Равенство достигается только в (0,0,0)

[arqady]

Для всех действительных $x$, $y$ и $z$ докажите, что:

$$x^6+y^6+z^6+6xyz(x+y)(x+z)(y+z)\geq0$$

[ИСН]

Числа (2,2,-1) смотрят на Вас и качают головами.

[arqady]

Исправил. Спасибо, ИСН!

[arqady]

Оказывается даже $x^6+y^6+z^6+6xyz(x+y)(x+z)(y+z)\geq x^2y^2z^2$ верно.

(Оффтоп)

Исправил название темы. Оно было неверным.

[Rak so dna]

arqady в сообщении #702365 писал(а):

Для всех действительных $x$, $y$ и $z$ докажите, что:

$$x^6+y^6+z^6+6xyz(x+y)(x+z)(y+z)\geq0$$

Нашел вот такое красивое разложение: $a^6+b^6+c^6+6abc(a+b)(b+c)(c+a)=\frac{1}{3}\sum\limits_{cyc}\left((a^2+bc)(a+b+c) -b^3-c^3\right)^2 + \frac{1}{3}\left(a^2b+b^2c+c^2a+2abc\right)^2 + \frac{1}{3}\left(a^2c+b^2a+c^2b+2abc\right)^2 + \frac{5}{3}a^2b^2c^2$

[rightways]

arqady в сообщении #702365 писал(а):

Для всех действительных $x$, $y$ и $z$ докажите, что:

$$x^6+y^6+z^6+6xyz(x+y)(x+z)(y+z)\geq0$$

А верно ли что

$$x^6+y^6+z^6\ge 6|xyz(x+y)(x+z)(y+z)|$$

?

[Rak so dna]

rightways возьмите $x=y=z$

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1504214 писал(а):

Нашел вот такое красивое разложение: $a^6+b^6+c^6+6abc(a+b)(b+c)(c+a)=\frac{1}{3}\sum\limits_{cyc}\left((a^2+bc)(a+b+c) -b^3-c^3\right)^2 + \frac{1}{3}\left(a^2b+b^2c+c^2a+2abc\right)^2 + \frac{1}{3}\left(a^2c+b^2a+c^2b+2abc\right)^2 + \frac{5}{3}a^2b^2c^2$

Ошибся при наборе, надо так:
$a^6+b^6+c^6+6abc(a+b)(b+c)(c+a)=\frac{1}{3}\sum\limits_{cyc}\left((a^2+bc)(a+b+c) -b^3-c^3\right)^2 + \frac{2}{3}\left(a^2b+b^2c+c^2a+2abc\right)^2 + \frac{2}{3}\left(a^2c+b^2a+c^2b+2abc\right)^2 + \frac{5}{3}a^2b^2c^2$