2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кострикин Введение в алгебру, часть 2, гл. 2, пар-ф 2, зад.5
Сообщение13.05.2021, 20:33 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Кострикин Введение в алгебру, часть 2, гл. 2, параграф 2, задача 5:
Доказать, что для люых линейных операторов $\mathcal{A,B}$ на $V$ имеет место равенство:
$$\operatorname{rank}\mathcal{A}=\operatorname{rank}\mathcal{B}+\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{A} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{B})$$

И я туплю, наверное, но как это вообще может быть верно? $\mathcal{A,B}$ произвольны, а равенство несимметрично. По симметрии сразу получаем:
$$\operatorname{rank}\mathcal{B}=\operatorname{rank}\mathcal{A}+\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{B} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{A}),$$ откуда $\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{B} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{A})=\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{A} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{B})=0$ и $\operatorname{rank}\mathcal{A}=\operatorname{rank}\mathcal{B}$.
Или его можно опровергнуть так:
Пусть $\operatorname{dim}V=2$. Возьмем такие операторы $\mathcal{A,B}$ и базис, что матрица $\mathcal{A}$ в нем равна $\binom{1 \ 0}{0 \ 0}$, а матрица $\mathcal{B}$ равна $\binom{0 \ 0}{0 \ 1}$. Тогда $\operatorname{rank}\mathcal{A}=\operatorname{rank}\mathcal{B}=1$, а $\operatorname{Im}\mathcal{A}=\left\{\binom{x \ 0}{0 \ 0}, x\in K\right\}$, $\operatorname{Ker}\mathcal{B}=\left\{\binom{x \ y}{0 \ 0}, x,y\in K\right\}$ и $\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{B} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{A})=\operatorname{dim}\left\{\binom{x \ 0}{0 \ 0}, x\in K\right\}=1,$ т.е. в итоге $1=1+1$.

Где я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин Введение в алгебру, часть 2, гл. 2, пар-ф 2, зад.5
Сообщение13.05.2021, 20:41 


14/02/20
832
Да, ошибка, раньше не замечал.

Похоже, что должно быть
$$\operatorname{rank}\mathcal{A}=\operatorname{rank}\mathcal{BA}+\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{A} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{B})$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин Введение в алгебру, часть 2, гл. 2, пар-ф 2, зад.5
Сообщение14.05.2021, 01:12 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sonic86
Кстати сравнивали ли с другими изданиями? Говорят, там разный набор опечаток. (Вроде vpb сравнивал.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин Введение в алгебру, часть 2, гл. 2, пар-ф 2, зад.5
Сообщение14.05.2021, 17:07 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Нет, я не сравнивал детально старое издание (1977) и новое. Однако,
vpb в сообщении #1518543 писал(а):
Да. Я бы рекомендовал пользоваться одновременно трехтомным и однотомным. В трехтомном есть разные вещи, которых нет в однотомном. С другой стороны, в трехтомном больше опечаток, а также, возможно, (но не факт ! ) некоторые "улучшения" по сравнению с однотомным на самом деле таковыми не являются. Впрочем, сейчас, заглянув в ту и в другую книжки, я убедился, что в трехтомнике есть довольно много улучшений действительно (без кавычек).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин Введение в алгебру, часть 2, гл. 2, пар-ф 2, зад.5
Сообщение23.05.2021, 08:56 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
arseniiv в сообщении #1518495 писал(а):
Sonic86
Кстати сравнивали ли с другими изданиями? Говорят, там разный набор опечаток.
Я не смог нагуглить другое издание.

artempalkin в сообщении #1518472 писал(а):
Похоже, что должно быть
$$\operatorname{rank}\mathcal{A}=\operatorname{rank}\mathcal{BA}+\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{A} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{B})$$
Да, так и есть, спасибо! Это соотношение у меня получилось доказать.
Делал я это так:

$\operatorname{rank}\mathcal{A}=\operatorname{dim}\operatorname{Im}\mathcal{A}=\operatorname{dim}V-\operatorname{dim}\operatorname{Ker}\mathcal{A}$
Значит соотношение равносильно
$$\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{A} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{B})=\operatorname{dim}\operatorname{Ker}\mathcal{BA}-\operatorname{dim}\operatorname{Ker}\mathcal{A}$$
И теперь:
$\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{A} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{B})=\{x:x=\mathcal{A}y, \operatorname{Ker}\mathcal{B}y=0\}=$$\{x:x=\mathcal{A}y, \operatorname{Ker}\mathcal{BA}y=0\}$
Пусть $E_A=\{e_i:i \in M_A\}$ - базис $\operatorname{Ker}\mathcal{A}$. Дополним $E_A$ до базиса $\operatorname{Ker}\mathcal{BA}$, обозначим полученный базис $E_{BA}=\{e_i:i \in M_{BA}\}$.
Тогда $\operatorname{Ker}\mathcal{BA}y=0 \Leftirghtarrow y=\sum\limits_{i\in M_{BA}}a_ie_i$. $\mathcal{A}y=\sum\limits_{i\in M_{BA}\setminus M_A}a_ie_i$. Если система $\{\mathcal{A}(e_i):i \in M_{BA}\setminus M_A\}$ линейно независима, то получаем требуемое: $\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{A} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{B})=|M_{BA}|-|M_A|=\operatorname{dim}\operatorname{Ker}\mathcal{BA}-\operatorname{dim}\operatorname{Ker}\mathcal{A}$.
Докажем линейную независимость от противного:
Если $(\exists b_i)\sum\limits_{i\in M_{BA}\setminus M_A}b_i\mathcal{A}e_i=0$, то это равносильно $\mathcal{A}\left(\sum\limits_{i\in M_{BA}\setminus M_A}b_ie_i\right)=0 \Leftrightarrow \sum\limits_{i\in M_{BA}\setminus M_A}b_ie_i \in \operatorname{Ker}\mathcal{A}$ $\Leftrightarrow (\exists c_i) \sum\limits_{i\in M_{BA}\setminus M_A}b_ie_i = \sum\limits_{i\in M_A}c_ie_i$. Т.е. векторы из $M_{BA}$ линейно зависимы, что противоречит определению $M_{BA}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group