Квантовые вычисления (квантовый компьютер)

[AlexR1]

Здравствуйте!
Хотелось бы понять работу квантового компьютера (КК) на базовом (может даже бытовом) уровне. Посмотрел много видео, но так и не могу сказать что всё логично в объяснениях.

Начну с суперпозиции: аналогия кубита это подброшенная монетка (как бы и Орел и Решётка одновременно). Две подброшенные монетки это уже 4 состояния одновременно. Отсюда как бы видно что квантовый компьютер может "жонглировать" с довольно большим количеством информации. Как я понимаю, это именно благодаря суперпозиции: один кубит может находится больше чем в одном состоянии.

Сложность возникает в понимании роли запутывания в КК. Какую роль оно именно играет в квантовых вычислениях? Ну сделали мы два кубита запутанными и теперь можем сказать что если один после измерения показал 0, то другой 1, и наоборот. Что из этого? Какая связь со скоростью вычислений или ещё чем-то что даёт преимущество КК?

Пожалуйста, если можно, объясните на простом языке.

[mihaild]

AlexR1 в сообщении #1563343 писал(а):

Хотелось бы понять работу квантового компьютера (КК) на базовом (может даже бытовом) уровне

Не получится. Это не то чтобы безумно сложная, но всё же математика, причем во многом вычислительная, без формул никак.
По видео (кроме полноценных учебных лекций) такие штуки изучать нельзя. Можно по учебникам, см. например "Классические и квантовые вычисления" (Вялый, Китаев, Шень). Правда там предполагается некоторый не совсем нулевой уровень математической грамотности.

AlexR1 в сообщении #1563343 писал(а):

Какую роль оно именно играет в квантовых вычислениях?

Такую, что если состояние одного бита описывается одним числом, то состояние $n$ битов - $n$ числами. А вот если состояние одного кубита описывается одним числом, то состояние $n$ кубитов - $2^n$ числами (более точные формулировки см. в книгах). Чтобы понять, какая от этого польза, нужно уже смотреть на квантовые алгоритмы (как они манипулируют вектором в этом пространстве гигантской размерности).

[AlexR1]

Спасибо Вам за ответ!

mihaild в сообщении #1563345 писал(а):

По видео (кроме полноценных учебных лекций) такие штуки изучать нельзя.

Я хочу понять принцип, изучение это действительно именно по книгам. Опять же, чтобы представить кубит, используют аналогию монеты. Есть также аналогии запутанности. А вот какая аналогия "роли запутанности в квантовых вычислениях"?

[mihaild]

AlexR1 в сообщении #1563350 писал(а):

Я хочу понять принцип

А принцип - это и есть конкретные математические утверждения.

AlexR1 в сообщении #1563350 писал(а):

Есть также аналогии запутанности

Нету.

AlexR1 в сообщении #1563350 писал(а):

А вот какая аналогия "роли запутанности в квантовых вычислениях"?

Никакой.

[AlexR1]

Рад что тема активно обсуждается. Спасибо за некоторые ресурсы. Просматриваю. Однако, хотелось бы всё-таки вернуть дискуссию к первоначальному вопросу о "простом объяснении роли запутанности в квантовых вычислениях". Опять же, что такое запутанность понятно: измерение одного кубита даёт информацию о другом кубите. Но как этот факт даёт преимущество квантовому компьютеру? Наверное повторюсь, $N$ кубитов позволяют одновременно представить $2^N$ состояний: преимущество суперпозиции. Теперь берём запутанность: измерив один кубит, знаем состояние другого. Что с этого? Не хочу утрировать, но кажется как "узнав состояние одного кубита, вы сможете определить вес енотов в соседнем лесу". Всё понятно, но в чём преимущество?

[Pphantom]

Из темы по просьбе ТС выделены оффтопики разной степени осмысленности, хотя кажется, что исчерпывающий ответ тут уже дан.

[B@R5uk]

AlexR1 в сообщении #1563740 писал(а):

Опять же, что такое запутанность понятно: измерение одного кубита даёт информацию о другом кубите.

Нет. Запутанность — это не просто корреляции, это гораздо более глубокое/масштабное/объёмное/многомерное/мощное явление.

Вот пример. Пусть у вас есть кубит с базовыми состояниями $\left|0\right\rangle$ и $\left|1\right\rangle$. Очень похоже на обычный бит, но это иллюзия, потому что ключевое слово здесь базовые состояния. Произвольное состояние описывается выражением

$$A_0\left|0\right\rangle+A_1\left|1\right\rangle$$

где коэффициенты перед базовыми состояниями — это комплесные числа, удовлетворяющие соотношению:

$$|A_0|^2+|A_1|^2=1$$

Квадраты модулей, которые складываются в этом равенстве суть вероятности обнаружить в результате измерения системы в заданном состоянии в соответствующем базовом состоянии (любое измерение разрушает квантовое состояние и редуцирует его до базового). Заметьте, что один кубит уже куда глубже, чем обычный бит: у него целых две "аналоговых" степени свободы (у двух комплексных чисел четыре степени свободы, одна "съедается" за счёт того, что сумма вероятностей всех базовых состояний равна единице, а вторая — за счёт того, что домножение состояния на комплексное число не меняет состояние).

Теперь возьмём два кубита, аналогичных предыдущему, и объединим их в систему. Теперь базовых состояний, очевидно, четыре: $\left|00\right\rangle$, $\left|01\right\rangle$, $\left|10\right\rangle$ и $\left|11\right\rangle$. Опять же иллюзорная аналогия с двоичными битами: там тоже два бита могут иметь четыре состояния. Разница в том, что в двоичном случае четыре состояния исчерпывают всё пространство состояний, а квантовом же случае это не более, чем четыре базовых состояния, являющихся всего лишь базисными векторами квантового пространства состояний. Полное состояние системы описывается выражением

$$A_{00}\left|00\right\rangle+A_{01}\left|01\right\rangle+A_{10}\left|10\right\rangle+A_{11}\left|11\right\rangle$$

для которого опять же выполняется вероятностное тождество

$$|A_{00}|^2+|A_{01}|^2+|A_{10}|^2+|A_{11}|^2=1$$

и мы имеем квантовое пространство размерности $2\cdot2^2-2=6$.

Заметьте, что это именно размерность, а не количество информации. Чем точнее мы сможем задать/сохранить/преобразовать/померить коэффициенты, тем больше информации мы сможет хранить в каждой размерности. Если N двоичных бит могут иметь $2^N$ состояний, то квантовая система из N кубит будет иметь

$$M^{2\cdot2^N-2}$$

состояний, где M — разрешение (зависящее от точности квантовых операций) вдоль каждой размерности. Это эквивалентно

$$(2\cdot 2^N-2)\log_2M$$

двоичных бит. Обратите внимание, что размер системы стоит в экспоненте. А теперь представьте, что один кубит имеет не два базовых состояния, а K штук: $\left|0\right\rangle$, $\left|1\right\rangle$, $\left|2\right\rangle$,... $\left|K-1\right\rangle$, тогда классическая битовая ёмкость системы будет аж

$$(2\cdot K^N-2)\log_2M$$

Теперь немного об операциях. Классические битовые вентили — это всякие И, ИЛИ, НЕ, скомбинированные в разных последовательностях с разным количеством входных данных. С помощью них битовый вектор исходных данных преобразуется в битовый вектор искомого результата. При этом каждый вентиль меняет только один бит в векторе (в силу того, что любой вентиль, вне зависимости от числа входов, имеет только один выход, во всяком случае примитивный вентиль). Примитивный полный набор квантовых вентилей на первый взгляд абсолютно такой же. Да, они чутка другие, в силу квантовой природы, их чутка больше, но в целом они такие же: на вход подаётся заданное число кубит, результат сохраняется в указанный кубит. Однако! Тогда как классические вентили оперируют над битами двоичного регистра, квантовые вентили оперируют на всём многомерном пространстве состояний квантовой системы! Это как перемножить две матрицы в одно действие! А как мы уже видели выше размер матрицы растёт экспоненциально с размером системы! Вот отсюда-то и выигрыш в вычислительной мощи квантовых алгоритмов, в которых этот потенциал удаётся реализовать.

-- 07.09.2022, 14:42 --

AlexR1 в сообщении #1563740 писал(а):

Теперь берём запутанность: измерив один кубит, знаем состояние другого. Что с этого? Не хочу утрировать, но кажется как "узнав состояние одного кубита, вы сможете определить вес енотов в соседнем лесу". Всё понятно, но в чём преимущество?

Если бы в системе из двух кубитов нельзя было реализовать запутанность, то состояние такой системы бы описывалось выражением

$$\left(A_1\left|0\right\rangle_1+B_1\left|1\right\rangle_1\right)\left(A_2\left|0\right\rangle_2+B_2\left|1\right\rangle_2\right)$$

Размерность квантового пространства в такой системе будет $2\cdot 2=4$. Для системы из трёх кубит:

$$\left(A_1\left|0\right\rangle_1+B_1\left|1\right\rangle_1\right)\left(A_2\left|0\right\rangle_2+B_2\left|1\right\rangle_2\right)\left(A_3\left|0\right\rangle_3+B_3\left|1\right\rangle_3\right)$$

с размерностью $3\cdot 2=6$. И так далее. В результате размерность системы из N кубит без квантового запутывания будет всего лишь 2N, то есть не будет никакого экспоненциального роста размерности пространства состояний.

[maximav]

AlexR1 в сообщении #1563343 писал(а):

... понять работу квантового компьютера (КК) на базовом (может даже бытовом) уровне

К сожалению, и это распространенная ошибка, центральная путаница исходит из того, что вы мыслите знак плюс в формуле $|1\rangle+|2\rangle$ как "одновременно существует". Отсюда идут неправильные выводы про то, "что-то одновременно вычисляется, происходит, складываются волны " и т.д. Это совершенно ошибочное понимание суперпозиции. Это главная причина, по которой никаких суперускоренных квантовых вычислений мы никогда не получим. Конечно, про это можно, и мне наверно нужно долго и подробно говорить, но если вкратце, то именно так. По крайней мере отнеситесь к такому мнению всерьез. Оно далеко не только мое. Между прочим по этой же причине огромное количество объяснений начинающим в бесконечной литературе на тему до сих пор ни к чему не приводит. И не приведет. Пока "среднестатистическое население желающих понять" не поймет что реально означает квантовая суперпозиция. Причина, как видите, не на пустом месте. Даже запутанность здесь уже на втором месте.

AlexR1 в сообщении #1563343 писал(а):

Сложность возникает в понимании роли запутывания в КК. Какую роль оно именно играет в квантовых вычислениях?

Это как раз не так критично. Просто размерность пространства состояний растет очень быстро. Здесь пока все. Главное все же то, что выше. В частности, размышлять на языке

AlexR1 в сообщении #1563350 писал(а):

... чтобы представить кубит, используют аналогию монеты

просто безнадежно. Настройте себя на это как на факт. Избавьтесь от классических аналогов: монетки, шарики, кости и т.д. Я понимаю, что здесь нужны подробные объяснения ...

[mihaild]

maximav в сообщении #1564501 писал(а):

Это главная причина, по которой никаких суперускоренных квантовых вычислений мы никогда не получим.

Я не очень понял - неправильное понимание ТС суперпозиции это главная причина невозможности построения квантового компьютера?

Кстати, что именно вы под "не получим" понимаете - отсутствие преимущества например квантовых схем перед классическими, или невозможность физической реализации квантовых схем? Топик кажется скорее про первое (модель, а не возможность ее реализовать).

[qbit]

https://youtu.be/SEcdJMhfFFQ
Хорошее научпоп объяснение суперпозиции, автор разжёвывает как может. Объяснение про вычитание вероятностей может помочь в понимании явления.

Есть вот такая статья в вики https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1 ... 0%B8%D0%B8
Эта же статья по-объемнее в англ. версии. https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_amplitude

-- 10.09.2022, 20:45 --

Если есть желание по-лучше разобраться - Сасскинд Л., Фридман А. "Квантовая механика. Теоретический минимум" попался под руку.

Не совсем научпоп чтиво. Скорее конспекты лекций. Но изложение простое и ясное, как для ленивого студента.
Лекция 6 про запутанность (в ответ на вопрос ТС), но желательно сначала читать.

https://book.fermka.ru/web_book/%D0%9B. ... %D0%BC.pdf

[B@R5uk]

maximav в сообщении #1564501 писал(а):

в формуле $|1\rangle+|2\rangle$

Вот сразу же вы продемонстрировали, что сами не знаете про что толкуете. Правильно, вашу формулу надо записывать так:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|2\rangle$$

или так:

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|2\rangle$$

что будет то же самое. Или так:

$$\frac{i}{\sqrt{2}}|1\rangle+\frac{i}{\sqrt{2}}|2\rangle$$

опять же то же самое, как вот эта формула:

$$\frac{1-i}{2}|1\rangle+\frac{1-i}{2}|2\rangle$$

Смысл в том, что квадраты модулей коэффициентов являются вероятностями (обнаружить в результате измерения систему в заданном базовом состоянии), которые равны $1/2$, а в сумме равны единице.

Заметьте, что следующие два состояния:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|2\rangle$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle+\frac{i}{\sqrt{2}}|2\ranglet$$

совершенно отличаются между собой и от предыдущего, хотя вероятности измерения те же самые. В общем случае, если мы договоримся коэффициент перед первым базовым состоянием считать всегда действительным положительным, то любое состояние можно записать как

$$\sin\frac{\theta}{2}|1\rangle+\exp(i\varphi)\cos\frac{\theta}{2}|2\rangle$$

что даёт топологию сферы, называемую сферой Блоха. Непосредственно измеряется (путём достаточного объёмного повтора одного и того же эксперимента для набора статистики для требуемой точности) только величина $\theta$, которая влияет на вероятности обнаружения, а чтобы экспериментально измерить величину $\varphi$ над измеряемым состоянием придётся предварительно произвести определённые операции, чтобы перевести по некоторому закону величину $\varphi$ в новую величину $\theta'$.

-- 11.09.2022, 18:46 --

maximav в сообщении #1564501 писал(а):

никаких суперускоренных квантовых вычислений мы никогда не получим

Вот интересно, что вы понимаете под термином "ускоренные квантовые вычисления"? Например, в фотонных квантовых компьютерах, которые китайцы во всю толкают, вычисление происходит за время прохождения пучка света по специально сконструированному волноводу в толще стекла. Показатель преломления стекла порядка 1,5, длина пластины вряд-ли длиннее 20 см или 0,2 м, а скорость света 300 000 000 м/с. Получается время измерения не больше 0,1 мкс. Разве это не супербыстро?

Если же вы толкуете про скорость набора статистики, то тут, конечно, не всё так хорошо и ограничено скоростью генерации когерентно связанных фотонов. Конкретные цифры затрудняюсь привести.

[maximav]

mihaild в сообщении #1564506 писал(а):

что именно вы под "не получим" понимаете - отсутствие преимущества например квантовых схем перед классическими, или невозможность физической реализации квантовых схем?

Под "не получим" я понимал невозможность физической реализации, причем по принципиальной причине. Она как раз и состоит в том, что я написал про суперпозицию как "квантовый параллелизм" и "одновременно". Добавить можно еще и так называемый коллапс состояния при измерении. Это вообще - чушь, хотя и научная. Остается просто ждать, когда количество скептиков на квантовые вычисления станет значимым и их начнут слышать массы. Я, правда, полагаю, что лет десять еще "квантовые энтузиасты" будут с успехом морочить головы денежным мешкам из Google, IBM, правительствам и т.д, обещая (от чистого сердца конечно) прорывы, инициативы и превосходство. Двадцать лет у них пока это получается. I'd gladly put my bets on this but they are unlikely to ...

[mihaild]

maximav в сообщении #1564611 писал(а):

Под "не получим" я понимал невозможность физической реализации, причем по принципиальной причине.

А в чем именно она состоит? Я не особо интересовался, как вообще предлагается физически реализовывать квантовые схемы, меня больше математика интересовала, но всё же, где первая проблема - реальные физические состояния не описываются запутанными кубитами? или нужные операторы не реализуемы вообще? или реализуемы, но с недостаточной точностью?

maximav в сообщении #1564611 писал(а):

Добавить можно еще и так называемый коллапс состояния при измерении

Про коллапс я ничего не знаю, но в квантовых алгоритмах используется то, что при измерении в некотором базисе мы получаем каждый возможный результат с вероятностью, пропорциональной квадрату модуля соответствующей координаты состояния в этом базисе. И это же написано в, например, Фейнмановских лекциях по физике.

[B@R5uk]

mihaild, сдаётся мне, наш собеседник — довольно тонкий тролль. Ну, или просто близорукий и не очень грамотный человек. Потому что скептицизм скептицизмом, а прогресс не стоит на месте. Раньше говорили, что квантовое превосходство — дело далёкого будущего, если оно вообще будет достигнуто. Сейчас уже нет проблем с достижением на практике квантового превосходства. Вопрос состоит уже в том, когда оно будет продемонстрировано для осмысленных задач.

[amon]

mihaild в сообщении #1564613 писал(а):

А в чем именно она состоит?

Я тут давал ссылку на статью, где причины скепсиса по поводу квантовых компьютеров изложены достаточно ясно.