{ABC}$ - развернутый

Из развернутости этого угла ничего не следует. Ну да, четырехугольник вырождается в треугольник, вершина $B \; -$ середина стороны $AC$ по условию. И что?

Dendr в сообщении #1584067 писал(а):

первый - либо аналогичное про $\angle{ADC}$

Здесь то же самое. Ну да, треугольник равнобедренный. И что? Это не означает, что $D$ обязательно лежит на медиане.

Dendr в сообщении #1584067 писал(а):

обозначив $\alpha=\angle{ADB}, \beta=\angle{CBD}$,

По-моему, тут что-то другое имелось ввиду. С такими обозначениями уравнение выше не верно.

[EUgeneUS]

Нужно посчитать $\angle BAD$ двумя способами:
1. С учетом, что $\triangle ABC$ равнобедренный.
2. И из $\triangle ABD$

Тогда получится $ 3 \beta = \beta + 2 \alpha$, откуда $\alpha=\beta$

[Mirage_Pick]

EUgeneUS в сообщении #1584080 писал(а):

1. С учетом, что $\triangle ABC$ равнобедренный.

То есть, предварительно найти $\angle BAC$? Но как потом найти $\angle CAD$?

И кто такие $\alpha$ и $\beta \;-$ скажите, пожалуйста

[EUgeneUS]

Mirage_Pick в сообщении #1584081 писал(а):

То есть, предварительно найти $\angle BAC$? Но как потом найти $\angle CAD$?

В промежутке надо найти углы при диагоналях.

Mirage_Pick в сообщении #1584081 писал(а):

И кто такие $\alpha$ и $\beta \;-$ скажите, пожалуйста

$\angle CBD = \alpha$
$\angle ABD = \beta$

[Mirage_Pick]

EUgeneUS в сообщении #1584080 писал(а):

Тогда получится $ 3 \beta = \beta + 2 \alpha$, откуда $\alpha=\beta$

Вам удалось вывести это, манипулируя только углами? Это удивительно, потому что исходная конфигурация задачи такая минималистичная, что все, до чего могут добраться руки, уже дано в условии. Максимум, что можно выудить - соотношение между синусами. Но тогда надо разобраться с "граничными" случаями, которые я отметил выше.

[EUgeneUS]

Mirage_Pick в сообщении #1584095 писал(а):

Вам удалось вывести это, манипулируя только углами?

Да.

[Mirage_Pick]

EUgeneUS, перепроверьте вычисления.

[EUgeneUS]

Mirage_Pick
С чего бы?
Может быть Вы уже свой вариант предоставите? А то гложут смутные сомнения в его наличии.

[Mirage_Pick]

EUgeneUS, с чего бы мне представлять решение в олимпиадном разделе? Так вся интрига пропадет. Это участники должны давать попытки своего решения. Классическое решение я отправлю модератору, если потребуется.

-- 03.03.2023, 17:00 --

EUgeneUS в сообщении #1584113 писал(а):

С чего бы?

Уже писал выше. Попытки каким-либо образом выразить одни углы через другие бесперспективны, поскольку углы, заданные в условии, ни имеют друг к другу никакого отношения. По факту кроме равенства двух сторон тут ничего нет. Если бы предлагаемый вами подход в принципе был бы возможен, то добрая половина задач олимпиадной геометрии с равнобедренными треугольниками решались бы тривиальным образом.

Проверьте, не вкралась ли в рассуждениях неявная отсылка к симметрии или "половинкам", как у первого ответившего. Это не так уж и трудно сделать для такой "негромоздкой" задачи.

[wrest]

Mirage_Pick в сообщении #1584119 писал(а):

По факту кроме равенства двух сторон тут ничего нет.

Ну не совсем так. Описанная вокруг треугольника $ACD$ окружность имеет радиус $AB$, например

[Mirage_Pick]

wrest в сообщении #1584125 писал(а):

Ну не совсем так. Описанная вокруг треугольника $ACD$ окружность имеет радиус $AB$,

?! Ничего подобного. Что происходит с форумчанами?

[EUgeneUS]

Mirage_Pick в сообщении #1584119 писал(а):

Классическое решение я отправлю модератору, если потребуется.

"Классическое"? То есть не Ваше?

Mirage_Pick в сообщении #1584119 писал(а):

Уже писал выше. Попытки каким-либо образом выразить одни углы через другие бесперспективны, поскольку углы, заданные в условии, ни имеют друг к другу никакого отношения.

Да ладно.

Mirage_Pick в сообщении #1584119 писал(а):

Если бы предлагаемый вами подход в принципе был бы возможен, то добрая половина задач олимпиадной геометрии с равнобедренными треугольниками решались бы тривиальным образом.

Да ладно.

Mirage_Pick в сообщении #1584119 писал(а):

Проверьте, не вкралась ли в рассуждениях неявная отсылка к симметрии или "половинкам", как у первого ответившего. Это не так уж и трудно сделать для такой "негромоздкой" задачи.

Проверил, ничего там нет, кроме арифметики, примененной к углам.
Я же Вам почти по пунктам всё написал. Почему у Вас возникли проблемы с повторением решения?

[wrest]

Mirage_Pick в сообщении #1584127 писал(а):

?! Ничего подобного. Что происходит с форумчанами?

Смотрите. Из

Mirage_Pick в сообщении #1584059 писал(а):

к, $\angle CBD = 2\angle ADB, \angle ABD = 2\angle CDB$

Получаем (складываем равенства)
$\angle CBD + \angle ABD = 2\angle CDB + 2\angle ADB$
В левой части у нас $\angle CBD + \angle ABD = \angle ABC$
В правой части у нас $2(\angle CDB + \angle ADB)=2\angle CDA$
Таким образом, $\angle B = 2 \angle D$
Ну собсно отсюда и следует что

wrest в сообщении #1584125 писал(а):

Описанная вокруг треугольника $ACD$ окружность имеет радиус $AB$

Нужно ли и как это дальше использовать я не придумал, просто заметил факт.
А... я понял что вас смутило. Я неточно написал. Я имел в виду, что длина радиуса описанной вокруг треугольника $ACD$ окружности равна длине отрезка $AB$, а не то, что $AB$ является радиусом