Диофантово уравнение 2-го порядка

[Gepidium]

Здравствуйте.
Возникла у меня затыка с одним заданием из самостоятельной работы. 14 из 15 решила, а вот это никак не даётся.
Решить в целых уравнение $x^2+4xy+y^2=111$.
Что я делала:
1. Пыталась разложить на множители - не раскладывается.
2. Попробовала выделить полный квадрат. Пришла к каким-то дико-громоздким дробям.
3. Решала данное уравнение как квадратное относительно $x$. Безуспешно.
Но этим и исчерпываются все методы, которые давали на лекциях.
Мне не нужно решение, подскажите идею, как подступиться к этому уравнению.

[nnosipov]

Gepidium в сообщении #1536062 писал(а):

Мне не нужно решение, подскажите идею, как подступиться к этому уравнению.

Докажите, что решений нет, рассмотрев это уравнение по подходящему модулю. Неужели про этот метод (называется "метод остатков") на лекции ничего не рассказывалось? Этот метод входит в стандартный набор элементарных (для школьников) методов решения диофантовых уравнений.

Стандартный пример. Уравнение $x^2-3y^2=-1$ неразрешимо в целых числах, потому что левая часть уравнения никогда не дает остатка 2 при делении на 3. (Убедитесь, что остаток 2 действительно невозможен для левой части.)

[Gagarin1968]

Gepidium в сообщении #1536062 писал(а):

Но этим и исчерпываются все методы, которые давали на лекциях

А прямой перебор не пробовали? Ведь это простейший и самый первый способ решения диофантовых уравнений, который даётся в учебниках. Неужели преподаватель его не упомянул?
Тем более, что здесь прямой перебор совсем небольшой.

[nnosipov]

Gepidium в сообщении #1536062 писал(а):

2. Попробовала выделить полный квадрат. Пришла к каким-то дико-громоздким дробям.

А вот это не есть гуд: все-таки, выделять полный квадрат надо уметь, это полезная техника. И никаких диких дробей там нет.

-- Сб окт 23, 2021 22:00:36 --

Gagarin1968 в сообщении #1536066 писал(а):

А прямой перебор не пробовали?

Прямой перебор чего? Все целые числа перебрать не удастся.

[Gepidium]

nnosipov в сообщении #1536065 писал(а):

Докажите, что решений нет, рассмотрев это уравнение по подходящему модулю

nnosipov
А как определить, какой модуль подходящий?

Gagarin1968 в сообщении #1536066 писал(а):

здесь прямой перебор совсем небольшой

Gagarin1968
Прямой перебор чего? Всевозможных наборов$(x,y)$?
Или я что-то не догоняю?

[Gagarin1968]

Gepidium в сообщении #1536070 писал(а):

Прямой перебор чего?

nnosipov в сообщении #1536067 писал(а):

Прямой перебор чего? Все целые числа перебрать не удастся

Нет, конечно.
Прямой перебор остатков по $\mod 3$, учитывая, что $111=3\cdot 37$.
И рассмотреть всего 9 случаев. Я неправ?

[мат-ламер]

Gepidium в сообщении #1536062 писал(а):

1. Пыталась разложить на множители - не раскладывается.

Всё же можно попытаться разложить, для начала сделав подходящую линейную замену.

То есть привести к виду $uv=a$ .

[nnosipov]

Gagarin1968 в сообщении #1536072 писал(а):

Я неправ?

По модулю 3 соответствующее сравнение разрешимо, это ничего не даст.

-- Сб окт 23, 2021 22:17:29 --

мат-ламер в сообщении #1536073 писал(а):

Всё же можно попытаться разложить

На множители с иррациональными коэффициентами? А что потом делать? Боюсь, теорию уравнений Пелля пока изучать рановато.

[Gagarin1968]

nnosipov в сообщении #1536074 писал(а):

По модулю 3 соответствующее сравнение разрешимо, это ничего не даст.

nnosipov
Я полагаю, что всё-таки неразрешимо, и это даёт всё.

[nnosipov]

Gepidium в сообщении #1536070 писал(а):

А как определить, какой модуль подходящий?

Да подряд пробовать и надеяться, что повезет. 2 не подходит, 3 тоже. А 4?

-- Сб окт 23, 2021 22:20:53 --

Gagarin1968 в сообщении #1536075 писал(а):

Я полагаю, что всё-таки неразрешимо

Сравнение $x^2+4xy+y^2 \equiv 111 \pmod{3}$ разрешимо.

[Gagarin1968]

nnosipov
Я имел в виду полный перебор остатков левой части уравнения по $\mod 3$.

[nnosipov]

Gagarin1968 в сообщении #1536079 писал(а):

Я имел в виду полный перебор остатков левой части уравнения по $\mod 3$.

Вы, помимо этого, имеете в виду еще что-то. Потому что этот перебор (сам по себе) не приводит к противоречию.

[Gagarin1968]

nnosipov в сообщении #1536080 писал(а):

Потому что этот перебор (сам по себе) не приводит к противоречию

nnosipov
Ну как же не приводит, когда приводит. Смотрите сами (не выкладываю своё решение, только рассмотрю первые 3 случая):
1. x \equiv 0\pmod{3}:
а) y \equiv 0\pmod{3}. Тогда x^2+4xy+y^2 делится на 3^2=9, а правая часть - не делится.
б) y \equiv 1\pmod{3}. Тогда x^2+4xy+y^2\equiv 1\pmod{3}, а 111 \not\equiv 1\pmod{3}.
в) y \equiv 2\pmod{3}. Тогда x^2+4xy+y^2\equiv 1\pmod{3}, а 111 \not\equiv 1\pmod{3}.

2.x \equiv 1\pmod{3}:
а)
б)
в)
...................................................
И последние 3 случая (при x \equiv 2\pmod{3}.
И везде получается противоречие.
Я где-то ошибаюсь?

[nnosipov]

Gagarin1968 в сообщении #1536086 писал(а):

Тогда x^2+4xy+y^2 делится на 3^2=9, а правая часть - не делится.

Вот это и есть то дополнительное, что Вы привлекаете. Фактически это рассуждение по модулю 9. По модулю 9 противоречие есть, а по модулю 3 нет.

Между тем, можно найти такой модуль $m<9$, что сравнение $x^2+4xy+y^2 \equiv 111 \pmod{m}$ будет неразрешимым.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1536073 писал(а):

для начала сделав подходящую линейную замену.

Этим можно чуток уравнение упростить. Полагая $z=x+2y$ , приходим к уравнению $z^2-3y^2=111$ , которое есть следствие исходного. Дальше в этом уравнении делаем подстановку $z=3t$ и приходим к уравнению $3t^2-y^2=37$ . Дальше это уравнение пробуем решать по модулю 3 .