2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Черный ящик с полиномом внутри
Сообщение15.12.2020, 21:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
arseniiv в сообщении #1496628 писал(а):
неплохо как-то сделать точной в том смысле, что именно она находит при каком способе определения совпадения

arseniiv
Процедура находит многочлен до $o(x^n)$

В ящике вообще быть не многочлен, а синус (нас обманули), так что мы просто выписываем Тейлора

-- Вт дек 15, 2020 21:39:21 --

Правда для этого придётся давать специфические иксы

 Профиль  
                  
 
 Re: Черный ящик с полиномом внутри
Сообщение16.12.2020, 10:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Последовательность интерполяционных многочленов вообще не обязана к чему-нибудь сходиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Черный ящик с полиномом внутри
Сообщение16.12.2020, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск

(Оффтоп)

Есть надёжный способ узнать, что внутри этого противного черного ящика. Вскрыть его! :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Черный ящик с полиномом внутри
Сообщение17.12.2020, 04:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Что если идти по фундаментальной последовательности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Черный ящик с полиномом внутри
Сообщение17.12.2020, 09:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Ну, у меня взгляд грубо-эмпирический и сугубо прикладной. Как я уже имел честь докладывать - полного теоретического решения тут и нет, для любого набора пробных точек $x_1\cdots x_n$ можно построить полином $(x-x_1)\cdots\ (x-x_n)G(x)$, где $G(x)$ полином сколь угодно высокой степени, прибавить его к найденному и заявлять, что правильной этот, "его высокостепенство".
А практическое - используем рандомизированные пробные точки, находим полином, берём ещё одну и проверяем совпадение. Оценка погрешности прогноза для данной точки делается через оценку погрешности обращения матрицы, зная машинную ошибку. Если отклонение выше оценки погрешности (скажем, утроенной, по аналогии с "три сигма") - добавляем степень полиному, и проверяем на новой точке опять. Если ниже - оцениваем вероятность случайного попадания (скажем, есть у нас найденные по расчётным точкам максимальное и минимальное значение полинома, и вероятность принимаем, как частное от деления интервала допуска на размах значений функции. Если она меньше, скажем, одной миллионной, полагаем, что "наконец нашли!", если больше - повторяем пробу с новым значением, перемножая вероятности, пока не дойдём до порогового значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Черный ящик с полиномом внутри
Сообщение18.12.2020, 10:00 


07/08/14
4231
Евгений Машеров в сообщении #1496408 писал(а):
Для любой наперёд заданной последовательности входных значений мощности N можно построить полином степени $M\ge N$ такой, что его значения на этих входных значениях совпадут со значениями некоторого полинома степени $n<N$ (или ещё проще - все будут нули).
Это для одной последовательности или для любого их количества?
Например, подаем последовательность $1,2,3,...$ получаем какой-то поллином из выходных данных, затем подаем $\sin(1), \sin(2), \sin(3),...$ - должны получить
$\sin$ от полученного в первом случае, затем $(1)',(2)',...$ - получаем производную от полученного в первом случае полинома, которая опять должна совпасть и так далее - "действуем" на черный ящик разными формами сигнала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Черный ящик с полиномом внутри
Сообщение18.12.2020, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Ну так делать последовательность из n точек, затем из синусов этих точек, затем из, скажем, косинусов - это последовательность из $3n$ точек. Одна. Наперёд заданная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Черный ящик с полиномом внутри
Сообщение18.12.2020, 20:45 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
upgrade в сообщении #1497030 писал(а):
затем подаем $\sin(1), \sin(2), \sin(3),...$ - должны получить
$\sin$ от полученного в первом случае
$P(\sin x)\not\equiv\sin P(x)$.

upgrade в сообщении #1497030 писал(а):
затем $(1)',(2)',...$
Что это за числа такие? На вход подаются числа, на выходе тоже числа.

-- Пт дек 18, 2020 22:53:10 --

Хотя надо признать, что эти бессмысленные $(1)'$ наводят на идею. Можно попробовать решать другую задачу, где на вход подаются например дуальные числа. Это действительно даст нам значения производной: $P(a + b\varepsilon) = P(a) + b P'(a)\varepsilon$. Но толку всё равно не будет, даже если попробовать применить нильпотенты хоть всех порядков сразу, а не только второго; эта идея интересна просто потому что напоминает, что многочлены бывают над разными кольцами и многочлены над $R$ вкладываются в многочлены над $R$-алгеброй.

 Профиль  
                  
 
 Re: Черный ящик с полиномом внутри
Сообщение19.12.2020, 10:28 


07/08/14
4231
arseniiv в сообщении #1497106 писал(а):
Что это за числа такие?
Хотел сперва так записать $(2-1)',(3-2)',...$
Исходя из того, что степень понижается, если взять производную, то если после $n$-й производной получаем нули, значит степень $n-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Черный ящик с полиномом внутри
Сообщение19.12.2020, 10:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
upgrade в сообщении #1497150 писал(а):
Хотел сперва так записать $(2-1)',(3-2)',...$


Ге-ни-аль-но!...

 Профиль  
                  
 
 Re: Черный ящик с полиномом внутри
Сообщение19.12.2020, 10:34 


07/08/14
4231
Евгений Машеров в сообщении #1497151 писал(а):
Ге-ни-аль-но!...
Вот-вот :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group