Помогите с вопросом. Математика как инструмент для физики

[SamirSkripka]

vpb в сообщении #1566063 писал(а):

лучший учебник по алгебре --- Мордкович и Николаев, Алгебра 7--9, для профильного уровня (плюс задачники к нему). По-видимому, это вообще единственный учебник, который можно изучать самостоятельно. Остальные так или иначе требуют учителя.

Спасибо огромное за совет) все таки наверно я и правда выберу Мордковича профильный уровень, я глянул его учебники и теория в них довольно понятна, плюс ещё задачник к теории.
Пожалуй возьму учебники за 7-9 класс, а за 10 и 11 тоже брать Мордковича? Или можно взять допустим какой нибудь другой учебник по алгебре и началам анализа 10-11 классы

Ещё бы хотел спросить, а вы тоже обучались по Мордковичу?) Если да то до какого уровня дошли? Это я так ради интереса спрашиваю.

Цитата:

По геометрии лучший --- Атанасян. А также опять-таки Киселев (во всяком случае у меня после чтения Киселева, причем уже в весьма зрелом возрасте, сильно поменялось восприятие того, "а что такое геометрия ?". Из всех книжек, которые Киселев писал (а он писал учебники и по арифметике и даже по физике), учебник геометрии считается лучшей. ).

А вот тут я никак не могу определиться, брать или Атанасяна или Киселева, вроде в Атанасяне больше материала чем в Киселеве, а это как по мне плюс, а Киселев вроде бы более простой.

[Mihr]

(EUgeneUS)

EUgeneUS, к Вашим словам можно привести ряд возражений либо уточнений. Если интересно, откройте собственную тему, там поговорим. А здесь развивать оффтоп не хочется.

[EUgeneUS]

Mihr

(Оффтоп)

Пока не вижу офф-топика ни в моих постах, ни в дискуссии с Вами.
Разве что, кроме собственно вопроса - а не является ли это офф-топиком.

Если Вы считаете, что уточнения и-или возражения будут полезны ТС, то не вижу причин, чтобы их не опубликовать в этой теме.
Если же Вы считаете, что уточнения и-или возражения будут индифферентны потребностям ТС, то можно продолжить дискуссию в ЛС.

[Mental]

EUgeneUS

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1566087 писал(а):

Пока не вижу офф-топика ни в моих постах, ни в дискуссии с Вами.
Разве что, кроме собственно вопроса - а не является ли это офф-топиком.

Вы уже весь форум своим флудом заполонили. Уровень вашего дискурса: трава - зеленая, снег - белый, когда приходит весна из-за воздействия температуры он тает.

[мат-ламер]

vpb в сообщении #1566063 писал(а):

А всякие заковыристые задачи про целые числа будущему физику, почти наверняка, бесполезны.

Теоретически да. А вот практически? Чтобы поступить в хороший ВУЗ, наверняка надо иметь какие-то успехи в олимпиадах. Вот открыл первую попавшуюся олимпиаду (у себя на компе). Олимпиада по математике "Покори Воробьёвы горы - 2016". Задача 1. "Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие уравнению $x^3+2y^2=2016$" . В ЕГЭ (математика профиль) в последней задаче бывает, что требуются знания по элементарной теории чисел. Конечно, заковыристые теории вряд ли надо знать. Но что-то элементарное, типа кольцо классов вычетов, может и надо знать для общего развития (хотя в школьных учебниках этого нет). Топик-стартер учится в Германии. И какая там обстановка с этим делом, я не в курсе. Тут надо смотреть конкретно.

[GAA]

EUgeneUS в сообщении #1566065 писал(а):

Далее - понятия о криволинейных и поверхностных интегралах, начала векторного анализа (понятия градиента, ротора, дивиргенции), без этого темы про электричество будут выхолощены.

Тут что-то неожиданное. В СССР на ФФ раздел «Электричество и магнетизм» (условный третий том курса «Общей физики» Сивухина) из курса «Общей физики» был вроде бы в третьем семестре (осенний семестр второго курса). (Это было пятилетнее образование.) Позже вроде раздел «Электричество и магнетизм» объединяли с «Электродинамикой» и эта дисциплина была на втором курсе, см., например, сообщение DimaM. Правда в разных университетах по-разному, но я слышал в 3 семестре, не раньше. Криволинейные, поверхностные интегралы и элементы теории поля изучаются на ФФ во втором семестре при двухсеместровом курсе «Дифференциального и интегрального исчисления» / «Основ математического анализа». Т.е. ротор, дивергенция, градитент уже математики изложили.

В школе курс электричества вводный. Он должен быть связан с экспериментом, а в эксперименте, как правило, работают интегральные законы электродинамики, так что дивергенция и ротор в школе как бы и не очень нужны, а если не так, то примеры хотелось бы увидеть. Если же серьёзней копнуть, то дивергенцией, ротором и лапласианом не обойтись: потянется УМФ и другие математические дисциплины (смотря куда копать).

EUgeneUS в сообщении #1566065 писал(а):

Весьма полезно представлять, что лежит математически под выражениям вида "первый порядок малости" и помнить (и знать откуда берутся)

Это тема бесконечно малые функции и сравнение бесконечно малых функций из раздела типа «Предел и непрерывность» (там даже эквивалентности и «О-символику» вводят: «O-большим» и «o-малым»), т.е. до Производных. Хотя иногда и в теме производные (иногда и такое бывает). Видимо, чтобы быстрее изложить эти вещи, да и (однократные) интегралы прочесть, в первом семестре после сокращения часов на построение действительных чисел и введение элементарных функций времени не осталось.

В «духе» школьных действительных чисел, действительные числа вводятся в книге Ильин, Позняк «Основы математического анализа», Т.1. Там же можно найти и введение элементарных функций. Иначе получается, что в школе нет времени, и в вузе нет времени. Пользы физикам от этих тем никакого, поэтому я и просил уточнить по программе, что в Германии при поступлении в университет знать надо.
Если есть читавшие / проводившие семинарские занятия или слушавшие не позже 25 лет назад эти темы на первом курсе ФФ или технической специальности в Мат. анализе, то напишите, очень интересно.

Если к моменту изучения электричества элементы теории поля вроде как пройдены, то вот вводный курс «Механики» начинает читаться параллельно с «Математическим анализом» с первого семестра.
И в курсе «Механики» встречаются и объёмные, криволинейные, поверхностные интегралы (массы, центры тяжести, моменты,…). А в курсе анализа эти темы, как правило, во втором семестре. Но на семинарских занятиях в университете обычно используется симметрия и, как правило, двойные и тройные интегралы быстро, правда без строгих обоснований, сводятся к однократным. Аналогично на школьных олимпиадах. Ну и на форуме в ПРР (Ф) и ПРР (М) такие темы постоянно возникают, например «Задача о нахождении среднего значения 1/r». Можно, конечно, там было говорить о поверхностном интеграле первого рода и даже в сферическую систему координат перейти, но можно, учитывая симметрию, обойтись однократным интегралом, а при большом желании даже обосновать.

В связи с этим меня заинтересовало изложение интегралов в школе. В книге
Мордкович А.Г., Семёнов П.В. Алгебра и начала математического анализа 11 класс. Ч.1 Учебник для общеобразовательных организаций (базовый и углублённый уровень) — М.: Мнемозина, 2014
есть глава 4 «Первообразная и интеграл», а в ней §21 «Определённый интеграл».
Вначале на интуитивном уровне вводится понятие площади криволинейной трапеции. Затем даётся понятие определённого интеграла, по сути, без чёткой формулировки понятия интегральной суммы. Там вообще создаётся видимость предела числовой последовательности.

В книге
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Учебник для учащихся общеобразоват. организаций (углублённый уровень) — М.: Мнемозина, 2009
в гл. 1 §3 вводится понятие квадрируемой фигуры (!), но дальше даётся определение определённого интеграла через разность первообразных, но зато даются приложения (вычисление объёмов некоторых тел).

В книге
Виленкин Н.Я. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник для учащихся общеобразоват. организаций (углублённый уровень) — М.: Мнемозина, 2009 (18 изд., стер.)
в гл. 6, §1 даётся определение длины дуги окружности

Цитата:

Длиной дуги $AB$ называется число $l$, разделяющее множество $X$ длин вписанных в эту дугу ломанных и множество $Y$ длин описанных вокруг неё ломанных.

Непонятно, почему нельзя определить длину как точную верхнюю грань длин вписанных ломанных, если она существует. Что даёт определение из этого учебника? Или они эквивалентны?

Далее доказывается, рассматривая вписанные и описанные ломанные, что дуга окружности имеет длину. Я не уверен, но разве исторически подсчитывали длины вписанных и описанных ломанных не для того ли, чтобы получить двустороннюю оценку для $\pi$? В книге эта оценка как раз не приводится.

К слову, в гл. 4, в упражнении 372 Вычислить пределы:
3)* $\lim_{x \to 0} \left(\sqrt {x^2+1} - \sqrt{x^2-1} \right)$, пользуясь равенством $a-b = \frac {a^2-b^2}{a+b}.$
Зачем пользоваться равенством непонятно. Ответ сразу: $1-i$.
Заглянул в ответы, а там 0. Значит опечатка. Если слегка подправить
$\lim_{x \to 0} \left(\sqrt {1+x^2} - \sqrt{1-x^2}\right),$
то получим 0. Только зачем использовать равенство, если нет неопределённоcти? Непрерывность же!

Upd Дошло! $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt {x^2+1} - \sqrt{x^2-1} \right)$

Вложение:

Комментарий к файлу: Скрин из книги Виленкин Алгебра и начала математического анализ, 10 класс
lim.PNG [8.92 Кб]
Скачиваний: 0

[SamirSkripka]

Цитата:

Теоретически да. А вот практически? Чтобы поступить в хороший ВУЗ, наверняка надо иметь какие-то успехи в олимпиадах.

А без этого чтоли никак?

Цитата:

Олимпиада по математике "Покори Воробьёвы горы - 2016". Задача 1. "Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие уравнению $x^3+2y^2=2016$"

Такие задачки я решать пока что не умею, но хотел бы научится, мне не нравятся олимпиадные задачи которые составлены очень поверхностно, в основном это текстовые задачи, вот пример:

[Марсиане делят сутки
на 13 часов. После того, как Марсовский Заяц уронил часы в чай, у них
изменилась скорость вращения секундной стрелки, а скорость враще-
ния других стрелок осталась прежней. Известно, что каждую полночь
все три стрелки совпадают. Сколько всего за сутки может быть таких
моментов времени, когда три стрелки совпадут? Найдите все возмож-
ные ответы.]

Сказано что часы упали в чай и поменяли скорость вращения секундных стрелок, но поменялись они то на сколько? Уменьшилась ли скорость или увеличилась? Такие задачи меня пугают и мне не понятны и я не уверен что вообще когда либо станут понятными, ну если я конечно не буду очень долго тренироваться, но мне кажется без подготовки с учителем я не смогу выйти на такой уровень. Но не текстовые задачи с делимостью и всем таким я ещё могу представить как решать, но пока что теорию чисел я знаю очень поверхностно.

Вообще я бы хотел попытаться выйти на такой уровень но без учителя как по мне это сделать никак нельзя, а если можно то как?

Я не преследую цель стать каким-то математическим гением с железной логикой, я хочу просто пользоваться математикой как инструментом, с помощью которого можно описать то или иное явление/движение и что-то типо такого. И я думаю просто учится по учебникам и решать все задачи с них углубляясь в теорию будет достаточно для того что-бы пользоваться математическим аппаратом на среднем уровне (пока в рамках средней школы, не высшей математики).

Я хочу научится больше решать физические задачи с олимпиад нежели математические, олимпиадные математические задачи (текстовые) мне не нравятся, так-как тебе дают то не знаю что и из этого не знаю что найди то не знаю что и докажите это и ещё найдите все возможные варианты, возможно я тупой(хотя скорее всего так и есть) но текстовые математические задачи с олимпиад как по мне очень поверхностные и этим они меня отталкивают, а вот не текстовые задачи они ещё более менее нормальные как по мне. А вообще мои знания в математике сейчас на уровне 7 класса, а я уже разогнался на олимпиадные задачи.

Цитата:

В ЕГЭ (математика профиль) в последней задаче бывает, что требуются знания по элементарной теории чисел. Конечно, заковыристые теории вряд ли надо знать. Но что-то элементарное, типа кольцо классов вычетов, может и надо знать для общего развития.

А с какого класса примерно можно начать изучать теорию чисел? И как можно научится доказывать разные математические теоремы?

[мат-ламер]

SamirSkripka в сообщении #1566096 писал(а):

А без этого чтоли никак?

Тут надо смотреть конкретно (я уже писал об этом). Смотря в какой ВУЗ вы собираетесь поступать. Возможно в вашей Германии вы так и так поступите, но, допустим, с олимпиадными успехами будете учиться бесплатно. Изучайте обстановку там, где будете поступать. Я тут ссылку выкладывал. Одна способная девушка очень интересовалась математикой, участвовала в всероссийских олимпиадах, но победителем не была. Когда пришло время поступать (матфак ВШЭ), оказалось, что ей не хватило баллов, которые она могла получить в более простых олимпиадах (типа "Высшая проба"), про которые она не знала. В итоге поступила, но не на бюджет, а на платное обучение.

-- Вт окт 04, 2022 21:30:44 --

SamirSkripka в сообщении #1566096 писал(а):

А с какого класса примерно можно начать изучать теорию чисел?

Спивак А.В. преподаёт на малом мехмате теорию чисел детям, начиная с шестого класса. Но там у него очень талантливые дети собираются. Можете скачать примерно такую книгу и просто пролистать для ознакомления. И не факт, что её вам надо изучать.

[SamirSkripka]

Цитата:

Тут надо смотреть конкретно (я уже писал об этом). Смотря в какой ВУЗ вы собираетесь поступать. Возможно в вашей Германии вы так и так поступите, но, допустим, с олимпиадными успехами будете учиться бесплатно. Изучайте обстановку там, где будете поступать. Я тут ссылку выкладывал. Одна способная девушка очень интересовалась математикой, участвовала в всероссийских олимпиадах, но победителем не была. Когда пришло время поступать (матфак ВШЭ), оказалось, что ей не хватило баллов, которые она могла получить в более простых олимпиадах (типа "Высшая проба"), про которые она не знала. В итоге поступила, но не на бюджет, а на платное обучение.

А если я хочу поступить на физфак? Достаточно ли мне просто изучать углубленно курс средней школы по алгебре? И изучать углубленно физику но без участия в олимпиадах? Хотя я буду стараться уметь решать олимпиадные задачи по физике, но самостоятельно, записыватся на кружки у меня нет возможности.

[мат-ламер]

SamirSkripka в сообщении #1566096 писал(а):

Такие задачи меня пугают и мне не понятны и я не уверен что вообще когда либо станут понятными, ну если я конечно не буду очень долго тренироваться, но мне кажется без подготовки с учителем я не смогу выйти на такой уровень.

Такими задачами если и заниматься, то чисто для приобретения психологической уверенности, чтобы не бояться сложных задач, для приобретения каких-то общих навыков решения сложных задач. Например такой навык есть - как сложную задачу разбить на несколько простых, возможно переформулировав их простым языком. Но не факт, что это вам сильно надо. Может лучше потратить время на что-то другое.

-- Вт окт 04, 2022 21:42:11 --

SamirSkripka в сообщении #1566098 писал(а):

А если я хочу поступить на физфак?

Физфак физфаку рознь. В Москву в Физтех на факультет общей и прикладной физики поступить сложно. И учиться, думаю, тоже. Но физики вам более подробно расскажут.

-- Вт окт 04, 2022 21:46:01 --

SamirSkripka в сообщении #1566098 писал(а):

Достаточно ли мне просто изучать углубленно курс средней школы по алгебре?

В физике не только алгебра используется. Может в старших классах обратите внимание на книгу Зельдовича и Яглома "Высшая математика для начинающих физиков и техников".

[SamirSkripka]

мат-ламер в сообщении #1566099 писал(а):

SamirSkripka в сообщении #1566096 писал(а):

Такие задачи меня пугают и мне не понятны и я не уверен что вообще когда либо станут понятными, ну если я конечно не буду очень долго тренироваться, но мне кажется без подготовки с учителем я не смогу выйти на такой уровень.

Такими задачами если и заниматься, то чисто для приобретения психологической уверенности, чтобы не бояться сложных задач, для приобретения каких-то общих навыков решения сложных задач. Например такой навык есть - как сложную задачу разбить на несколько простых, возможно переформулировав их простым языком. Но не факт, что это вам сильно надо. Может лучше потратить время на что-то другое.

Окей, спасибо вам за ответ. Я понял для себя что мне нет большого смысла заниматься такими заданиями, так-как я все равно по большей части хочу быть физиком), математику я хочу изучать лишь потому что с помощью неё я могу описать разные явления/движения, вычислять что-то, но биться головой над олимпиадными задачами с Машей Пашей и Дашей которые ищут делители и доказывают что чему кратно мне не хочется.

Да и к тому же если я даже не с могу поступить в какие-то хорошие вузы я не буду расстраиваться, я просто занимаюсь для себя, а если захочу куда нибудь поступить буду стараться (особенно хотел бы поступить на физфак. Или же буду просить все таки родителей записать меня куда-то (но так-как я сейчас живу в германии и не знаю немецкого языка, и в принципе не знаю что тут по обучению у меня нет возможности записыватся в какие-то кружки)

Цитата:

Физфак физфаку рознь. В Москву в Физтех на факультет общей и прикладной физики поступить сложно. И учиться, думаю, тоже. Но физики вам более подробно расскажут.

Да но я живу сейчас в германии, да и в принципе я не из России. Буду узнавать что тут по обучению в Германии.

Цитата:

В физике не только алгебра используется. Может в старших классах обратите внимание на книгу Зельдовича и Яглома "Высшая математика для начинающих физиков и техников".

Высшую математику я конечно собираюсь изучать, но для начала надо ещё пройти основной курс средней школы, вот и спрашиваю будет ли достаточно пройти углублённый курс средней школы что-бы допустим начать изучать высшую математику для физиков.

[gefest_md]

SamirSkripka в сообщении #1566096 писал(а):

И как можно научится доказывать разные математические теоремы?

Можно начинать с попыток сформулировать предложения с помощью языковых конструкций: и; или; не; если..., то; тогда и только тогда, когда; для любого $x$; существует $x$. Возможно так мысли сосредоточатся на чём-то. Некоторые задачи про «найти» можно легко переформулировать в другое предложение. Например:
Для любых $x$ и $y$, $x$ и $y$ натуральны и $x^3+2x^2=2016$ тогда и только тогда, когда они принадлежат множеству $A$.
Здесь тоже надо найти множество $A$, но это предложение можно начинать доказывать.

[SamirSkripka]

gefest_md в сообщении #1566102 писал(а):

SamirSkripka в сообщении #1566096 писал(а):

И как можно научится доказывать разные математические теоремы?

Можно начинать с попыток сформулировать предложения с помощью языковых конструкций: и; или; не; если..., то; тогда и только тогда, когда; для любого $x$; существует $x$. Возможно так мысли сосредоточатся на чём-то. Некоторые задачи про «найти» можно легко переформулировать в другое предложение. Например:
Для любых $x$ и $y$, $x$ и $y$ натуральны и $x^3+2x^2=2016$ тогда и только тогда, когда они принадлежат множеству $A$.
Здесь тоже надо найти множество $A$, но это предложение можно начинать доказывать.

То-есть нужно узнать что дано, и с помощью языковых конструкций сформулировать что к чему должно принадлежать при каком-то равенстве, а что не должно к чему-то принадлежать, найти исключения, и на основе этих конструкций пытаться что-то доказать

[vpb]

SamirSkripka в сообщении #1566080 писал(а):

а за 10 и 11 тоже брать Мордковича?

Мордкович-Семенов, да. Можно и в другие заглядывать. (Замечание. Книг, в которых Мордкович является соавтором или единственным автором, много. Не следует их путать между собой, например, Мордкович-Семенов с Мордкович-Семенов-Виленкин, и т.д.)

SamirSkripka в сообщении #1566080 писал(а):

Ещё бы хотел спросить, а вы тоже обучались по Мордковичу?)

Нет, я учился давно, тогда учебников ни Мордковича, ни Атанасяна еще не существовало.

SamirSkripka в сообщении #1566080 писал(а):

до какого уровня дошли?

Я, вообще, профессиональный математик.

SamirSkripka в сообщении #1566080 писал(а):

брать или Атанасяна или Киселева

Атанасяна в качестве основного обязательно, Киселева в дополнение по желанию.

EUgeneUS в сообщении #1566087 писал(а):

Пока не вижу офф-топика ни в моих постах, ни в дискуссии с Вами.

Его там и нет. Вы писали всё правильно и всё по делу. Меня реакция коллеги Mihr тоже несколько озадачила.

-- 04.10.2022, 21:31 --

SamirSkripka в сообщении #1566096 писал(а):

И как можно научится доказывать разные математические теоремы?

На форуме сей сакраментальный вопрос много раз обсуждался, в том числе и с моим участием. Поищите. Я думаю, полезно решать всякие маленькие задачки, несложные, но нестандартные, где рассудить головой надо. Например, из книжки А.В.Спивак, 1001 задача по математике.

-- 04.10.2022, 21:51 --

(Да, про Сашу, Машу и Дашу !).

[Mihr]

(vpb)

vpb в сообщении #1566104 писал(а):

Меня реакция коллеги Mihr тоже несколько озадачила.

Полагаю, это обсуждение малоинтересно (или совсем не интересно) ТС, который учится в германской школе. Поэтому всё же в данной теме считаю его оффтопом. Но сам начинать новую тему пока не хочу. В целях краткости просто скопирую сюда то, что я отправил в ЛС уважаемому EUgeneUS. Думаю, этого будет достаточно. Вот что я писал:

EUgeneUS в сообщении #1566074 писал(а):

1. Про векторное произведение - не помню, у нас было в средней школе или нет. То, что изучал его школьником - это точно. Но не помню, в средней школе или уже в ФМШ.

Я уверен, что не было. Разве что учитель дал по собственной инициативе (но это вряд ли). Во всяком случае, ни в школьных учебниках 70-х, 80-х, ни в более поздних этого понятия Вы не найдёте. В более ранних – не знаю, но более чем сомнительно.

EUgeneUS в сообщении #1566074 писал(а):

2. Запись конечных приращений и переход к производным, как и запись конечных сумм и переход к интегралам - это самые начала дифференциального и интегрального исчислений. Этого не может не быть в школьной программе.

Само понятие производной и интеграла в школе даётся (хотя был период, когда эти понятия исключали; потом вернули), но записывать малые приращения величин с целью перейти к производным в школе не учат. Такие навыки были бы полезны для того, кто учится составлять и решать простейшие дифференциальные уравнения, а это далеко от обычной школьной программы (не физматшкол).

EUgeneUS в сообщении #1566074 писал(а):

3. Понятий о криволинейных и поверхностных интегралах и начала векторного анализа в "средней" школьной программе по математике не было, и сейчас скорее всего - нет. Поэтому при преподавании (и изучении) задач олимипиадного уровня приходится выкручиваться.

Не было и нет. И к «олимпиадной» математике эти темы тоже не имеют отношения. К «олимпиадной» физике если и относятся, то в весьма малой степени. Суть «олимпиадных» задач не столько в том, чтобы опередить школьную программу, сколько в умении мыслить нестандартно, делать собственные микроисследования за ограниченное время.

4. Понятие потока вектора в школе всё-таки вводится, но только для магнитного поля. Электростатика изучается без привлечения понятия потока. Что касается теоремы Гаусса: если её приводить без вывода, то это нечто вроде шаманства, польза от которого сомнительна. Если же выводить, то потребуется ввести не только понятие потока, но и понятие телесного угла и его величины. Кроме того, сам вывод потребует порядочно времени. В физматшколе это допустимо, в обычной школе — нет.