Неограниченные множества конечной меры на прямой

[artempalkin]

Два вопроса:

1) Может ли открытое неограниченное множество иметь конечную меру?

2) Может ли замкнутое неограниченное множество иметь конечную меру?

1) Вроде бы да. Рассмотрим следующее множество: на отрезке $[0;1]$ расположим (как угодно) интервал длины $1/2$, на отрезке $[2;3]$ интервал длиной $1/4$, на отрезке $[4;5]$ интервал длиной $1/8$ и т.д.. и объединим получившиеся интервалы. Получившееся множество будет неограниченным, открытым (как объединение открытых), измеримым, и мера его будет равна $1$, то есть конечна.

2) Вот здесь вроде бы должен быть подвох, но, кажется, нет. Заменим в предыдущем решении интервалы отрезками. Такое множество, конечно же, также будет неограниченным и конечной меры. Но будет ли оно замкнутым? Неочевидно. Рассмотрим его дополнение до $\mathbb{R}$. Это дополнение будет состоять из открытого луча и интервалов, то есть будет открытым. А значит исходное множество будет замкнутым.

В итоге на оба вопроса ответ "да". Правильно же?

[alisa-lebovski]

Конечно.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

В качестве упражнения замените "иметь конечную меру" на "иметь меру нуль".

[artempalkin]

Nemiroff
Да, я как раз подумал, что если взять множество натуральных чисел, то это будет неограниченное замкнутое множество меры нуль.

А вот открытых неограниченных множеств меры нуль быть не может, потому что открытое множество вообще не может быть меры нуль, т.к. содержит какой-то интервал.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1544468 писал(а):

открытое множество вообще не может быть меры нуль, т.к. содержит какой-то интервал

Это не совсем правда.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1544470 писал(а):

Это не совсем правда.

Могу придумать пару сильно вырожденных случаев:
1) Пустое множество имеет меру нуль, а оно открыто (думаю, что вы это имели в виду). Соответственно, на прямой с обычной мерой существует одно-единственное открытое множество нулевой меры, но, конечно, неограниченных открытых множеств нулевой меры не найдется.

2) Я так понимаю, что меру можно задать так, чтобы любое множество имело меру нуль. Тогда все открытые множества на прямой будут иметь меру нуль (но это не совсем наша задача, конечно)

3) Если говорить о каких-то экзотических пространствах с экзотическими мерами, наверное, там могут быть какие-то странные штуки.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1544473 писал(а):

Пустое множество имеет меру нуль, а оно открыто (думаю, что вы это имели в виду).

Да, именно так.
Когда говорят о мере на прямой подразумевают меру Лебега, и менять её на лету было бы с моей стороны нечестно:) А вот пустое множество открыто по стандартному определению.