Минимальная сила для начала движения

[letoo]

Брусок массой $m=1$ кг лежит на шероховатой наклонной плоскости. Чтобы сдвинуть его вдоль наклонной плоскости вниз, надо приложить минимальную
силу $F_1=2$ Н, чтобы сдвинуть вдоль наклонной плоскости вверх — минимальную силу $F_2=4$ Н.
A) С каким ускорением будет двигаться брусок, если приложить к нему силу $F_3=5$ Н, направленную вдоль наклонной плоскости вверх?
B) Какую минимальную силу надо приложить к бруску вдоль наклонной плоскости в горизонтальном направлении, чтобы он начал движение?
Решение для первого вопроса:
Спроецируем силы на ось направленную по клину и перпендикулярно клину получим: $F_1=kmg\cos\alpha-mg\sin\alpha$, где $k$, коэффициент трения.
Для второй силы: $F_2=kmg\cos\alpha+mg\sin\alpha$.
Когда на брусок подействовали силой большей, возникло ускорение. Спроецируем силы для этого случая.
$F_3-mg\sin\alpha-kmg\cos\alpha=ma$. Заметим что $F_2=kmg\cos\alpha+mg\sin\alpha$, то в итоге $a=\frac{F_3-F_2}{m}$ Ответ на первый вопрос сошёлся с авторским.
Решение для второго вопроса
Сила $F_4$, как я понял направлена горизонтально вглубь клина. Проецируем на те же оси и получаем в итоге , что $F_4$\cos\alpha-mg\sin\alpha-k(mg\cos\alpha+F_4\sin\alpha)$. Заметим, что $F_2=kmg\cos\alpha+mg\sin\alpha$. Отсюда $F_4=\frac{F_2}{\cos\alpha-k\sin\alpha}$
Чтобы определить коэффициент трения и углы я воспользовался:
$kmg\cos\alpha+mg\sin\alpha=4$. Поделив $\frac{F_1}{F_2}$ и после упрощение получил $k\cos\alpha=3\sin\alpha$
В итоге после решения $\sin\alpha=0,1$; $\cos\alpha=0,99$; $k=0,3$; Что не так?

[EUgeneUS]

letoo в сообщении #1502402 писал(а):

Что не так?

вот что:

letoo в сообщении #1502402 писал(а):

Сила $F_4$, как я понял направлена горизонтально вглубь клина.

она направлена горизонтально, но не "вглубь клина", а

letoo в сообщении #1502402 писал(а):

вдоль наклонной плоскости

Не забывайте, что мы живем в 3D, а не на плоскости рисунка.

[StaticZero]

Есть способ, которым можно решить эту задачку, не зная никаких косинусов. Но это потом. А здесь:

letoo в сообщении #1502402 писал(а):

Сила $F_4$, как я понял направлена горизонтально вглубь клина

Там написано "вдоль поверхности клина ортогонально $\mathbf g$", если слегка перефразировать. Именно вдоль поверхности.

[StepV]

letoo в сообщении #1502402 писал(а):

В итоге после решения $\sin\alpha=0,1$; $\cos\alpha=0,99$; $k=0,3$; Что не так?

Пересчитайте $k$ и $\alpha$ из уравнений для $F_1$ и $F_2$ . Это проще. У меня получились не такие значения, как у вас. Например, $\sin(\alpha)=0,2$.

[letoo]

StepV в сообщении #1502411 писал(а):

letoo в сообщении #1502402 писал(а):

В итоге после решения $\sin\alpha=0,1$; $\cos\alpha=0,99$; $k=0,3$; Что не так?

Пересчитайте $k$ и $\alpha$ из уравнений для $F_1$ и $F_2$ . Это проще. У меня получились не такие значения, как у вас. Например, $\sin(\alpha)=0,2$.

$kmg\cos\alpha=2+10\sin\alpha$
$kmg\cos\alpha=4-10\sin\alpha
Получается $\sin\alpha=0,1$.

[StaticZero]

letoo в сообщении #1502413 писал(а):

$kmg\cos\alpha=4+10\sin\alpha$
$kmg\cos\alpha=5-10\sin\alpha$
Получается $\sin\alpha=0,05$.

Размерности

[letoo]

StaticZero в сообщении #1502414 писал(а):

letoo в сообщении #1502413 писал(а):

$kmg\cos\alpha=4+10\sin\alpha$
$kmg\cos\alpha=5-10\sin\alpha$
Получается $\sin\alpha=0,05$.

Размерности

Я пересчитал и получается $\sin\alpha=0,1$ (Сверху у меня ошибка со значениями силы)

-- 23.01.2021, 21:34 --

EUgeneUS в сообщении #1502407 писал(а):

letoo в сообщении #1502402 писал(а):

Что не так?

вот что:

letoo в сообщении #1502402 писал(а):

Сила $F_4$, как я понял направлена горизонтально вглубь клина.

она направлена горизонтально, но не "вглубь клина", а

letoo в сообщении #1502402 писал(а):

вдоль наклонной плоскости

Не забывайте, что мы живем в 3D, а не на плоскости рисунка.

Если представит эту ситуации в плоскости рисунки то сила уходит как бы на нас то как тогда проецировать на оси?

-- 23.01.2021, 21:35 --

letoo в сообщении #1502416 писал(а):

StaticZero в сообщении #1502414 писал(а):

letoo в сообщении #1502413 писал(а):

$kmg\cos\alpha=4+10\sin\alpha$
$kmg\cos\alpha=5-10\sin\alpha$
Получается $\sin\alpha=0,05$.

Размерности

Я пересчитал и получается $\sin\alpha=0,1$ (Сверху у меня ошибка со значениями силы)

-- 23.01.2021, 21:35 --

[StepV]

letoo в сообщении #1502416 писал(а):

Я пересчитал и получается $\sin\alpha=0,1$ (Сверху у меня ошибка со значениями силы)

Да. Это я ошибочно шорох навел. Справа забыл удвоить числа при сложении.
у меня тоже $\sin\alpha=0,1$.

[EUgeneUS]

letoo в сообщении #1502416 писал(а):

Если представит эту ситуации в плоскости рисунки то сила уходит как бы на нас

Или как бы от нас, что впрочем не важно.

letoo в сообщении #1502416 писал(а):

то как тогда проецировать на оси?

Как обычно. 2D - две оси, 3D - три оси. Никаких проблем.
А можно сначала спроецировать все силы на плоскость (поверхность клина), а уже на этой плоскости ввести две оси.

[letoo]

EUgeneUS в сообщении #1502421 писал(а):

letoo в сообщении #1502416 писал(а):

Если представит эту ситуации в плоскости рисунки то сила уходит как бы на нас

Или как бы от нас, что впрочем не важно.

letoo в сообщении #1502416 писал(а):

то как тогда проецировать на оси?

Как обычно. 2D - две оси, 3D - три оси. Никаких проблем.
А можно сначала спроецировать все силы на плоскость (поверхность клина), а уже на этой плоскости ввести две оси.

Спасибо, разобрался

[StaticZero]

letoo в сообщении #1502424 писал(а):

Спасибо, разобрался

Рассмотрим шайбу на шероховатой плоскости с коэффициентом трения $\mu$, гравитация отсутствует. Будем давить на шайбу пальцем под углом $\phi$ с поверхностью и силой по модулю $F$. Если угол давления $\phi$ не превысит критического $\alpha = \arctg \mu$, то как ни дави, шайба не поедет. Следовательно, состояние "движется-не движется" можно описывать только в терминах угла приложения силы $\phi$ и критического угла $\alpha$ с условием недвижимости $\phi < \alpha$. Прямые, вдоль которых можно тыкать пальцем и не сдвинуть шайбу, находятся внутри конуса с углом полураствора $\alpha$, ось конуса направлена по нормали к поверхности.

В этом описании ситуация с наличием гравитации сводится к тому, что можно выключить гравитацию и представить, что на шайбу из предыдущей ситуации уже действует некий "гравитационный палец", направленный под углом клина (пусть $\beta$) к поверхности этого клина.

Описание первого вопроса на этом языке выглядит следующим образом: нарисуем некоторое прямое сечение упомянутого конуса и отметим в нём силу тяжести:

$$ \begin{tikzpicture} \draw circle (1.5); \draw [->] (0, 0)--(0, -0.5); \end{tikzpicture} $$

Имеем в виду, что это, разумеется, проекция на плоскость клина. Нам сказано, что шайба поедет, если вдобавок к этому мы будем подталкивать шайбу с силой 2 Н. Рисунок:

$$ \begin{tikzpicture} \draw circle (1.5); \draw [->] (0, 0)--(0, -0.5); \draw [red, ->] (0, -0.5) -- (0, -1.5); \end{tikzpicture} $$

Есть ещё и другое условие: шайба поедет вверх при минимальной силе воздействия в 4 Н. Отметим:

$$ \begin{tikzpicture} \draw circle (1.5); \draw [->] (0, 0)--(0, -0.5); \draw [blue, ->] (0.1, -0.5) -- (0.1, 1.5); \end{tikzpicture} $$

Надо брать векторную сумму, поскольку проекции сил это тоже векторы сил. Пусть радиус конуса равен $R$, а длина чёрной стрелочки равна $x$. Получаем: $x + 2 = R$, $x - 4 = -R$, откуда $x = R - 2 = 4 - R$, $R = 3$, $x = 1$. Чтобы ответить на первый вопрос, достаточно нарисовать ещё рисунок:

$$ \begin{tikzpicture} \draw circle (1.5); \draw [->] (0, 0)--(0, -0.5); \draw [green, ->] (0.1, -0.5) -- (0.1, 2); \end{tikzpicture} $$

Зелёная стрелка -- это приложенная вверх по плоскости сила в 5 Н. Векторная сумма с проекцией силы тяжести в -1 Н даёт всего 4 Н, ещё 3 Н "забирает" сила трения, в итоге равнодействующая $R$ -- всё, что выступает за пределы окружности -- всего лишь 1 Н, откуда получается ускорение в 1 $\text{м}/\text{с}^2$.

Второй вопрос про боковое приложение силы решается полностью аналогично. Рисунок:

$$ \begin{tikzpicture} \draw circle (1.5); \draw [->] (0, 0)--(0, -0.5); \draw [purple, ->] (0, -0.5) -- (1.4142, -0.5); \end{tikzpicture} $$

Нужно, чтобы векторная сумма проекций оказалось на окружности. Вопрос: какая должна быть величина силы (сиречь длина пурпурной стрелочки)? Ответ: $\sqrt{3^2 - 1^2} = 2 \sqrt 2$.


Найти отсюда коэффициент трения можно следующим образом. Критический угол полураствора конуса связан с ним соотношением $\tg \alpha = \mu$, с другой стороны из геометрии конуса $h \tg \alpha = R$, где $h$ -- "высота" конуса. Численно эта высота равна модулю силы реакции опоры $N$ (подумайте, почему; когда поймёте, то поймёте и всё построение целиком).

Мы уже выяснили, что численно проекция силы тяжести на плоскость равна 1 Н, она же $m g \sin \beta$, откуда сразу $\sin \beta = \frac{1}{10}$. Дальше мы знаем, что если на шайбу действует равнодействующая сила с величиной проекции 3 Н или более (пресловутый "радиус конуса" $R = 3$), то она сдвинется. Значит, если увеличить угол клина $\beta \to \beta'$ так, чтобы $\sin \beta' = 3 \sin \beta$, то будет достигнут критический угол и шайба поедет при действии одной лишь силы тяжести. Получаем, что $\beta' = \arcsin (3 \sin \beta)$ и есть наш критический угол $\alpha$, он же угол полураствора конуса. Следовательно, коэффициент трения

$$ \mu = \tg \alpha = \tg \arcsin (3 \sin \beta) = \tg \arcsin (3/10) = \frac{\sin \arcsin (3/10)}{\sqrt{1 - \sin^2 \arcsin (3/10)}} = \frac{3/10}{\sqrt{91}/10} = 3/\sqrt{91} \approx 0{,}315 $$

Бонус: если давить просто по нормали к клину, то шайба не сдивнется. Более того, если угол клина, допустим, больше критического, то простым надавливанием на шайбу можно её остановить, поскольку сила трения пропорциональна силе реакции, а сила тяжести это отдельная вещь, определяемая только массой и углом.

Давайте будем действовать на шайбу с силой 5 Н (как в первом вопросе), но не вдоль клина, а по нормали к нему, а сам клин сделаем с углом $80^\circ$. Для этого случая рисунок такой:

$$ \begin{tikzpicture} \draw circle (2.5); \draw [dashed] circle (1.5) \draw [->] (0, 0)--(0, -2); \end{tikzpicture} $$

Проекция силы давления здесь нулевая, но шайба не движется благодаря тому, что мы её плотнее прижали; пунктиром отмечена "предельная" окружность (сечение "конуса трения") для случая свободной шайбы на клине с углом 80 градусов. В свободном состоянии она бы поехала, но с дополнительным придавливанием -- нет.

Ну и наконец, ваша попытка давить "внутрь клина" горизонтально в плоскости, натянутой на векторы $\mathbf g$ и $\mathbf n$ (нормаль к клину с исходным углом), как вы хотели в начале темы, расчитывается так же. Рисунок:

$$ \begin{tikzpicture} \draw circle (3); \draw [->] (0, 0)--(0, -0.5); \draw [purple, ->] (0.1, -0.5) -- (0.1, 2); \end{tikzpicture} $$

Длина вектора проекции силы тяжести точно такая же (1 Н), однако радиус окружности уже больше (и отнюдь не потому, что изменился коэффициент трения; см. замечание про силу реакции выше). Вопрос: при какой силе давления "внутрь клина по горизонтали" поедет шайба. Ответ: ни при каком, поскольку угол действия силы фиксирован, длина проекции пропорциональна силе через соответствующий косинус, но и сила реакции тоже растёт вместе с силой давления (через синус), то есть растёт макисмальная сила трения покоя, значит, растёт и радиус окружности. Пурпурная стрелка всегда будет внутри неё.

Разумеется, это всё можно сформулировать строго. Ключевые слова: полная сила реакции опоры $\mathbf Q = \mathbf N + \mathbf F_\text{тр}$. Полезная штука для решения вских олимпиадных задачек.

[miflin]

(Оффтоп)

По вопросу В) (второму).
Вроде бы $F=\sqrt{F_1F_2}$
Или я заблуждаюсь?

[EUgeneUS]

miflin

(Оффтоп)

miflin в сообщении #1502454 писал(а):

Или я заблуждаюсь?

Так у Вас столько же, сколько у StaticZero

[letoo]

StaticZero в сообщении #1502432 писал(а):

Второй вопрос про боковое приложение силы решается полностью аналогично

А можно сделать так, что при проекции вдоль наклонной плоскости $F_4=kN$, а $N=mg\cos\alpha$ (если смотреть сбоку на плоскость) , тогда $F_4=kmg$\cos\alpha$$ ?

[EUgeneUS]

letoo в сообщении #1502476 писал(а):

А можно сделать так,

Сделать так можно. Кто запретит?
Но посчитанная таким образом сила не будет минимальной, при которой тело начнёт движение.