Визуализация дифференциала функции X^2

[koliakrasnoff]

Добрый вечер всем!!! Я новенький.
Постигаю искусство математического анализа. Не понимаю один вопрос.

Есть функция $F(x)=X^{2}$. Приращение этой функции равно $2X{\text{d}X}$

Визуально это представляется как площадь квадрата, у которого увеличивают каждую стенку на ${\text{d}X}$. Получаем две дополнительные полоски с площадью $X{\text{d}X}$, они-то и есть дифференциал этой функции.

Но во многих учебниках и в видеоуроках Хуторянского и 3B1B еще откуда-то берется дополнительный маленький квадрат с площадью ${\text{d}X}{\text{d}X}$

Откуда он? Стенки квадрата же увеличиваются только вбок, но не по диагонали?

[xagiwo]

"Увеличивают каждую стенку на $dX$" значит, что рассматривают квадрат (а не фигуру без угла) со стороной $X+dX$. Потому что если рассматривать фигуру без угла, её площадь будет уже не $(X+dX)^2$, а нам нужно $(X+dX)^2$.

-- 04.06.2021, 04:16 --

Визуально уголок квадрата "оттягивается" по диагонали и тянет за собой стенки

[iifat]

Потому что дифференциал — линейная часть приращения. Разумеется, приращение на картинке будет 0,0061, учитывая маленький квадратик. А если прирастить на 0,001, то приращение функции будет 0,00601, если я не напутал с нулями. $dx$ — величина не просто оооочень маленькая, это бесконечно малая величина. По сравнению с ней $dx^2$ — просто ничто.

[xagiwo]

iifat
Так ТС же спрашивал не о малости $dx^2$, а о том, зачем нам вообще квадратик в углу, почему мы не рисуем вообще без него, разве нет?

[iifat]

xagiwo,
Что значит — зачем? Квадратик в углу — он же есть! Но мы записываем дифференциал без него. Я и пытаюсь объяснить, почему его нет в формуле, хотя он есть.

[FL91]

(Оффтоп)

А зачем вообще эти квадратики? Только запутывают...

[kotenok gav]

(Оффтоп)

Интересно, а через сколько сообщений возникнет вопрос "а зачем нам вообще эти приращения"?

[koliakrasnoff]

xagiwo в сообщении #1521130 писал(а):

"Увеличивают каждую стенку на $dX$" значит, что рассматривают квадрат

Ну так нам и не нужен весь квадрат. Нам нужно только приращение квадрата. Оно - две полоски автоматически.

[xagiwo]

koliakrasnoff
Нет никакого "приращения квадрата". Приращение функции $F(x) = x^2$ это $(x+dx)^2 - x^2$ (с отброшенным $(dx)^2$, потому что оно мало по сравнению с $dx$, но об этом потом). И так уж получается, что $x^2$ это площадь квадрата со стороной $x$, а $(x+dx)^2$ это площадь квадрата со стороной $x+dx$, поэтому и получается такая картинка — маленький квадрат внутри большого. А откуда Вы взяли "приращение квадрата"? И с чего Вы взяли, что "оно — две полоски"?

[Pphantom]

koliakrasnoff, вы в процессе как-то потеряли условие решаемой таким образом задачи. А оно выглядит как-то так:

Цитата:

$F(X)$ - площадь квадрата со стороной $X$. На какую величину увеличится площадь квадрата, если сторону квадрата увеличить на $dX$?

Ваша же фигура из исходного квадрата и двух полосок квадратом не является.

[svv]

koliakrasnoff
Вы находитесь в плену той картинки. Но сейчас я освобожу Вас от её власти.
Смотрите! Это — известная картина Малевича «Приращение синего квадрата».

Comment. Синий квадрат увеличивался четыре раза, но на каждом шаге он оставался верен квадратизму.

[wrest]

koliakrasnoff в сообщении #1521127 писал(а):

Но во многих учебниках и в видеоуроках Хуторянского и 3B1B еще откуда-то берется дополнительный маленький квадрат с площадью ${\text{d}X}{\text{d}X}$

Дифференциал это не всё приращение, а только его линейная часть - две полоски.
Маленький квадратик - нелинейная часть приращения, не включается в дифференциал.

Тут показательно чему равен дифференциал и полное приращение в нуле. Если поставить ноль вместо $X$ сюда

koliakrasnoff в сообщении #1521127 писал(а):

Есть функция $F(x)=X^{2}$. Приращение этой функции равно $2X{\text{d}X}$

То получите дифференциал, равный нулю. Но не приращение! Всё приращение будет состоять из нелинейной части приращения, то есть из этого "углового" квадратика.

Ключевое тут понять что значит "линейная часть". Как поймёте - так всё и разложится по полочкам.

[svv]

(Оффтоп)

kotenok gav в сообщении #1521146 писал(а):

Интересно, а через сколько сообщений возникнет вопрос "а зачем нам вообще эти приращения"?

Ну, приращения ещё ладно, пусть живут. А вот вопрос "зачем нам вообще эти дифференциалы?" поднимался. Некоторые математики считают, что все необходимые питательные вещества можно получить и не употребляя в пищу дифференциалы, достаточно производных. См. книгу
М. Спивак. Математический анализ на многообразиях. Стр.57, пункт «По поводу обозначений».
Оговорка. Нелюбовь Спивака к дифференциалам не распространяется на "внешний дифференциал формы" и на "дифференциал отображения", более похожие на производные. С ними всё в порядке.

[koliakrasnoff]

Кажется понял. Квадрат является квадратным квадратом по определению древних греков. Сторона должна увеличиваться только с одного конца и продолжаться до упора. Маленький квадратик закрашивается автоматически. Пойду Эвклида почитаю...

[Someone]

koliakrasnoff в сообщении #1521127 писал(а):

Есть функция $F(x)=X^{2}$. Приращение этой функции равно $2X{\text{d}X}$

Нет, приращение равно $\Delta(X^2)=(X+dX)^2-X^2=2XdX+dX^2$ (Если что, $dX$ — это один символ, поэтому скобки вокруг него не обязательны. И аккуратнее писать не $dX$, а $\Delta X$, хотя потом и обосновывается, что для независимой переменной $X$ выполняется равенство $dX=\Delta X$.) А $d(X^2)=2XdX$ — это дифференциал.