2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равномерная сходимость
Сообщение20.10.2008, 13:56 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Проверьте решение, если не трудно.

Дана последовательность

$$ f_n(x) = \left\{\begin{array}{l, l} 
1 & |x| \ge 1 / n \\ 
n |x| & |x| < 1 / n
\end{array} \right. $$

Найти поточечный предел последовательности и определить равномерна ли сходимость к этому пределу

Решение. Пределом будет функция $f(x)$ равная единице всюду за исключением нуля. Размышление такое: не существует $n$ такого, чтобы $f_n(0) \not = 0$. С другой стороны для любого $x \ne 0$ существует $N > |1/x|$ такое, что для любого $n > N$ верно $f_n(x) = 1$.

Выберем произвольную окрестность $\epsilon < 1 / 2$. Нужно доказать, что существует такое $N$, что для любого $n \ge N$ и $x \in \mathbb{R}$ верно $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$. Допустим такое $N$ существует, тогда выберем число $x_1 = \frac{1}{2 N}$. Для него верно $f_N(x_1) = 1 / 2$, и $f(x_1) = 1$. Что и требовалось.

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.10.2008, 14:32 


12/09/08

2262
Да, все верно. Поточечная сходимость есть. Равномерной сходимости нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.10.2008, 19:14 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Спасибо! Вот ещё пара заданий на ту же тему.


Упражнение 2. Привести пример двух равномерно сходящихся последовательностей $(f_n)$ и $(g_n)$ таких, чтобы произведение $(f_n \, g_n)$ не сходилось равномерно.

Решение. Возьмём $$ f_n = g_n = x + \frac{1}{n} $$

Тогда для произведения верно

$$ f_n \, g_n = x^2 + \frac{2 \, x}{n} + \frac{1}{n^2} $$

Тогда для любого $n$ можно взять $x > n / 2$ и следовательно получим, что $f_n(x) \, g_n(x) - f(x) \, g(x) > 1$.


Упражнение 3. Пусть дана поточечная сходимость $f_n \to f$ на компактном множестве $K$. Доказать, что если все $f_n$ и $f$ непрерывны, то сходимость $f_n \to f$ - равномерная

Решение. Пусть дано расстояние $\epsilon > 0$. Нужно доказать, что существует $N$, что для любых $n \ge N$ и $x \in K$ верно $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$.

Шаг 1. Для каждой точки $x_1 \in K$ можно выбрать окрестность $O_{\delta_1}$ такую, что для любой точки этой окрестности $x \in O_{\delta_1}$ верно $|f(x_1) - f(x)| < \epsilon / 3$.

Так же можно найти такое $N_1$ что для любых $n \ge N_1$ выполнялось $|f_n(x_1) - f(x_1)| < \epsilon / 3$

А для $f_{N_1}$ можно выбрать окрестность $O_{\delta_2}$ точки $x_1$ такую, что для любой точки этой окрестности $x \in O_{\delta_2}$ верно $|f_{N_1}(x_1) - f_{N_1}(x)| < \epsilon / 3$.

Шаг 2. Рассмотрим окрестность точки $x_1$ с радиусом $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$. Для любой точки $x \in O_\delta$ и $n \ge N_1$ выполняется $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$.

Шаг 3. Семейство таких окрестностей образуют открытое покрытие множества $K$. Выберем конечное подпокрытие. Обозначим $N = \max \{ N_1, N_2, N_3, \dots \}$.

Для любого $n \ge N$ и любого $x \in K$ верно $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$. Что и требовалось

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.10.2008, 19:37 


28/05/08
284
Трантор
Упражнение 3 у меня вызывает затруднения. Вроде бы по теореме Дини там еще монотонность должна быть, иначе условий недостаточно? Что-то я в шаге 2 не понимаю, с чего это для всех $n \ge N_1$ стало выполняться?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.10.2008, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Narn в сообщении #152102 писал(а):
Вроде бы по теореме Дини там еще монотонность должна быть, иначе условий недостаточно?
Да. именно так, без монотонности не пройдет - есть контрпримеры.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.10.2008, 20:16 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Brukvalub писал(а):
Да. именно так, без монотонности не пройдет - есть контрпримеры.


А можно этот контрпример, в задании на самом деле была монотонность, я её легкомысленно выкинул :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.10.2008, 20:17 


28/05/08
284
Трантор
Brukvalub писал(а):
Narn в сообщении #152102 писал(а):
Вроде бы по теореме Дини там еще монотонность должна быть, иначе условий недостаточно?
Да. именно так, без монотонности не пройдет - есть контрпримеры.


Гелбаум, Олмстед, Контрпримеры в анализе, глава 7, номер 12, с. 102 (нужный нам случай на самом деле - номер 6). Набивать лень :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.10.2008, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
bubu gaga в сообщении #152112 писал(а):
А можно этот контрпример, в задании на самом деле была монотонность, я её легкомысленно выкинул

\[
f_n (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {2nx\;,\;0 \le x \le \frac{1}{{2n}}}  \\
   {2 - 2nx\;,\;\frac{1}{{2n}} \le x \le \frac{1}{n}}  \\
   {0\;,\;\frac{1}{n} \le x \le 1}  \\
\end{array}} \right.
\]
(а мне было лень лезть в Гелбаума, и в Олмстеда - тоже лень... :D )

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.10.2008, 21:03 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Спасибо!

Narn писал(а):
Упражнение 3 у меня вызывает затруднения. Вроде бы по теореме Дини там еще монотонность должна быть, иначе условий недостаточно? Что-то я в шаге 2 не понимаю, с чего это для всех $n \ge N_1$ стало выполняться?


$$ |f_n(x) - f(x)| = |f_n(x) - f_n(x_1) + f_n(x_1) - f(x_1) + f(x_1) - f(x)| \le |f_n(x) - f_n(x_1)| + |f_n(x_1) - f(x_1)| + |f(x_1) - f(x)| $$

Но Вы правы, то что среднее слагаемое остаётся в пределах $\epsilon / 3$ ещё не означает что первое не увеличится.

Добавлено спустя 40 минут 4 секунды:

Пример конечно весёлый. С одной стороны для любого $n$ можно найти $x$ такой, что $f_n(x) = 1$. А с другой стороны для любого $x$ можно найти $n$ такое, что $f_n(x) = 0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group