2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 
Сообщение01.11.2008, 14:23 
Аватара пользователя


02/04/08
742
ай-яй-яй, господа студенты. Есть два наиболее распространенных и удобных в смысле изучения свойств этих функций способа вводить логарифм и экспоненту. Первый такой
$\ln x:=\int_1^x\frac{ds}{s},\quad x>0$ и т.д. (этому учат в хороших школах)
Другой такой: функцией $y(x)=\exp( x)$ называется решение задачи Коши
$y'=y,\quad y(0)=1$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.11.2008, 15:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
zoo писал(а):
ewert в сообщении #155014 писал(а):
это обычно начало первого семестра

а что формула Эйлера делает в начале первого семестра зачем она там?

а без неё там грустно -- не будет показательной формы записи комплексного числа, а без этой формы -- грустно с корнями (т.е. можно, но грустно, поскольку безыдейно).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.11.2008, 17:17 
Аватара пользователя


02/04/08
742
ewert писал(а):
zoo писал(а):
ewert в сообщении #155014 писал(а):
это обычно начало первого семестра

а что формула Эйлера делает в начале первого семестра зачем она там?

а без неё там грустно -- не будет показательной формы записи комплексного числа, а без этой формы -- грустно с корнями (т.е. можно, но грустно, поскольку безыдейно).

для корней по-моему достаточно такой факт иметь
$\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\pmod {2\pi}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.11.2008, 23:30 
Аватара пользователя


16/02/06
222
Украина
mkot в сообщении #155108 писал(а):
Но тогда вы и производную косинуса будите вынуждены определить из производной экспоненты, что мы делать как раз не хотим.

Определить можно, но производную получить аналогично как в действительном анализе (используя тригонометрические формулы - они же у нас все справедливы для комплексных чисел). От тут и возникает тот момент (не надо производной экспоненты), на который я и привлекаю внимание.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2008, 09:58 
Аватара пользователя


18/10/08
454
Омск
citadeldimon писал(а):
Определить можно, но производную получить аналогично как в действительном анализе (используя тригонометрические формулы - они же у нас все справедливы для комплексных чисел). От тут и возникает тот момент (не надо производной экспоненты), на который я и привлекаю внимание.


citadeldimon, Вы правы. Про это я и не подумал.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2008, 10:10 
Аватара пользователя


16/02/06
222
Украина
zoo писал(а):
ай-яй-яй, господа студенты. Есть два наиболее распространенных и удобных в смысле изучения свойств этих функций способа вводить логарифм и экспоненту. Первый такой
$\ln x:=\int_1^x\frac{ds}{s},\quad x>0$ и т.д. (этому учат в хороших школах)
Другой такой: функцией $y(x)=\exp( x)$ называется решение задачи Коши
$y'=y,\quad y(0)=1$

$$e^x=\lim\limits_{n\to+\infty}(1+\frac x n)^n$$.
Как Вам такое определение?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2008, 11:26 
Аватара пользователя


02/04/08
742
citadeldimon в сообщении #155262 писал(а):
$$e^x=\lim\limits_{n\to+\infty}(1+\frac x n)^n$$.
Как Вам такое определение?

теперь продифференцируйте так определенную $e^x$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2008, 11:33 
Аватара пользователя


16/02/06
222
Украина
Уже была ссылка:
id писал(а):

И давайте на этом закончим дискуссию, мысли всех участников дискуссии
ясны, свою точку зрения я написал и кто то согласился, кто то нет -
дело каждого. Один большой плюс этого разговора - очень четкая
аргументация и новые знания для кого то. Спасибо всем за этот разговор.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2008, 13:50 


02/07/08
322
zoo
Задачу Коши в школах, разумеется, рассматривать не будут, а первый способ как площадь под экспонентой не является единственным.
Мне лично более естественным кажется определить понятия возведения в произвольную степень, числа вроде $2^\sqrt{2}$.
Для этого определяем число $e$, возведение в рациональную степень, доказываем его монотонность и непрерывность на $\mathbb{Q}$, получаем функцию $e^x$ на множестве рациональных чисел. Дальше можно было бы определить эту функцию в произвольном вещественном $x$ как соответствующий предел (ведь требования от возведения в произвольную степень логичны - те же монотонность и непрерывность, но уже на $\mathbb{R}$), но можно немного уйти от проблемы с техникой в этом случае: рассмотреть функцию $exp(x) = \lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac x n)^n$, определенную при всех вещественных $x$, и доказать ее совпадение $e^x$ во всех рациональных числах. Её непрерывность выводится из её же монотонности (которая очевидна). Любые две непрерывные функции, совпадающие на $\mathbb{Q}$, совпадают, поэтому так построенная экспонента и есть искомая функция.
После этого логарифм, разумеется, определяем как обратную функцию, он непрерывен и монотонен, из этого все замечательные пределы выводятся так же замечательно. Возможно, путь не кратчайший, но зато использует весьма симпатичные соображения и не использует много техники. Для 10 класса, как мне кажется, подходит хорошо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2008, 15:14 
Аватара пользователя


02/04/08
742
Cave писал(а):
zoo
Задачу Коши в школах, разумеется, рассматривать не будут, а первый способ как площадь под экспонентой не является единственным.
я где-то писал про единственность?
Cave писал(а):
Мне лично более естественным кажется определить понятия возведения в произвольную степень, числа вроде $2^\sqrt{2}$.
Для этого определяем число $e$, возведение в рациональную степень, доказываем его монотонность и непрерывность на $\mathbb{Q}$, получаем функцию $e^x$ на множестве рациональных чисел. Дальше можно было бы определить эту функцию в произвольном вещественном $x$ как соответствующий предел (ведь требования от возведения в произвольную степень логичны - те же монотонность и непрерывность, но уже на $\mathbb{R}$), но можно немного уйти от проблемы с техникой в этом случае: рассмотреть функцию $exp(x) = \lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac x n)^n$, определенную при всех вещественных $x$, и доказать ее совпадение $e^x$ во всех рациональных числах. Её непрерывность выводится из её же монотонности (которая очевидна). Любые две непрерывные функции, совпадающие на $\mathbb{Q}$, совпадают, поэтому так построенная экспонента и есть искомая функция.
После этого логарифм, разумеется, определяем как обратную функцию, он непрерывен и монотонен, из этого все замечательные пределы выводятся так же замечательно. Возможно, путь не кратчайший, но зато использует весьма симпатичные соображения и не использует много техники. Для 10 класса, как мне кажется, подходит хорошо.

прекрасно, вот и вывидете замечательные пределы из таких определений и выложите этот вывод сюда, очень интересно посмотреть, как Вы не будете использовать много техники.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2008, 15:59 


02/07/08
322
zoo
Не писали, но сказали, что он является наиболее удобным и распространённым. Я лишь предложил другой.

Вывод замечательных пределов проходит по следующей схеме: доказываем, что $e^a =  \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac a x)^x$ (это уже должно было быть сделано для доказательства совпадения функций в рациональных точках, делается неравенствами с целой частью и теоремой о двух миллиционерах), выводим, что $e =  \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac 1 x)^x$, делаем замену $t = \frac 1 x$, чтобы получить $e =  \lim\limits_{t\to 0}(1+t)^{\frac 1 t}$, логарифмируем и пользуемся непрерывность логарифма и свойством $\ln a^b = b\ln a$ при соответстствующих $a$ и $b$, которое следует из $(e^a)^b = e^{ab}$, которое, в свою очередь, следует из такого же для рациональных $a$ и $b$. По-моему, не очень много техники. На задачи разбивается хорошо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2008, 16:22 
Аватара пользователя


02/04/08
742
Cave писал(а):
zoo
Не писали, но сказали, что он является наиболее удобным и распространённым. Я лишь предложил другой.

Вывод замечательных пределов проходит по следующей схеме: доказываем, что $e^a =  \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac a x)^x$ (это уже должно было быть сделано для доказательства совпадения функций в рациональных точках, делается неравенствами с целой частью и теоремой о двух миллиционерах),

а что такое $e$ по определению, на этом этапе?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2008, 17:49 


02/07/08
322
zoo
$e$ определяем изначально как предел $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac 1 n)^n$, то есть значение экспоненты в единице.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2008, 18:30 
Аватара пользователя


02/04/08
742
Cave писал(а):
zoo
$e$ определяем изначально как предел $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac 1 n)^n$, то есть значение экспоненты в единице.

значит все свелось к вопросу онепрерывности $e^x$ вот это и будет самая нудобоперевариваемая часть Вашей конструкции

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2008, 19:07 


02/07/08
322
zoo
Да, она используется, не спорю, но доказывается не напрямую, а следующим образом: сначала непрерывность функции $e^x$ по множеству $\mathbb{Q}$ (с использованием $\lim\limits_{n\to\infty}a^{\frac 1 n} = 1$), затем совпадение с экспонентой, определенной через предел, на $\mathbb{Q}$ (используя замену переменной $t = x/a$), а затем монотонность экспоненты (очевидна, так как функция по пределом монотонна). Нетрудно видеть, что из этих трёх фактов следует непрерывность экспоненты на $\mathbb{R}$. До детей это тоже вполне можно донести, порисовав картинки монотонных функций (если у них не было к этому времени классификации точек разрыва монотонной функции).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group