Регрессия к среднему и ошибка игрока

[mihaild]

Markus228 в сообщении #1545285 писал(а):

Интересно, когда честная монета снова в отрицательную ось пойдет

В среднем - через бесконечное время:)
[только не ось а полуплоскость]

[Someone]

О флуктуациях при бросании монеты интересно написано в книге
В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и её приложения. В 2-х томах. Том 1. Москва, "Мир", 1984.
Данный вопрос обсуждается в главе III.

[Markus228]

sergey zhukov в сообщении #1545288 писал(а):

Вокруг чего ей надлежит болтаться? Вокруг нуля? Или вокруг $+100$? Или $+250$? Может, вокруг $-250$? Или вокруг любой другой точки из своего прошлого? Очевидно, что все точки для нее равноправны.

Да, разумеется, она будет болтаться вокруг каждой точки Только для этого надо рассматривать на экспоненциальных временах $t=100^k$ с соответствующим пространственным масштабом $x=100^{\frac{k}{2}}$, тогда будут просто почти независимые реализации гауссова распределения

-- 06.01.2022, 17:31 --

mihaild в сообщении #1545289 писал(а):

В среднем - через бесконечное время:)

Там такой тяжелый хвост? Можно отрезать малые вероятности из практических соображений

[mihaild]

Markus228 в сообщении #1545315 писал(а):

Там такой тяжелый хвост?

Да, даже ожидаемое время до первого попадания на один шаг влево бесконечно - после первого шага оно с вероятностью $1/2$ удвоится, так что оно удовлетворяет уравнению $t = 1 + t$.

[svv]

mihaild
Пусть вначале монетка находится в точке $0$. С какой вероятностью она хоть когда-нибудь в будущем попадёт в точку $a$?

[mihaild]

svv, для симметричной - $1$ конечно, а что?

[svv]

Ну, для меня это почти сводит на нет впечатление от бесконечности среднего времени, о котором Вы говорили.

[sergey zhukov]

Евгений Машеров
Опять же возьмем в пример случайные блуждания. Наследуемый параметр в данном случае - это положение точки $x$. Случай проявляется в том, что на каждом шаге это положение $x$ случайно меняется на единицу в ту или иную сторону (это самый простой вариант).

Допустим, что $x$ - это рост, который измерял Гальтон. Если рост отца $x$, то рост сына может быть либо $x+1$, либо $x-1$. Мы знаем, что есть вполне определенная величина среднего роста человека. Кривая роста серии поколений "болтается" вокруг этого значения, т.е. она ведет себя в точности так, как ожидает игрок из предыдущего примера (а не так, как происходят блуждания честной монетки).

Т.е. у высоких отцов вероятность иметь сына выше себя мала, а иметь сына ниже себя - велика. И чем выше отцы, тем больше перекос в соотношении этих вероятностей. У низких - наоборот. В точности, как для монетки, которая становится нечестной, когда отклоняется от среднего значения.

Значит, ошибка игрока заключается в том, что он полагает, будто серия бросков монеты должна быть подвержена регрессии к среднему, хотя для честной монетки это не так. Сама же регрессия к среднему - это так или иначе результат зависимости вероятностей случаев $x+1$ или $x-1$ от самого $x$. Вроде бы так?

svv
Как-то раз про подобную задачу о случайных блужданиях я слышал, что вероятность встречи равна $1$, причем среднее число шагов до встречи бесконечно. Что-то похожее. Какое-то парадоксальное утверждение.

[mihaild]

sergey zhukov в сообщении #1545333 писал(а):

вероятность встречи равна $1$, причем среднее число шагов до встречи бесконечно. Что-то похожее. Какое-то парадоксальное утверждение

Ровно так. Ничего парадоксального нет - есть куча случайных величин с бесконечным первым моментом, т.к. из сходимости $\int\, d\mathcal F(x)$ не следует сходимость $\int x\, d\mathcal F(x)$.

[Евгений Машеров]

Для случая монетки никакой регрессии к среднему нет. Матожидание положения после броска в точности равно положению до броска.
Регрессия к среднему имеет место, например, в приведенном мной выше примере. Где коэффициент регрессии будет $a=\frac {\sigma^2}{\sigma^2+\delta^2}<1$. И, соответственно, "возврат к среднему" будет составлять $1-a=\frac {\delta^2}{\sigma^2+\delta^2}$
Кроме того, в реальном мире могут иметь место механизмы, обеспечивающие возврат к среднему не только, как "математический факт". Скажем, цены на реально производимый и реально потребляемый продукт, если случайно вырастут, приведут к сокращению платежеспособного спроса, с одной стороны, с другой стороны, повысят прибыльность этой продукции, стимулируют расширению производства и увеличат предложение, и то, и то будет способствовать снижению цены. То есть ООС, стабилизирующая уровень цен. Но цены на акции, основная масса покупок и продаж которых - чисто спекулятивная игра, хорошо описываются моделью случайного блуждания (по крайней мере на коротком временном горизонте).
"Ошибка игрока", как мне представляется, это перенос поведения системы, охваченной ООС, на систему, изменения которой независимы во времени.

[B@R5uk]

sergey zhukov в сообщении #1545184 писал(а):

Ошибка игрока - это когда вероятности независимых случайных событий считают зависимыми. Всем известно, что вероятность выпадения орла или решки в одном броске равна $\frac{1}{2}$. Но в классическом примере игрок считает, что если монета падает решкой несколько раз подряд, то вероятность того, что она сделает так еще раз в следующем броске, должна быть меньше $\frac{1}{2}$. И вообще, эта вероятность должна уменьшаться с увеличением длины такой серии, т.к. длинные серии решек менее вероятны, чем короткие. Он думает, что вероятность выпадения орла или решки в следующем броске зависит от того, как монета падала в предыдущих бросках, хотя такой зависимости нет.

Меня всегда удивляют такого рода рассуждения. Если монета постоянно падает решкой, но очевидно же, что она нечестная! Другими словами, если число орлов и решек различается больше чем утроенный корень из числа бросаний, то пора бы уже пересмотреть гипотезу о равновероятности выпадения этих самых орлов и решек.

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1545411 писал(а):

Другими словами, если число орлов и решек различается больше чем удвоенный корень из числа бросаний, то пора бы уже пересмотреть гипотезу о равновероятности выпадения этих самых орлов и решек.

Т.е. для честной монетки нам почти наверное надо будет пересматривать эту гипотезу бесконечное число раз?) Закон повторного логарифма говорит, что мы бесконечно много раз увидим, что после $n$ бросков разница между количеством орлов и решек больше $10^{100}\cdot \sqrt{n}$.

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1545412 писал(а):

надо будет пересматривать эту гипотезу бесконечное число раз?)

Почему бы и нет? Если речь идёт о практических приложениях, то первый приходящий в голову вид "бизнеса", сразу вызывает желание убедиться, что тебя не "разводят".

За наводку на ЗПЛ спасибо, не знал.

[sergey zhukov]

B@R5uk
Ошибка игрока - это когда он неправильно представляет себе результат работы честной монеты. Даже если он уверен, что монета честная (и это на самом деле так), он думает: вот она выпала решкой девять раз подряд! Можно ставить все, что угодно на то, что сейчас будет орел! Так он думает даже тогда, когда уверен, что никто его не надувает и все честно. Разумеется, его еще могут параллельно и надувать. Но даже и без этого он обманывает сам себя.

[sergey zhukov]

Евгений Машеров
Из всего, что я узнал именно о регрессии к среднему, получается такое представление:


Если условное матожидание роста сына (при данном росте отца) совпадает с ростом отца, то никакой регрессии нет (первый случай).

Если условное матожидание роста сына (при данном росте отца) ближе к среднему росту (на величину $X$), чем рост отца $A$, то имеется регрессия к среднему с коэффициентом $K=\frac{X}{A}$. Второй случай.

Если матожидание роста сына просто всегда равно среднему росту, то регрессия к среднему максимальна, ее коэффициент равен 1.

Регрессию к среднему часто упоминают в связи с таким ошибочным представлением: если из любой выборки взять самых лучших и самых худших, то в следующем соревновании лучшие будут еще лучше, а худшие - еще хуже (в крайнем случае в среднем останутся на местах, т.е. продемонстрируют какое-то случайное блуждание). Но регрессия к среднему говорит нам, что и лучшие и худшие при повторных испытаниях продемонстрируют тягу к среднему.

Вообще, вся практика выведения породы основана на правиле "всегда выбирай лучших". Регрессия к среднему тут как будто бы утверждает, что это бесполезно. Можно, конечно, с помощью ряда случайностей получить отборного рекордсмена, но попытка продолжить это наталкивается на такое препятствие: почти все потомки такого отца оказываются хуже отца. Даже если выбрать лучшего из них, он оказывается хуже родителя. Принцип "выживает сильнейший" не всегда приводит к прогрессу: сильнейший из потомства может систематически оказываться слабее отца. Это маловероятно, пока отец - средний представитель. Но когда он рекордсмен - это почти обязательно будет так.