2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение19.02.2021, 10:58 


23/02/12
3112
До сих пор мы рассматривали случаи, когда предельным распределения для арифметической функции являлось нормальное распределение.

Сейчас мы рассмотрим, в том числе, и другие случаи предельного распределения арифметических функций и докажем несколько утверждений для указанных случаев.

Можно начать обсуждение прямо с этого сообщения. Готов ответить на вопросы.

Начнем рассмотрение с сильно аддитивных арифметических функций. В отношении данных функций Кубилюс доказал теоремы.

Теорема 4.1 (Кубилюс)

Для того, чтобы законы распределения $P_n \{\frac {f(m)-A(n)}{\sqrt{D(n)}}<x\}$, где $f(m)$ - сильно аддитивная арифметическая функция класса $H$, сходились к предельному с дисперсией равной 1, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая неубывающая функция $K(u)$ с вариацией равной 1, чтобы при $n \to \infty$ во всех точках непрерывности $K(u)$ выполнялось условие:
$$\frac {1}{D(n)} \sum_{p \leq n, f(p)<u\sqrt{D(n)}} \frac{f^2(p)}{p} \to K(u),$$
где соответственно $A(n),D(n)$ - среднее значение и дисперсия $f(m)$, а $K(u)$- функция Колмогорова:

$K(u)=0,if u<A; K(u)=\mu(1-u^2/A^2), if A \leq u<0;$$K(u)=\nu u^2/C^2+1-\nu, if 0<u \leq C; K(u)=1, if u>C,$

где $A,C,\mu,\nu$ - постоянные $\mu \geq 0,\nu \geq 0,\mu+\nu \leq 1,A \leq 0,C \geq 0$.

Возникает вопрос, какие законы вообще могут выступать в качестве предельных в теореме 4.1? На этот вопрос дает ответ следующая теорема.

Теорема 4.3 (Кубилюс)

Класс предельных законов, к которым стремится закон распределения $P_n \{\frac {f(m)-A(n)}{\sqrt{D(n)}}<x\}$ с дисперсией равной 1 для сильно аддитивной арифметической функции $f(m)$, принадлежащей классу $H$, совпадает с классом законов $K(u)$.

Как я писал ранее, что если существует предельное распределение сильно аддитивной арифметической функции, то оно совпадает с предельным распределением суммы асимптотически независимых случайных величин и в этом случае данная арифметическая функция относится к классу $H$.

Известно (Кубик), что предельное распределение суммы асимптотически независимых случайных величин, принимающих два значения, при определенных условиях, которые мы рассмотрим далее подробно, совпадает с одним из законов распределения $K(u)$.

Отсюда следует, что если существует предельное распределение сильно аддитивной арифметической функции, то оно совпадает с одним из законов распределения $K(u)$.

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1.1

Пусть существует сильно аддитивная арифметическая функция $f(m), m=1,...,n$, для которой ряд $\sum_p \frac {f^2(p)}{p}$ - расходится.
Обозначим $B(n)=(\sum_{p \leq n}\frac {f^2(p)}{p})^{1/2}$, тогда, если $\frac {1}{B^2(n)}\sum_{p \leq n}\frac {f(p)}{p} \to K(u)$ при $n \to \infty$, где $K(u)$ - функция Колмогорова и $P\{\frac {|f(p)|}{B(n)}>\epsilon\} \to 0, n \to \infty$, то:

1.Можно построить случайную величину, являющуюся суммой независимых случайных величин, принимающих два значения, имеющую такое же предельное распределение, как $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$, для которой асимптотики среднего значения и дисперсии соответственно равны: $A(n) \sim \sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p},D(n) \sim \sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$.

2.Асимптотика центрального момента $k$-ого порядка для $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$ определяется по формуле:$$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}.$$

Доказательство

Так как выполняются условия теоремы 4.1 ($\frac {1}{B^2(n)}\sum_{p \leq n}\frac {f(p)}{p} \to K(u)$ при $n \to \infty$, где $K(u)$ - функция Колмогорова), то на основании теоремы 4.1 законы распределения $P_n \{\frac {f(m)-A(n)}{\sqrt{D(n)}}<x\}$, где $f(m)$ - сильно аддитивная арифметическая функция класса $H$, сходятся к предельному с дисперсией равной 1. На основании теоремы 4.3 класс этих предельных законов совпадает с $K(u)$.

С другой стороны, так как ряд $\sum_p \frac {f^2(p)}{p}$ - расходится и поэтому $B(n) \to \infty$, и на основании леммы 4.6 (Кубика) существует последовательность независимых случайных величин, принимающих не более двух значений - $X_p$, для которой закон распределения $ \frac {1}{B(n)}\sum_{p \leq n}{X_p}-A(n)$, при условии $P\{\frac {|X_p|}{B(n)}>\epsilon\} \to 0, n \to \infty$, сходится к предельному, совпадающему с $K(u)$.


Давайте построим такую последовательность независимых случайных величин $X_p$ и покажем, что для нее будет выполняться условие $P\{\frac {|X_p|}{B(n)}>\epsilon\} \to 0, n \to \infty$.

Построим данную случайную величину. Пусть случайная величина $X_p$ принимает два значения: $X_p=f(p)$ с вероятностью $1/p$ и $X_p=0$ с вероятностью $1-1/p$.

Тогда среднее значение и дисперсия $X_p$ соответственно равны: $E[X_p]=f(p)/p,D[X_p]=f^2(p)/p$.

Так как $P\{\frac {|f(p)|}{B(n)}>\epsilon\} \to 0, n \to \infty$, то учитывая, что $|X_p| \leq |f(p)|$, получим, что выполняется $P\{\frac {|X_p|}{B(n)}>\epsilon\} \to 0, n \to \infty$.


Определим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимые случайные величины. Тогда среднее значение и дисперсия $S_n$ соответственно равны: $E[S_n]=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}, D[S_n]=\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$ т.е. равны асимптотикам соответственно среднего значения и дисперсии $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$. Таким образом, совпадают предельные распределения $f(m), m=1,...,n$ и $S_n$ при $n \to \infty$.

Следовательно мы доказали первую часть утверждения. Теперь докажем вторую часть. Так как совпадают предельные распределения $f(m), m=1,...,n$ и $S_n$ при $n \to \infty$, то совпадают и центральные моменты всех порядков. Поэтому достаточно определить центральные моменты у случайной величины $S_n$.

Сначала определим центральный момент $k$ -ого порядка для $X_p$:
$E[(X_p-\frac{f (p)} {p})^k]=E[X_p]^k - kE[X_p^{k-1}\frac{f (p)} {p}] + \frac{k(k-1)}{2}E[X_p^{k-2}\frac{f ^2(p)} {p}]-...+(-1)^k\frac{f^k (p)} {p}=\frac{f^k (p)} {p}-k\frac{f^{k-1}(p)}{p}\frac{f (p)} {p} +\frac{k(k-1)}{2}\frac{f^{k-2}(p)}{p}\frac{f^2 (p)} {p^2}+...(-1)^k\frac{f^k (p)} {p^k}$.

Таким образом, центральный момент $k$ -ого порядка для $X_p$ равен:

$E[(X_p-\frac{f (p)} {p})^k]=\frac{f^k (p)} {p}+O(\frac{f^k (p)} {p^2})$.

Получаем,что центральный момент $k$ -ого порядка для $S_n$:

$E[S^k,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+O(\sum_{p \leq n}\frac{f^k (p)} {p^2})=\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+o(\sum_{p \leq n}\frac{f^k (p)} {p})$, т.е. $E[S^k,n] \sim \sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}.$

Следовательно, мы доказали вторую часть утверждения.

Рассмотрим случаи, когда выполняется условие $P(\frac {|f(p)}{B(n)} > \epsilon) \to 0,n \to \infty}$.

Если $|f(p)| \leq C$, то $B(n) \sim (\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p})^{1/2} \leq (\sum_{p \leq n} \frac {C^2}{p})^{1/2}=C(\ln\ln(n))^{1/2}$, поэтому в этом случае выполняется условие $P(\frac {|f(p)}{B(n)} > \epsilon) \to 0,n \to \infty}$.

Если $sup_{p \leq n} |f(p)|=o(B(n))$, то в этом случае также выполняется условие $P(\frac {|f(p)}{B(n)} > \epsilon) \to 0,n \to \infty}$.

Напомню, что в этих случаях сильно аддитивная арифметическая функция $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$ имеет предельным нормальное распределение.

В качестве примера на использование утверждения 1.1 приведем сильно аддитивную арифметическую функцию, имеющую предельным распределением, как доказал Кубилюс, функцию $K(u)$:

$f(p)=\sqrt {2(1+\mu sgn(A)-\nu sgn(C))\ln\ln(p)}$, если $p \in Q_0$;
$f(p)=A\ln\ln(p)$, если $p \in Q_1$;
$f(p)=C\ln\ln(p)$, если $p \in Q_2$,

где $Q_0,Q_1,Q_2$ - классы простых чисел $p \leq n$.

Число простых чисел $p \in Q_1$ асимптотически равно:

$\frac {2\mu n}{A^2\ln(n)\ln\ln(n)}$,

если $A\mu$ не равно нулю.

Число простых чисел $p \in Q_2$ асимптотически равно:

$\frac {2\nu n}{C^2\ln(n)\ln\ln(n)}$,

если $C\nu$ не равно нулю.

Если же $A\mu=0$ или $C\nu=0$, то $Q_1$ и $Q_2$ - пусты.

Число простых чисел $p \in Q_0$ асимптотически равно:

$\frac {n}{\ln(n)}$.

Используя результаты темы "Асимптотика сумматорных функций простого аргумента", получим асимптотику центрального момента $k$ - ого порядка для данной сильно аддитивной арифметической функции:

$\sum_{p \leq n, p \in Q_0} \frac {f^k(p)}{p}=(1+\mu sgn(A)-\nu sgn(C))(\ln\ln(n))^k(1+o(1))$,

$\sum_{p \leq n, p \in Q_1} \frac {f^k(p)}{p}=-\mu sgn(A)(\ln\ln(n))^k(1+o(1))$,

$\sum_{p \leq n, p \in Q_2} \frac {f^k(p)}{p}=\nu sgn(C)(\ln\ln(n))^k(1+o(1))$.

Таким образом, получим:

$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p} = \ln\ln(n))^k(1+o(1))$.


Проверим выполнение в этом примере условия: $P(\frac {|f(p)}{B(n)} > \epsilon) \to 0,n \to \infty}$.

$P(\frac {|f(p)}{B(n)} > \epsilon) =\sum_{i=0}^2 \frac {#\{p \in Q_i, p \leq n, \frac {|f_i(p)|}{B_i(n)}> \epsilon\}}{n}=O(\frac {1}{\ln(n)\sqrt {\ln\ln(n)}})$, т.е. стремится к нулю при $n \to \infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение25.02.2021, 10:29 


23/02/12
3112
В утверждении 1.1 мы рассмотрели случай, когда ряд $\sum_p \frac {f^2(p)}{p}$ - расходится, где $f(m)$ - сильно аддитивная арифметическая функция. Теперь рассмотрим случай, когда данный ряд сходится. В этом случае справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2.1

Пусть существует сильно аддитивная арифметическая функция $f(m), m=1,...,n$, для которой ряд $\sum_p \frac {f^2(p)}{p}$ сходится и асимптотики среднего значения и дисперсии $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$ соответственно равны: $\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}, \sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$ тогда:

1.Можно построить случайную величину, являющуюся суммой независимых случайных величин, принимающих два значения, имеющую такое же предельное распределение, как $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$, для которой асимптотики среднего значения и дисперсии соответственно равны: $A(n) \sim \sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p},D(n) \sim \sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$.

2.Асимптотика центрального момента $k$-ого порядка для $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$ определяется по формуле:$$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}.$$

Доказательство похоже на доказательство утверждения 1.1.

Доказательство

Кубилюс доказал, что в случае, когда для сильно аддитивной арифметической функции $f(m), m=1,...,n$ ряд $\sum_p \frac {f^2(p)}{p}$ сходится, то $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$ имеет предельное распределение. При этом предельное распределение $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$ совпадает с предельным распределением суммы случайных величин $\sum_{p \leq n} X_p$ при $n \to \infty$, где $X_p$ - независимые случайные величины, каждая принимающие два значения.

Построим данную случайную величину. Пусть случайная величина $X_p$ принимает два значения: $X_p=f(p)$ с вероятностью $1/p$ и $X_p=0$ с вероятностью $1-1/p$.

Тогда среднее значение и дисперсия $X_p$ соответственно равны: $E[X_p]=f(p)/p,D[X_p]=f^2(p)/p$.

Определим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимые случайные величины. Тогда среднее значение и дисперсия $S_n$ соответственно равны: $E[S_n]=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}, D[S_n]=\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$ т.е. равны асимптотикам соответственно среднего значения и дисперсии $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$. Таким образом, совпадают предельные распределения $f(m), m=1,...,n$ и $S_n$ при $n \to \infty$.

Следовательно мы доказали первую часть утверждения. Теперь докажем вторую часть. Так как совпадают предельные распределения $f(m), m=1,...,n$ и $S_n$ при $n \to \infty$, то совпадают и центральные моменты всех порядков. Поэтому достаточно определить центральные моменты у случайной величины $S_n$.

Сначала определим центральный момент $k$ -ого порядка для $X_p$:
$E[(X_p-\frac{f (p)} {p})^k]=E[X_p]^k - kE[X_p^{k-1}\frac{f (p)} {p}] + \frac{k(k-1)}{2}E[X_p^{k-2}\frac{f ^2(p)} {p}]-...+(-1)^k\frac{f^k (p)} {p}=\frac{f^k (p)} {p}-k\frac{f^{k-1}(p)}{p}\frac{f (p)} {p} +\frac{k(k-1)}{2}\frac{f^{k-2}(p)}{p}\frac{f^2 (p)} {p^2}+...(-1)^k\frac{f^k (p)} {p^k}$.

Таким образом, центральный момент $k$ -ого порядка для $X_p$ равен:
$E[(X_p-\frac{f (p)} {p})^k]=\frac{f^k (p)} {p}+O(\frac{f^k (p)} {p^2})$.

Получаем,что центральный момент $k$ -ого порядка для $S_n$:
$E[S^k,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+O(\sum_{p \leq n}\frac{f^k (p)} {p^2})=\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+o(\sum_{p \leq n}\frac{f^k (p)} {p})$, т.е. $E[S^k,n] \sim \sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}.$

Следовательно, мы доказали вторую часть утверждения.

Утверждение 3.1

Пусть существует сильно аддитивная арифметическая функция $f(m)$, для которой ряд $\sum_{p =2}^{\infty} \frac {f^2(p)}{p}$ - сходится и $|f(p)| \leq C$, где $p$ - простое число, а $C$- постоянная.

Тогда центральный момент $k$ -ого порядка для $f(m)$ при $k \geq 2$ является ограниченным.

Доказательство

Проведем доказательство методом математической индукции.
На основании утверждения 2.1 асимптотика центрального момента $k$- ого порядка для $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$ определяется по формуле: $$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}.$$
Для $k=2$ на основании сходимости ряда $\sum_{p =2}^{\infty} \frac {f^2(p)}{p}$ получаем:

$$\sum_{p  \leq n} \frac {f^2(p)}{p}=O(1)$$ - базис индукции.

Предположим, что асимптотика $k$-ого центрального момента равна:

$$\sum_{p  \leq n} \frac {f^k(p)}{p}=O(1).$$

Так как $|f(p)| \leq C$, то:
$$\sum_{p  \leq n} \frac {|f^{k+1}(p)|}{p} \leq C \sum_{p  \leq n} \frac {|f^{k}(p)|}{p}=O(1).$$
Следовательно:
$$\sum_{p  \leq n} \frac {f^{k+1}(p)}{p}=O(1)$$ - шаг индукции.

Пример $f(m)=\ln \frac {\varphi(m)}{m}$ - сильно аддитивная арифметическая.

$$f(p)=\ln \frac {\varphi(p)}{p}=\ln \frac{p-1}{p}.$$

Проверим сначала ограниченность функции $f(p)$:

$$|\ln(1-1/p)| \leq |\ln(1-1/2)|=\ln2.$$

Покажем теперь сходимость ряда $\sum_p \frac {f^2(p)}{p}$:

$$\sum_p \frac {f^2(p)}{p}=\sum_p \frac {(\ln(1-1/p))^2}{p}=\sum_p \frac {(-1/p+1/2p^2-2/3!p^3+...)^2}{p}=\sum_p {(1/p^3+  o(1/p^3))}$$- сходится.

На основании утверждения 3.1 данная функция имеет только ограниченные центральные моменты всех порядков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение21.03.2021, 10:29 


23/02/12
3112
Утверждение 4.1

Пусть $f(m)$ - действительная аддитивная арифметическая функция и для сильно аддитивной арифметической функции $f^*(m)=\sum_{p|m}f(p)$ выполняется $\ln D(n)=o(\ln\ln(n))$, где $D(n)$ - дисперсия $f^*(m)$. Тогда $f(m),f^*(m)$ имеют одинаковые предельные распределения и асимптотики моментов всех порядков.

Доказательство

Так как для сильно аддитивной арифметической функции $f^*(m)=\sum_{p|m}f(p)$ выполняется условие $\ln D(n)=o(\ln\ln(n))$, то она принадлежит классу $H$.

Это значит, что: $f^*(p^{\alpha})=f^*(p)=f(p), (\alpha=1,2,...)$.

Поэтому $f(m)$ также принадлежит классу $H$, как и $f^*(m)$.

Следовательно, $f(m),f^*(m)$ имеют одинаковые предельные распределения и асимптотики моментов всех порядков.



Рассмотрим пример. Найти асимптотики всех моментов арифметической функции $f(m)=\Omega(m)-\ln \frac {\varphi(m)}{m}$.

Арифметическая функция $f(m)=\Omega(m)-\ln \frac {\varphi(m)}{m}$ является разностью двух действительных аддитивных арифметических функций, поэтому является действительной аддитивной арифметической функцией.

Немного позже мы покажем, что в данном случае $D(n) \sim 2\ln\ln(n)$, поэтому выполняется условие $\ln {D(n)}=o(\ln\ln(n))$ и поэтому $f^*(m)=\sum_{p|m}(\Omega(p)-\ln \frac {\varphi(p)}{p})$ принадлежит классу $H$.

Так как выполняются условия утверждения 4.1, то $f(m),f^*(m)$ имеют одинаковые предельные распределения и асимтотики моментов всех порядков, поэтому достаточно найти асимптотики центральных моментов функции $f^*(m)=\sum_{p|m}(\Omega(p)-\ln \frac {\varphi(p)}{p})$.

На основании утверждений 1.1 и 2.1 асимптотика центрального момента $k$ - ого порядка для сильно аддитивной арифметической функции $f^*(m)=\sum_{p|m}(\Omega(p)-\ln \frac {\varphi(p)}{p})=1-\ln(1-1/p)$ определяется следующим образом:

$\sum_{p \leq n} \frac {f^{*k}(p)}{p}=\sum_{p \leq n} \frac {(1-\ln(1-1/p))^k}{p}=\sum_{p \leq n} \frac {1-k(\ln(1-1/p)))^{k-1}+k(k-1)/2(\ln(1-1/p)))^{k-2}+...+(-1)^k}{p}$.

Поэтому, если $k \geq 1$ и нечетно, то получим следующую асимптотику момента $k$- порядка для $f^*(m)$:

$\sum_{p \leq n} \frac {f^{*k}(p)}{p}=$$\sum_{p \leq n} \frac {1}{p}-k\sum_{p \leq n} \frac {1}{p^k}+k(k-1)/2\sum_{p \leq n} \frac {1}{p^k}+...-\sum_{p \leq n} \frac {1}{p}=O(1)$.

В случае, если $k$ - четно, то получим следующую асимптотику момента $k$- порядка для $f^*(m)$:

$\sum_{p \leq n} \frac {f^{*k}(p)}{p}=$$\sum_{p \leq n} \frac {1}{p}+k\sum_{p \leq n} \frac {1}{p^k}+k(k-1)/2\sum_{p \leq n} \frac {1}{p^k}+...+\sum_{p \leq n} \frac {1}{p}=2\ln\ln(n)+O(1)$.

Таким образом, действительно: $D(n)=\sum_{p \leq n} \frac {f^{*2}(p)}{p}\sim 2\ln\ln(n)$.

Асимптотика среднего значения $f^*(m)$ равна:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}=\sum_{p \leq n} \frac {1-\ln(1-1/p)}{p}=$$\sum_{p \leq n} \frac {1}{p}-\sum_{p \leq n} \frac {\ln(1-1/p)}{p}=\ln\ln(n)+O(1)$.

На основании утверждения 4.1 аналогичную асимптотику имеют моменты действительной аддитивной арифметической функции $f(m)=\Omega(m)-\ln \frac {\varphi(m)}{m}$

Утверждение 5.1

Пусть $f(m),g(m)$ - действительные аддитивные арифметические функции и $f(p)=g(p)$, где $p$ -произвольное простое число, и для дисперсии сильно аддитивной арифметической функции $f^*(m)=\sum_{p|m}f(p)$ выполняется условие: $\ln D(n)=o(\ln\ln(n))$. Тогда $f(m),g(m),f^*(m),g^*(m),(g^*(m)=\sum_{p|m}g(p))$ имеют одинаковые предельные распредельния и асимптотики моментов всех порядков.

Доказательство

Так как для сильно аддитивной арифметической функции $f^*(m)=\sum_{p|m}f(p)$ выполняется условие: $\ln D(n)=o(\ln\ln(n))$, то $f^*(m)$ принадлежит классу $H$. Учитывая, что $f(p)=g(p)$, то сильно аддитивная арифметическая функция $g^*(m)=\sum_{p|m}g(p)$ также принадлежит классу $H$. Поэтому выполняется:

$f^*(p^{\alpha})=f^*(p)=f(p)=g(p)=g^*(p)=g^*(p^{\alpha}),\alpha=1,2,...$.

Это значит, что действительные аддитивные и сильно аддитивные арифметические функции $f(m),g(m),f^*(m),g^*(m)$ принадлежат классу $H$, и поэтому имеют одинаковые предельные распредельния и асимптотики моментов всех порядков.

Следствие 6.1

Все действительные аддитивные арифметические функции, совпадающие на последовательности простых чисел, имеют одинаковую сильно аддитивную арифметическую функцию. Если дисперсия данной арифметической функции удовлетворяет условию : $\ln D(n)=o(\ln\ln(n))$, то все указанные действительные аддитивные и сильно аддитивная арифметическая функция имеют одинаковые предельные распределения и асимптотики моментов всех порядков. Это значит, что указанные арифметические функции образуют классы эквивалентности по предельному распределению и асимптотикам моментов данных функций и данные классы эквивалентности не пересекаются между собой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение21.03.2021, 18:16 


20/03/14
12041
Тема закрыта, как перешедшая в режим блога.

Если нужен блог, то это не здесь.
Если публикация - тем более.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 169 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group