Теорема Штольца. 1

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1503072 писал(а):

Вы вообще знакомы с принципом абстракции? Большинство теорем доказывается для некоторых абстрактных множеств, последовательностей, функций и т.д. Они при этом могут удовлетворять определенным условиям, как последовательности из теоремы Штольца, но совершенно не обязательно знать для них конкретные формулы или алгоритмы.

Конечно же, я это понимаю. То, что я хотел сказать, сказали Вы другими словами:

Odysseus в сообщении #1503072 писал(а):

Еще можно сказать, что $\frac {x_n}{y_n}$ это некоторая абстрактная последовательность, а $\frac {(-1)^n}{n}$ - один из конкретных примеров подобной последовательности.

Odysseus в сообщении #1503072 писал(а):

И я вас уже спрашивал проходили ли вы теоремы о последовательностях и пределах из Фихтенгольца еще до теоремы Штольца.

Да, я проходил, но надо еще проходить, чтобы лучше усвоить.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1503049 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1503039 писал(а):

Таким образом,

$$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n, \cdots, x_{n'}, \cdots, \;\;\; \;\; \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}, \;\;\;\;\;\frac{x_n}{y_n}, \;\;\;\;\; \frac{x_n-x_N}{y_n-y_N} $$

(последняя при фиксированном $N$ -- или именно из-за фиксированного $N$ это выражение не может считаться последовательностью?)

это последовательности, но они не заданы. Или их нельзя считать последовательностями?

Если мы знаем значение $x_n$ и $y_n$ для каждого $n$, как например в случае теоремы Штольца, то с первыми тремя вообще нет проблем. И последнее тоже будет последовательностью если $N$ известно (фиксировано или известен ее закон зависимости от $n$), т.е. там тоже известно $f(n)$ для каждого $n$.

Кажется, я понял: чтобы быть последовательностью, объект должен быть самодостаточным, в том смысле, что если $N$ фиксировано или зависит от $n$, то $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ есть последовательность, а если $N$ зависит от постороннего объекта, например, от $\varepsilon$, то $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ не есть последовательность.

[Odysseus]

Да, только с уточнением что речь идет о ситуации когда "посторонний объект" $\varepsilon$ произволен, т.е. может произвольно меняться, и при этом каким-то образом меняется $N(\varepsilon)$ (которое часто пишут $N_{\varepsilon }$ для краткости). В этом случае не существует отображения (aka функции) $f(n)$, которое бы имело однозначно определенное значение $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ для каждого $n$, значит нет и последовательности.

Вместо этого у нас будет функция от двух переменых $f(n,\varepsilon) = \frac{x_n-x_N(\varepsilon)}{y_n-y_N(\varepsilon)}$, а это уже нечто другое.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1503243 писал(а):

Да, только с уточнением что речь идет о ситуации когда "посторонний объект" $\varepsilon$ произволен, т.е. может произвольно меняться, и при этом каким-то образом меняется $N(\varepsilon)$ (которое часто пишут $N_{\varepsilon }$ для краткости). В этом случае не существует отображения (aka функции) $f(n)$, которое бы имело однозначно определенное значение $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ для каждого $n$, значит нет и последовательности.

Если "посторонний объект", то есть $\varepsilon$, фиксирован, то фиксировано и зависящее от него $N_\varepsilon$, и тогда

$$\frac{x_n-x_{N_\varepsilon}}{y_n-y_{N_\varepsilon}}$$

есть последовательность, несмотря на то, что $N_\varepsilon$ зависит от $\varepsilon$. Правильно?

Odysseus в сообщении #1503243 писал(а):

Вместо этого у нас будет функция от двух переменных $f(n,\varepsilon) = \frac{x_n-x_N(\varepsilon)}{y_n-y_N(\varepsilon)}$, а это уже нечто другое.

Понятно.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1503252 писал(а):

Если "посторонний объект", то есть $\varepsilon$, фиксирован, то фиксировано и зависящее от него $N_\varepsilon$, и тогда

$$\frac{x_n-x_{N_\varepsilon}}{y_n-y_{N_\varepsilon}}$$

есть последовательность, несмотря на то, что $N_\varepsilon$ зависит от $\varepsilon$. Правильно?

Да, но в таком случае обычно не говорят, что $N_\varepsilon$ "зависит" от $\varepsilon$. Это две константы, а слово "зависимость" обычно употребляют, когда аргумент у функции может принимать разные значения. Вместо этого скорее скажут, что $N_\varepsilon$ выражается через $\varepsilon$

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1503258 писал(а):

в таком случае обычно не говорят, что $N_\varepsilon$ "зависит" от $\varepsilon$. Это две константы, а слово "зависимость" обычно употребляют, когда аргумент у функции может принимать разные значения. Вместо этого скорее скажут, что $N_\varepsilon$ выражается через $\varepsilon$

Спасибо, понятно, я и сам чувствовал, что слово "зависит" здесь не совсем подходит.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1503154 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1503149 писал(а):

То, что последовательность $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ стремится к $l$, доказывается у Фихтенгольца при доказательстве теоремы Штольца

Это вам только кажется. Ничего подобного там не утверждается

Vladimir Pliassov в сообщении #1503149 писал(а):

таким образом при $n>N$

$$\Bigg \vert \frac{x_n-x_{N}}{y_n-y_{N}}-l\Bigg \vert<\frac {\varepsilon}{2},$$

1.

Последняя запись верна - при заданных условиях, - и то, что она верна, доказывается у Фихтенгольца при доказательстве теоремы Штольца, но она не означает, что

"последовательность $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ стремится к $l$", потому что при заданных условиях (условиях теоремы) $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ не является последовательностью, так как $N$ зависит от произвольного $\varepsilon$.

[Поскольку $N$ зависит от произвольного $\varepsilon$, при смене $\varepsilon$ могут меняться также и $x_N, y_N$, и поэтому при произвольном $\varepsilon$ невозможно однозначно определять члены "последовательности" $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ (почему $x_N, y_N$ только "могут меняться ", а не "меняются", см. ниже, в п.2).]

Заданные условия (условия теоремы):

a) при $n \to \infty$ числовая последовательность $y_n \to \infty$, причем, во всяком случае, начиная с некоторого номера $n, \; y_{n+1}>y_n$,

b) существует конечный вещественный предел (сначала теорема доказывается для конечного предела)

$$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}},$$

то есть для любого $\varepsilon >0$ существует номер $N$ такой, что для любого $n>N$ выполняется неравенство

$$\Bigg \vert \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}-l\Bigg \vert<\frac {\varepsilon}{2},$$

где $l$ конечное вещественное число.

2. При выборе $\varepsilon$ номер $N$ не определяется автоматически: из всех $N$, соответствующих условию b), необязательно брать минимальное, можно взять какое угодно, лишь бы оно было не меньше минимального. Тем не менее, какое бы большое $N$ мы ни взяли, можно всегда найти такое $\varepsilon'$, что $N$ окажется недостаточно большим, и придется выбрать другое $N'>N$.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1503154 писал(а):

1) Сформулируйте полностью и корректно определение "последовательности $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$" про которую вы здесь говорите. Включая определение числа $N$ в этой последовательности. Я не зря просил вас дать определение последовательности, примените его для данного случая.

Это невозможно, потому что при условиях теоремы $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ не является последовательностью.

Odysseus в сообщении #1503154 писал(а):

2) Сформулируйте полностью и корректно утверждение "последовательность $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ стремится к $l$" вместо слов "то есть". Я не зря просил вас дать определение предела последовательности, примените его для данного случая.

Это тоже невозможно по той же причине.

[Odysseus]

Да

[Vladimir Pliassov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1503313 писал(а):

При выборе $\varepsilon$ номер $N$ не определяется автоматически: из всех $N$, соответствующих условию b), необязательно брать минимальное, можно взять какое угодно, лишь бы оно было не меньше минимального.

На этом основывается предложение в доказательстве Фихтенгольца, которое следует после преобразования

$$ \frac{x_n}{y_n} - l = \frac{x_N-ly_N}{y_n} +\left(1-\frac{y_N}{y_n}\right)\left(\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l\right) \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left \vert\frac{x_n}{y_n} - l\right \vert \leqslant \left \vert \frac{x_N-ly_N}{y_n}\right \vert +\left \vert \frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l\right \vert:$$

Цитата:

Второе слагаемое справа, как мы видели, при $n>N$ становится $< \frac{\varepsilon}{2}$; первое же слагаемое, ввиду того, что $y_n\to \ +\infty$, также будет $< \frac{\varepsilon}{2}$, скажем, для $n>N'$. Если при этом взять $N'>N$, то для $n>N'$, очевидно,

$$\left \vert\frac{x_n}{y_n} - l\right \vert <\varepsilon,$$

что и доказывает наше утверждение.

Если бы $N, N'$ брались минимальными, то не всегда можно было бы взять $N'>N$, но, поскольку это не обязательно, можно выбрать соответствующие $N, N'$ такие, что $N'>N$.

[Vladimir Pliassov]

Разбор примера 14 из Фихтенгольца, http://if.pskgu.ru/ebooks/f1/1_2.pdf, стр.69.

Цитата:

Рассмотрим теперь варианту (считая $k$ натуральным)

$$z_n=\frac {1^k+ 2^k+ \ldots+ n^k}{n^{k+1}},$$

которая представляет неопределенность вида $\frac {\infty}{\infty}$.

Полагая в теореме Штольца $x_n=1^k+ 2^k+ \ldots+ n^k,\;\;\;y=n^{k+1},$

будем иметь

$$\lim z_n=\lim \frac{n^{k}}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}},$$

Мне кажется, что слишком рано было заявлено, что мы будем иметь этот предел, так как по выражению

$$\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\frac{n^{k}}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}$$

сразу не видно (во всяком случае, человеку средних способностей), что оно имеет предел. На мой взгляд, сначала надо убедиться в этом. Для этого преобразуем его:

Цитата:

$$(n-1)^{k+1}=n^{k+1}-(k+1)n^k+\ldots,$$

так что

$$n^{k+1}-(n-1)^{k+1}=(k+1)n^k+\ldots$$

Я думаю, что в последнем выражении перед многоточием должен стоять не плюс, а минус, поскольку при вычитании $n^{k+1}-(k+1)n^k+\ldots$ все его знаки должны меняться на противоположные, поэтому перепишу его:

$$n^{k+1}-(n-1)^{k+1}=(k+1)n^k-\ldots \;.$$

Отсюда

$$\frac{n^{k}}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}=\frac{n^{k}}{(k+1)n^k-\ldots}=\frac{1}{(k+1)-\ldots},$$

где в невыписанных слагаемых степень $n$ меньше $0$, и потому все они при $n\to \infty$ стремятся к нулю.

Таким образом убеждаемся, что

$$\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\frac{n^{k}}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}$$

имеет предел:

$$\lim \frac{n^{k}}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}=\frac{1}{k+1}.$$

Отсюда по теореме Штольца имеем:

$$\lim z_n=\lim \frac{n^{k}}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}=\frac{1}{k+1}.$$

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1503418 писал(а):

Мне кажется, что слишком рано было заявлено, что мы будем иметь этот предел, так как по выражению

$$\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\frac{n^{k}}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}$$

сразу не видно (во всяком случае, человеку средних способностей), что оно имеет предел. На мой взгляд, сначала надо убедиться в этом.

Автор каждого учебника делает личный выбор между лаконичностью и подробностью; чем что очевидно, и тем, что не очень; тем, что дать в качестве упражнения читателю, и тем, что лучше объяснить самому.

И у Фихтенгольца, на самом деле, все объясняется очень подробно по сравнению со многими другими учебниками. Но если бы расписывались вообще все малейшие детали, причем с повторами одинаковых выражений, как это делаете здесь вы, то учебники были бы толще раза в 3, и их было бы не просто сложнее/скучнее читать, но они были бы и менее полезными, поскольку не оставляли бы вообще никакого простора для активных размышлений читателя.

Vladimir Pliassov в сообщении #1503418 писал(а):

Я думаю, что в последнем выражении перед многоточием должен стоять не плюс, а минус, поскольку при вычитании $n^{k+1}-(k+1)n^k+\ldots$ все его знаки должны меняться на противоположные

Это непринципиально, все равно же там потом многоточие, поэтому знак выражения, которое скрывает за собой многоточие нам не важен. Можете, например, считать, что написав перед многоточием плюс мы одновременно умножили то выражение на $-1$. Т.е. как писать это чисто дело вкуса. Если хотите, можете писать минус, но и плюс здесь точно не будет ошибкой.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1503422 писал(а):

Автор каждого учебника делает личный выбор между лаконичностью и подробностью

Все же мне кажется, что в этом примере автор мог бы подойти с большей строгостью, то есть с большей последовательностью, он сначала говорит:

Цитата:

будем иметь

$$\lim z_n=\lim \frac{n^{k}}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}},$$

-причем непонятно, на каком основании он это утверждает, - а потом добавляет, что при помощи преобразований мы можем еще и узнать чему он равен.

По-моему, более последовательным было бы найти предел и тем самым показать, что он есть.

Тем не менее, не должно быть недоразумения: я очень благодарен Фихтенгольцу и всем другим авторам учебников за то, что они их написали.

Odysseus в сообщении #1503422 писал(а):

Можете, например, считать, что написав перед многоточием плюс мы одновременно умножили то выражение на $-1$.

Я это предполагал: плюс может восприниматься как знак прибавления того, что скрыто под многоточием.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1503442 писал(а):

плюс может восприниматься как знак прибавления того, что скрыто под многоточием.

$a-b=a+(-b)$

Ваша "щепетильность" приведёт к большим усложнениям. Что делать, если под многоточием будет скрыта "знакопеременная" сумма?

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1503442 писал(а):

причем непонятно, на каком основании он это утверждает

Так ровно такие же претензии вы могли бы предъявить и к тем примерам, которые у Фихтенгольца указаны перед этим. Там же он тоже действовал аналогичным образом. Почему там вас это не смутило?

А оправдание этому простое. Чтобы не писать каждый раз слишком много слов, Фихтенгольц во всех этих примерах предполагает, что предел у правой части существует, поэтому согласно теореме Штольца приравнивает предел левой часть правой, и пытается вычислить предел в правой части. Если бы последнего не оказалось, значит это предположение было бы ошибочно и равенства у левой и правой части нет. А раз получилось, то все в порядке и предел у левой части тоже существует и равен пределу правой части.

Можно было бы, конечно, в каждом примере описывать все более формально и длинно, или хотя бы один раз упомянуть что используется такой подход, но предполагается, что читатель сам до этого догадается.

Vladimir Pliassov в сообщении #1503442 писал(а):

Тем не менее, не должно быть недоразумения: я очень благодарен Фихтенгольцу и всем другим авторам учебников за то, что они их написали.

Вас никто не обвиняет в неуважении к ним, и, в данном случае, ваш вопрос/претензия была совершенно нормальной.